<< Предыдущая

стр. 48
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

га), то есть, чтобы из допустимости технологии (y, –r) всегда следовала допустимость
технологии (y?, –r?), такой что (y?, –r?) < (y, –r).
Мы будем рассматривать два типа экономик. В одной из них (экономика EQ) предполага-
ется, что потребитель не сталкивается с ограничением типа zi > 0 (может «брать в долг»
неограниченную сумму денег). В другой это ограничение принимается (экономика EQ).
+


Под допустимым состоянием квазилинейной экономики EQ мы будем понимать такое со-
стояние {(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r1), ..., (yn, rn)}, что выполнены неравенства:

¤xik < ¤yjk ?k = 1, ..., l,
i?I j?J


¤zi + ¤rj = ¤?i,
i?I j?J i?I

rj > cj(yj) ?j ? J,
xi > 0 ?i ? I, yj > 0 ?j ? J.
Соответственно, под допустимым состоянием квазилинейной экономики EQ мы будем
+


понимать такое состояние {(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r1), ..., (yn, rn)}, что выполнены все вы-
шеприведенные условия, и, кроме того, zi > 0 ?i ? I.


65
Вообще говоря, мы можем предполагать, что некоторые из первых l благ затрачиваются в производстве, и
для них может выполняться yj < 0; это никак не изменит выводов.

213
214
Характеристика Парето-оптимальных состояний в
квазилинейных экономиках
Квазилинейностью предпочтений потребителей объясняется ряд особых свойств рассмат-
риваемой экономики. В частности, анализировать Парето-оптимальные состояния в ква-
зилинейной экономике можно с помощью следующей задачи оптимизации:

¤vi(xi) – ¤cj(yj) > max x, y
i?I j?J


¤xik < ¤yjk ?k = 1, ..., l, (W)
i?I j?J

xi > 0 ?i ? I,
yj > 0 ?j ? J.


Другими словами, верна следующая теорема, дающая полное описание границы Парето
экономики EQ.

Теорема 1.
^^ ^^ ^^ ^^
Состояние {(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r1), ..., (yn, rn)} является Парето-оптимальным состоя-
нием в квазилинейной экономике EQ тогда и только тогда, когда
^ ^^ ^
(x1, ..., xm, y1, ..., yn)
является решением задачи (W),
^ ^
rj = cj(yj)
и

¤zi =¤?i – cj(yj).
^ ^
i?I i?I




Доказательство:
^^ ^^ ^^ ^^
1) Докажем сначала, что если {(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r1), ..., (yn, rn)} — Парето-
оптимальное состояние в квазилинейной экономике EQ, то набор (x1, ..., xm, y1, ..., yn) явля-
^ ^^ ^
ется решением задачи (W).
Напомним, что Парето-оптимальное состояние при любом i0 ? I является решением сле-
дующей задачи условной максимизации:
vi (xi ) + zi > max
0 0 0


vi(xi) + zi > vi(xi) + zi ?i ? i0
^ ^
¤xik < ¤yjk ?k = 1, ..., l,
i?I j?J

¤zi + ¤rj < ¤?i,
i?I j?J i?I
rj > cj(yj) ?j ? J,
xi > 0 ?i ? I, yj > 0 ?j ? J.


214
215
Как несложно показать, в этой задачи первое, третье и четвертое неравенства можно заме-
нить на равенства, не изменяя множество решений задачи. Выражая из этих равенств zi и
rj и исключая их из оставшихся неравенств, видим, что данная задача сводится к задаче
(W).
^ ^^ ^
2) Обратно, пусть (x1, ..., xm, y1, ..., yn) является решением задачи (W). Рассмотрим произ-
^
вольные zj, удовлетворяющие балансам

¤zi = ¤?i – ¤rj ,
^ ^ (*)
i?I i?I j?J

где rj = cj(yj) ?j. Легко увидеть, что состояние
^ ^
^ ^^ ^^ ^^ ^^
S = {(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r1), ..., (yn, rn)}
является допустимым состоянием экономики EQ. Докажем, что оно Парето-оптимально.
Пусть это не так, и существует другое допустимое состояние экономики EQ,
˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜
S = {(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r 1), ..., (yn, r n)},
такое что для всех потребителей (i ? I)
vi(xi) + zi > vi(xi) + zi ,
˜ ˜ ^ ^
и существует, по крайней мере, один потребитель i0, для которого выполнено
˜ ˜ ^ ^
vi (xi ) + zi > vi (xi ) + zi .
0 0 0 0 0 0



Складывая эти неравенства, получаем

¤vi(xi) + ¤zi > ¤vi(xi) + ¤zi .
˜ ˜ ^ ^ (**)
i?I i?I i?I i?I

˜
Поскольку S — допустимое состояние, то

¤zi + ¤r j = ¤?i
˜ ˜
i?I j?J i?I

и
r j > cj(yj), j ? J,
˜ ˜
откуда

¤zi < ¤?i – ¤cj(yj).
˜ ˜ (***)
i?I i?I j?J

Складывая (*), (**) и (***), получаем

¤vi(xi) – ¤cj(yj) > ¤vi(xi) – ¤cj(yj).
˜ ˜ ^ ^
i?I j?J i?I j?J

˜ ˜˜ ˜
Поскольку (x1, ..., xm, y1, ..., yn) является допустимым в задаче (W), то это означает, что
˜ ^ ^^ ^
существование состояния S противоречит оптимальности (x1, ..., xm, y1, ..., yn) в задаче
(W).
*




215
216
Первая часть доказанной теоремы для экономики EQ в общем случае не верна (см. ниже-
+

приведенный пример). Вторая часть верна при дополнительном предположении о том,
что совокупные начальные запасы достаточно велики.
Как видно из вышеприведенной теоремы, задача поиска Парето-оптимума для экономики
EQ эквивалентна задаче (W). В то же время множество допустимых состояний для эконо-
мики EQ является подмножеством множества допустимых состояний для экономики EQ.
+


Поэтому не исключена ситуация, в которой Парето-оптимум экономики EQ не является
+


Парето-оптимумом экономики EQ и, следовательно, не будет решением задачи (W).
Несложно придумать пример экономики EQ и Парето-оптимума этой экономики, так что-
+


бы в этом Парето-оптимуме ограничение zi > 0 оказалось существенным для одного из
потребителей, и при снятии этого ограничения можно было бы увеличить полезность од-
ного из потребителей, не уменьшая полезность остальных. Читатель может сконструиро-
вать такой пример самостоятельно.
Но даже если в Парето-оптимуме экономики EQ все ограничения zi > 0 выполняются как
+

строгие неравенства, снятие данных ограничений может позволить осуществить Парето-
улучшение. Приведем пример.
Пример 1.
Рассмотрим экономику с одним потребителем (m = 1), одним производителем (n = 1) и
двумя благами (l + 1 = 2). Для упрощения обозначений индексы будем опускать. Предпоч-
тения потребителя заданы функцией v(x) = 5x3 – 9x2 + 6.9x, а технологическое множество
фирмы — функцией издержек c(x) = x4. Обе функции являются возрастающими при x > 0,
поэтому y = x, r = c(x) и z + r = ?, так что поиск Парето-оптимума сводится к максимиза-
ции функции
v(x) – c(x)
при ограничениях x > 0 и c(x) < ?. Здесь ограничение c(x) < ? соответствует ограничению
z > 0. Можно переписать последнее ограничение в виде x < c (?).
–1


0,025

0,5 1 1,5 2
–0,025

–0,05

–0,075

–0,1

0,125



?enoiie 44. I?eia? nouanoaaiiinoe ia?aie?aiey iaio?eoaoaeuiinoe eeiaeiiai
?eaia
Пусть ? = 1, при этом c (?) = 1. Как видно на Рис. 44 функция v(x) – c(x) имеет два ло-
–1


кальных максимума: x1 ? 0.83473 и x2 ? 1.6988. Только второй из этих максимумов является
глобальным. Парето-оптимум экономики EQ достигается при x = x1, поскольку максимиза-
+


ция идет на отрезке [0, 1]. В то же время Парето-оптимум экономики EQ и, следовательно,
решение задачи (W) достигается при x = x2.
(
В этом примере ключевым моментом является то, что функция v(?) не является вогнутой.
Можно было построить подобный пример иначе: так, чтобы функция v(?) была вогнутой,
но функция издержек не была выпуклой. Таким образом, для доказательства аналога пер-
216
217
вой части предыдущей теоремы в «выпуклой» экономике EQ следует потребовать, чтобы
+


все функции vi(?) были вогнутыми, а функции cj(yj) — выпуклыми. Аналогом этой теоре-
мы для случая экономики EQ является следующая теорема.
+



Теорема 2.
1) Предположим, что функции vi(?) вогнуты, а функции издержек cj(?) выпуклы, и пусть
^ ^^ ^^ ^^ ^^
S = {(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r1), ..., (yn, rn)} —
Парето-оптимальное состояние в квазилинейной экономике EQ, причем zi > 0 ?i. Тогда
+
^
^ ^^ ^
набор (x1, ..., xm, y1, ..., yn) является решением задачи (W).

^ ^^ ^
2) Обратно, пусть (x1, ..., xm, y1, ..., yn) является решением задачи (W), причем

¤?i – ¤ cj(yj) > 0.
^
i?I j?J

<< Предыдущая

стр. 48
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>