<< Предыдущая

стр. 5
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


23
24

x ˜} y ? ! (x } y) и ! (y } x)

x ˜} y ? ! (x } }y) и ! (y } }x).
_ _
_



Тогда, }} = }, } } = } и ˜} = ˜}.
__
_ _


(2) Строгое отношение предпочтения } является асимметричным тогда и только тогда,
когда нестрогое отношение предпочтения } полно.
_
(3) Отрицательная транзитивность строгого отношения предпочтения эквивалентна
транзитивности нестрогого отношения предпочтения.


Доказательство:
(1) В принципе данное утверждение тривиально.
x }} y ? ! (y } x) ? x } y. Получили }} = }.
_ _ _ _

(x } } y) ?! (y } x) ?(x } y). Получили } } = }.
_ _
_
x ˜} y ? ! (x } }y) и ! (y } }x) ? ! (y } x) и ! (x } y) ? x ˜} y. Получили ˜} = ˜}.
_ _
_ _



(2?) Асимметричность строгого отношения предпочтения означает, что для любой пары
x, y ?X из x } y следует, что y } x неверно. Значит, для любой пары x, y ?X либо x }
y неверно, либо y } x неверно. Отсюда, пользуясь определением строгого отношения
предпочтения, либо x { y, либо y { x. А это и есть полнота нестрогого отношение пред-
_ _
почтения.
(2?) Пусть теперь нестрогое отношение предпочтения полно, т.е. для любой пары
x, y ?X либо x { y, либо y { x. По определению строгого отношения это то же самое,
_ _
что, либо x}y неверно, либо y } x неверно. Значит, из x}y следует, что y } x неверно. А
это и означает асимметричность строгого отношения предпочтения.
(3) Очевидно, что отрицательная транзитивность строгого отношения предпочтения
! (x } z) и ! (z } y) ? ! (x } y)
эквивалентна транзитивности нестрогого отношения предпочтения:
(z } x) и (y }z) ? (y } x).
_ _ _
$
Замечание. Поясним содержание данной теоремы. Смысл пункта (1) состоит в том, что
система предпочтений, полученная на основе строгого отношения предпочтения, совпада-
ет с системой предпочтений полученных на основе нестрогого отношения предпочтения, в
случае если x } y ? ! (y } x). Общий смысл Теоремы состоит в том, что как выполне-
_
ние свойств асимметричности и отрицательной транзитивности отношения } , так и вы-
полнение свойств полноты и транзитивности отношения } приводит к одной и той же
_
системе неоклассических предпочтений.
С первого взгляда все сделанные выше предположения и выводы из них кажутся естест-
венными и соответствующими интуиции. Однако в действительности есть ряд примеров
заставляющих относиться к ним достаточно осторожно. Укажем лишь некоторые из них:
• Проблемы с определением эквивалентности
Отметим, что отношение безразличия достаточно неоднородный объект. Фактически, на-
ше отношение безразличия говорит об эквивалентности двух альтернатив, если:

24
25

• потребитель считает, что эти две альтернативы для него на самом деле эквивалентны.
(Ну не гурман я, мне все равно, что съесть, что судак по-гасконски, что лапша по-
китайски, все едино.)
• потребитель ничего не знает ни об одной из предложенных альтернатив, и, тем самым,
не может их сравнивать. (А что вы предпочитаете: дурианы или рамбутаны?)
• предлагаемые альтернативы в принципе не сравнимы с точки зрения потребителя. В
ситуации, когда он сталкивается с выбором из этих двух альтернатив, он предпочитает
уклониться от выбора. (А ты кого больше любишь: папу или маму?)
В связи с этим возникает ряд вопросов, а что мы подразумеваем в действительности, когда
говорим о безразличии между несколькими альтернативами? Должны ли мы при модели-
ровании различать эквивалентность в зависимости от причин ее породивших? Ответы на
эти вопросы однозначно не определены и далеко выходят за пределы данного курса. В
данном пособии в дальнейшем мы будем придерживаться введенного выше определения.
Также отметим, что содержательная сложность понятия эквивалентности также наследу-
ется отношением }, в силу того, что } = } [ ˜.
_ _
• Проблемы с транзитивностью
Рассмотрим следующий пример. Если мы попросим индивидуума сравнить стакан чая,
куда положили один кристалл сахара, и стакан чая с двумя кристаллами, то практически
всегда получим ответ о безразличии в выборе. Такой же ответ получим при сравнении
стаканов с двумя и тремя кристаллами. Продолжим наш опрос достаточно долго, и, если
будем настаивать на транзитивности, то придем к выводу: Для индивидуума совершенно
безразлично, что пить, что стакан с одним кристаллом, что стакан с пятью ложками саха-
ра. Очевидно, получили абсурдный вывод, причина которого кроется в принципиальной
невозможности объективного сравнения малых величин блага. Этот пример заставляет
задуматься о необходимости и месте предположения отрицательной транзитивности
строгого отношения предпочтения, или что эквивалентно, транзитивности нестрогого от-
ношения предпочтения.
Помимо указанных проблем существует также ряд моментов, которые необходимо учи-
тывать при анализе предпочтений и/или выбора экономического агента, их пропуск или
игнорирование также может привести к нарушению приведенных нами предположений.
• Зависимость предпочтений от контекста
Довольно часто отсутствие транзитивности в реальности вызвана тем, что исследователь
не учитывает в своих рассмотрениях контекст ситуации. Под контекстом понимаются все
внешние, явным образом не входящие в допустимое множество альтернатив, обстоятель-
ства. Укажем несколько примеров, в которых небанальным образом сказывается влияние
контекста на предпочтения индивидуума: цена в случае демонстративного потребления,13
количество экономических агентов потребляющих данное благо (рынок мобильных теле-
фонов) и т.д. Все указанные факторы явным образом должны быть учтены при рассмотре-
нии соответствующих ситуаций. Если же рассматривать предпочтения, игнорируя важные
дополнительные переменные, то, естественно, возможно пронаблюдать нарушение, как


13
Вспомним бородатый анекдот:
– Ты почем галстук брал?
– Да не дорого, 2500 баксов отслюнил.
– Ну, ты и лох, за соседним углом, его же за 5000 зеленых толкают.
В этом случае полезность/желательность галстука напрямую зависит от его цены.

25
26

свойства отрицательной транзитивности, так и свойства асимметричности предпочтений
на альтернативах с разными значениями переменных входящих в контекст ситуации.
• Зависимость от постановки вопроса (framing)
Зависимость предпочтений от контекста, идеологически тесно связана с феноменом из-
вестным, как зависимость предпочтений/выбора от постановки вопроса. Рассмотрим клас-
сический эксперимент, проведенный Дениэлом Кахнеманом и Амошом Тверским14. Груп-
пе интервьюируемых было предложено ответить на следующий вопрос:
Предположим, что в некоторой стране ожидается вспышка гепатита. Ожидается,
что в результате данного заболевания погибнет 600 человек. Для борьбы с этим заболе-
ванием предлагаются две альтернативные программы, со следующими результатами
реализации:
Программа A: в случае реализации программы будет сохранена жизнь 200 человек.
Программа B: в случае реализации программы с вероятностью 1/3 будет сохранена
жизнь 600 человек, с вероятностью 2/3 в результате реализации программы не будет
спасена ни одна жизнь.
Какую из двух программ вы выберете?
Большинство интервьюируемых (72%) в данной ситуации предпочло первую альтернати-
ву второй. Далее был проведен опрос о той же ситуации, но с другими вариантами отве-
тов:
Программа C: в случае реализации погибнут 400 человек.
Программа D: в случае реализации с вероятностью 1/3 никто не погибнет, с вероятно-
стью 2/3 программа не будет иметь успеха и погибнут 600 человек.
В результате этого опроса 78% интервьюируемых выбрало альтернативу D. Легко прове-
рить, что программы A и C, и, B и D, попарно эквивалентны и отличаются только формой
выражения. Варианты A и B сформулированы в позитивном духе (количество спасенных
жизней), в то же время варианты C и D сформулированы в негативном ключе (число
умерших). Одно из возможных объяснений расхождения в результатах, казалось бы, оди-
наковых опросов состоит в неэквивалентности оценок выгод и потерь относительно status
quo.15 Очевидно, что наличие данного феномена также может нарушать наши предполо-
жения. (Кстати, возможность нарушения какого свойства демонстрирует данный пример?)
• Изменение предпочтений во времени
При рассмотрении предпочтений важно помнить, что, вообще говоря, предпочтения изме-
няются во времени. Если вы сегодня предпочитаете яблоки грушам, то далеко не факт, что
ваши предпочтения останутся неизменным на протяжении всей вашей жизни. Естествен-
но, этот факт также демонстрирует нарушение наших аксиом при рассмотрении реального
выбора/предпочтений.
Этот список далеко не исчерпывающ, его можно продолжать и продолжать. Так, напри-
мер, в литературе много внимания при обсуждении предпочтений и выбора уделяются
вопросам инверсии предпочтений, несостоятельности предпочтений во времени и др. Но
мы более не занимаемся обсуждением этого вопроса и отсылаем заинтересованного чита-
теля к соответствующей литературе.

14
Kahneman, D., Tversky, A., Choices, Values, and Frames, American Psychologist, 1984, 39(4).
15
Несмотря на то, что данный пример затрагивает вопросы выбора в условиях неопределенности, предмет
рассмотрения другой главы, он ясно указывает на важную черту присущую реальным ситуациям выбора и
поэтому приведен в данной главе.

26
27

Задачи
12.Сколько вопросов надо задать индивидууму, чтобы выявить его предпочтения над по-
требительскими наборами, состоящими из 5 благ, каждое из которых принимает в качест-
ве значений 0 и 1?


13. Пусть X =  +, а R задано следующим образом:
n


x R y ? xi > yi ?i.
Охарактеризуйте следующие бинарные отношения, построенные на его основе:
x R y ?!(y R x) и (x R y),
*


x R y ? !(x R y) и !(y R x).
**


Рассмотрите отношение R***, заданное по правилу x R* y ?!(y R x). Как оно связано с от-
ношением R*? Что можно сказать об отношении, задаваемом по правилу x R? y ? (x R y) и
(y R x).


14. Пусть отношение R рефлексивно и транзитивно. Рассмотрим задаваемые на основании
него отношения R и R , определяемые следующим образом:
* **


x R y ? !(y R x),
*


x R** y ? (x R y) и (y R x).
Покажите, что R иррефлексивно, отрицательно транзитивно, а R рефлексивно, транзи-
* **

тивно и симметрично.


15. Пусть некто предложил в качестве аксиом строгого отношения предпочтения постули-
ровать асимметричность и транзитивность. Какие проблемы на этом пути Вы видите?


16. Пусть } — нестрогое отношение предпочтения (полное и транзитивное бинарное от-
_
ношение), заданное на X, а } (x } y ? (x } y) и !(y } x) ) и ˜ (x ˜ y ? (x } y) и (y }x))
_ _ _ _
— строгое отношение предпочтения и отношение эквивалентности, построенные на его
основе. Каким свойствам будут удовлетворять отношения } и ˜?


17. (Продолжение) Покажите, что для любых x, y ? X выполняется ровно одно из трех
соотношений: x } y, y } x, x ˜ y.


18. (Продолжение) Докажите, что для любых x, y, z ? X таких, что x } y и y ˜ z, выпол-
_
нено x } z. Какие еще свойства, аналогичные этому, выполнены для данной системы
_
предпочтений?


19. (Продолжение) Докажите что при полноте отношения } определение строгого отно-
_
шения предпочтения эквивалентно x } y ? !(y } x).
_



27
28

20. Докажите недоказанные в основном тексте пункты Теоремы 2.


21. Пусть } — нестрогое отношение предпочтения (полное и транзитивное бинарное от-
_
ношение) заданное на X, а ˜ (x ˜ y ? (x } y) и (y } x)) — отношение эквивалентности.
_ _
Рассмотрим семейство множеств (кривых) безразличия, построенных на основании ˜. Как
на основании порядка, задаваемого отношением }, корректно и непротиворечиво ввести
_
порядок на этом семействе? Какими свойствами он обладает?

Представление предпочтений функцией полезности
В этом и в следующем параграфах мы рассмотрим условия, при выполнении которых
можно получить числовой индикатор полезности (функцию полезности16) с некоторыми на-
перед заданными свойствами. Функция полезности является удобным инструментом ана-
лиза (особенно в приложениях теории) как выбора потребителя, так и вопросов сравни-

<< Предыдущая

стр. 5
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>