<< Предыдущая

стр. 49
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Тогда для произвольных z1, ..., zm > 0, удовлетворяющих балансам
^ ^

¤zi = ¤?i – cj(yj)
^ ^
i?I i?I

^^ ^^ ^ ^ ^ ^
набор {(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, c1(y1)), ..., (yn, cn(yn))} является Парето-оптимальным со-
стоянием квазилинейной экономике EQ.
+




Доказательство:
^
1) Доказательство опирается на следующее вспомогательное утверждение: если S — Па-
рето-оптимум в экономике EQ, удовлетворяющий условиям теоремы, то он также является
+


Парето-оптимумом в соответствующей экономике EQ. Если это утверждение верно, то
доказываемое является тривиальным следствием предыдущей теоремы.
Докажем это вспомогательное утверждение от противного. Пусть в соответствующей эко-
номике EQ существует допустимое состояние
˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜
S = {(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r 1), ..., (yn, r n)},
^
которое доминирует по Парето состояние S.
Рассмотрим выпуклую комбинацию этих двух состояний:
^ ˜
S(?) = ?S + (1 – ?)S, ? ? [0, 1].
Существует достаточно малое ? > 0, такое что S(?) является допустимым в экономике EQ.
+


Однако при ? > 0 состояние S(?) представляет собой Парето-улучшение в экономике EQ
+


^
по сравнению с S, что противоречит предположению теоремы.
Подробное изложение доказательства оставляется в качестве упражнения.
2) Доказательство оставляется в качестве упражнения.
*
Приведенные выше результаты позволяют нам в случае квазилинейной экономики ис-
пользовать задачу (W) для анализа Парето-оптимальных состояний.



217
218
В ситуации, когда функции vi(?) строго вогнуты, а функции cj(?) выпуклы, решение задачи
(W) единственно, поэтому два Парето-оптимальных состояния в экономике EQ (в экономи-
ке EQ, если zi и zi положительны)
+
˜`
˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜
(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r 1), ..., (yn, r n)},
`` `` `` ``
(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r1), ..., (yn, rn)}, —
˜`
могут различаться лишь объемами потребления (l+1)-го блага. Другими словами, xi = xi
?i ? I и yj = yj ?j ? J.
˜`
Поэтому, как несложно заметить, в случае экономики EQ граница Парето представляет
собой гиперплоскость вида (читателю предлагается доказать этот результат самостоятель-
но)

¤ui = const.
i?I

u2
14

12

10

8

6

4

2
u1
0
0 2 4 6 8 10

+
?enoiie 45. Ia?aoi-a?aieoa a yeiiiieea oeia EQ

В экономике EQ граница Парето может «загибаться» из-за того, что некоторые из ограни-
+


чений zi > 0 являются существенными, что иллюстрирует следующий пример.
Пример 2.
На Рис. 46. изображена Парето-граница в экономике типа EQ со следующими параметра-
+

ми: 2 блага (l + 1 = 2), 2 потребителя, с функциями полезности
u1 = 2 x1 + z1 и u2 = 4 x2 + z2,
и один производитель с функцией издержек
c(y) = y.
Начальные запасы 2-го блага равны 10.
Несложно проверить, что решение задачи (W) дает x1 = 1 и x2 = 4. Однако это решение опи-
сывает точки границы Парето только при u1 ? [2; 7]. Парето-граница при этом имеет вид
u2 = 15 – u1.
При u1 ? [0; 2] Парето-граница имеет вид
u12
u2 = 14 – 4 .

При u1 ? [7; 11] Парето-граница имеет вид
u2 = 4 11 – u1 .
218
219
(
В случае двух благ можно привести графическую иллюстрацию Парето границы экономи-
ки типа EQ на основе диаграммы Эджворта (см. Рис. 46). Жирная линия представляет со-
+

бой границу Парето.
Так как в достаточно широком классе случаев решения задачи (W) описывают Парето-
границу, то целевую функцию задачи (W) можно использовать для решения вопроса о
принадлежности некоторого допустимого состояния к Парето-границе. В связи с этим,
естественно рассматривать функцию

W(x, y) = ¤vi(xi) – ¤cj(yj)
i?I j?J

в качестве индикатора благосостояния. Основанием для этого является следующая теоре-



ма.
z2
x1




x2




c(y)
?
y
z1

+
?enoiie 46. Ia?aoi-a?aieoa yeiiiieee oeia EQ ia iniiaa aeaa?aiiu Ya?ai?oa

Пусть
˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜
S = {(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r 1), ..., (yn, r n)},
` `` `` `` ``
S = {(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r1), ..., (yn, rn)} —
допустимые состояния экономики EQ (EQ ). Тогда выполнено следующая теорема.
+



Теорема 3.
˜
1) Если каждый из потребителей в состоянии S имеет не меньшую полезность, чем в со-
`
стоянии S, т.е.
vi(xi) + zi > vi(xi) + zi ?i,
˜ ˜ ` `
и

¤zi + ¤ cj(yj) = ¤?i ,66
` `
i?I j?J i?I

то

66
Это условие будет, например, выполнено в общем равновесии.

219
220
W(x, y) > W(x, y),
˜˜ ``
причем если существует потребитель i0, такой что
˜ ˜ ` `
vi (xi ) + zi > vi (xi ) + zi
0 0 0 0 0 0



˜ `
(т.е. состояние S доминирует S по Парето), то
˜˜ ``
W(x, y) > W(x, y).
˜`
2) Для экономики EQ выполнено и обратное: если для состояний S и S верно W(x, y) >
˜˜
˜? ˜?
``
W(x, y), то можно подобрать z1, ..., zm такие, что состояние экономики

˜ ˜? ˜ ˜? ˜ ˜ ˜˜
{(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r 1), ..., (yn, r n)},
будет допустимым, причем
vi(xi) + z? > vi(xi) + zi ?i.
˜ ˜i ` `



Доказательство:
Доказательство оставляется в качестве упражнения.
*
Первая часть данного утверждения говорит о том, что любое Парето-улучшение сопрово-
ждается ростом индикатора W(?). Смысл второй части приведенного утверждения состоит
˜
˜˜ ``
в том, что если W(x, y) > W(x, y), то можно в состоянии S произвести такие трансферты
`
(перераспределить деньги), что новое состояние будет строго доминировать состояние S
по Парето. Заметим, что некоторые zi при этом могут оказаться отрицательными, поэтому
вторая часть утверждения неприменима к экономике EQ.
+


В Парето-оптимуме квазилинейной экономики индикатор благосостояния достигает мак-
^ ^
симума. Пусть W — это максимальное значение. Разность между W и уровнем индикато-
ра W(S) в некотором состоянии S называется чистыми потерями благосостояния:
^
DL = W– W(S).
Сравнение уровней благосостояния в анализируемом состоянии и в идеальной ситуации
позволяет количественно оценить, насколько далеко данное неэффективное состояние от
границы Парето, и сколько экономика в целом теряет вследствие неэффективности.

Характеристика поведения потребителей в квазилинейных
экономиках
В дальнейшем сравниваются потребительские наборы, которые оказываются рыночными
равновесиями при различных организациях рынков (совершенная конкуренция, монопо-
лия, олигополия и т.д.). При этом всюду предполагается, что потребители рассматривают
рыночные цены как данные. Другими словами, определяя предпочитаемый потребитель-
ский набор (xi, zi) при рыночных ценах благ (p, 1), потребитель в экономике EQ решает
следующую задачу:
vi(xi1,..., xil) + zi > max
pxi + zi < ?i ( CQ)
xik > 0.

220
221
Соответствующая задача в экономике EQ включает дополнительное ограничение zi > 0.
+


(Будем обозначать эту задачу через CQ). Здесь через ?i обозначен доход потребителя.
+


Имеют место следующие результаты, характеризующие оптимальный выбор потребителя.

Теорема 4.
Предположим, что (xi, z i) — решение задачи потребителя CQ при ценах p. Тогда xi явля-
-- -
ется решением следующей задачи
vi(xi1,..., xil) – pxi > max

<< Предыдущая

стр. 49
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>