<< Предыдущая

стр. 50
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

xik > 0. (O)
И обратно, пусть xi — решение задачи (O), тогда (xi, ?i – pxi) — решение задачи CQ при
- - -
ценах p.



Доказательство:
Доказательство оставляется в качестве упражнения.
*
Это означает, что спрос потребителя на первые l благ не зависит от его дохода. Аналог
этого результата верен и в случае задачи CQ, когда допустимые потребительские наборы
+


удовлетворяют дополнительному условию zi> 0, что показывает следующая теорема.


Теорема 5.
--
Предположим, что vi(?) — вогнутая функция, а (xi, z i), — решение задачи потребителя
CQ при ценах p (соответствующей экономике EQ), такое что z i > 0. Тогда xi является ре-
+ +
- -
шением следующей задачи
vi(xi1,..., xil) – pxi > max
xik > 0 ?k (,)
И обратно, пусть xi — решение задачи (,), и ?i < pxi, тогда (xi, ?i – pxi) — решение за-
- - - -
дачи CQ при ценах p и доходе ?i.
+




Доказательство:
Доказательство оставляется в качестве упражнения.
*
Предположим дополнительно, что vi(?) — непрерывно дифференцируемая функция. Тогда
для решения задачи оптимального выбора потребителя CQ (или CQ при zi > 0) должно вы-
+

полняться следующее условие
?vi(xi) < p,
-
-
причем если xik > 0, то
?vi(xi)
-
= pk .
?xik
221
222
-
Таким образом, если решение задачи потребителя внутреннее (xi > 0) и, кроме того, zi > 0 в
случае задачи CQ), то
+


?vi(xi) = p.
-
Другими словами, градиент функции vi(?), вычисленный для набора благ, совпадающего с
рыночным спросом потребителя, равен вектору рыночных цен этих благ. Таким образом,
градиент функции vi(?) представляет собой обратную функцию спроса pi(xi) i-го потреби-
теля — вектор цен первых l благ, при котором потребитель предъявляет спрос именно на
этот набор благ.
В классе квазилинейных экономик важную роль играет случай когда предпочтения всех
потребителей, помимо свойства квазилинейности обладают свойством сепарабельности,
т.е. функции полезности таких потребителей представимы в виде

ui(xi1,..., xil, zi) = vi(xi1,..., xil) + zi = ¤vik(xik) + zi.
k

Если функция полезности i-го потребителя имеет такой вид, то задачу потребителя CQ
можно разложить на l задач — по одной на каждое благо кроме (l+1)-го:
vik(xik) – pkxik > max x >0 (CQk)
ik




Теорема 6.
Если xi — решение задачи потребителя CQ при ценах p, то xik — решение задачи CQk при
- -
цене pk. Обратно, если xik — решение задачи CQk при цене pk при k = 1, ..., l, то xi = (xi1, ...,
- - -
xil) — решение задачи CQ при p = (p1, ..., pl).
-


Доказательство:
Доказательство оставляется в качестве упражнения.
*
Из данной теоремы следует, что функция спроса на k-е благо зависит только от цены на
это благо, т.е. имеет вид xik(pk).
В этом случае (при условии дифференцируемости) необходимое условие оптимальности
потребительского набора (xi, -i) (как в случае экономики EQ, так и в случае EQ при zi > 0)
+
-z
имеет вид:
?vik(xik)
-
< pk,
?xik
-
причем если xik > 0, то
?vik(xik)
-
= pk.
?xik
Это условие является также и достаточным, если vik(?) — вогнутые функции.
Из Теоремы Ошибка! Источник ссылки не найден. следует, что, вместо исходной зада-
чи мы можем использовать для анализа спроса на k-е благо задачу CQk. Мы будем предпо-
лагать, что функция vik(xik) дважды дифференцируема, имеет положительную производ-
ную и строго вогнута. Строгая вогнутость гарантирует, в числе прочего, что если решение
задачи CQk существует, то оно единственно. Очевидно, что это решение есть значение
функции спроса рассматриваемого потребителя на k-е благо при данном pk, xik(pk).
222
223
Рассмотрим условия существования решения задачи CQk. (Заметим, что из Теоремы
Ошибка! Источник ссылки не найден. следует, что решение исходной задачи CQ в слу-
чае сепарабельной функции полезности существует тогда и только тогда, когда сущест-
вуют решения задач CQk при любом k = 1, ..., l.)
Введем обозначения 67
?vik(xik)
-
p = sup x >0
?xik
ik




и
?vik(xik)
p = inf x >0 .
_
?xik
ik




Легко видеть, что при любом pk, таком что p < pk < p, решение задачи CQk существует. Дей-
-
_
ствительно в силу непрерывности функции ?vik(xik)/?xik, существует xik, такое что
?vik(xik)
= pk.
?xk
Это xik должно быть решением задачи потребителя при ценах pk.
Кроме того, при ценах pk < p задача CQk не имеет решения. Покажем это. Пусть при pk < p
_ _
существует решение xik(pk) > 0. Тогда должно выполняться необходимое условие оптиму-
ма (условие первого порядка)
?vik(xik(pk))
< pk.
?xik
Откуда в силу того, что pk < p имеем
_
?vik(xik(pk)) ?v (x )
< inf x >0 ik ik
?xik ?xik
ik




Рассмотрим теперь значение функции ?vik(xik)/?xik в точке xik(pk) + ?. В силу убывания
этой функции имеем
?vik(xik(pk) + ?) ?vik(xik(pk))
<
?xik ?xik
при любом ? >0. Откуда получаем
?vik(xik(pk) + ?) ?vik(xik(pk)) ?v (x )
< inf x >0 ik ik = p.
< _
?xik ?xik ?xik
ik




Так как xik(pk) + ? > 0, мы получили противоречие с определением инфимума. Тем самым,
предположив существование решения задачи CQk при pk < p мы пришли к противоречию, а
_
значит полностью обосновали то, что при pk < p задача CQk не имеет решения.
_
Покажем теперь, что xik(pk) > 0 при pk > ?. Рассмотрим для этого два случая: p = ? и p
- -
< ?.
Пусть p = ?. При pk > _, по доказанному ранее решение xik(pk) задачи CQk существует, при-
- p
чем оно будет внутренним (xik(pk) > 0), так как любое значение pk > p по непрерывности
_


67
-
p — это так называемая цена «удушения» спроса.

223
224
функции ?vik(xik)/?xik может быть реализовано при соответствующем подборе xik. Это
означает, что условие первого порядка в этой задаче выполнено как равенство при pk > p:
_
?vik(xik(pk))
= pk,
?xk
и оно определяет функцию спроса xik(pk) при pk > p.
_
n
Рассмотрим теперь последовательность {pk }, такую что
lim n>? pk = ?.
n


n ns
Выделим из последовательности {pk } возрастающую подпоследовательность {pk }. На ос-
n
новании подпоследовательности цен {pk } построим соответствующую ей последователь-
s


n
ность объемов спроса {xik} по правилу
s




?vik(xik) n
ns
= pk . s


?xik
Так как lim s>? pk = ?, то в силу строгой вогнутости функции полезности имеем, что по-
ns

n n +1 n
следовательность объемов спроса {xik} убывает, причем xik < xik. Как мы отметили выше
s s s



при pk > p решение задачи CQk является внутренним и, таким образом, xik > 0 ? ns, но каж-
n s
_
˜
дая убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел. Пусть xik — пре-
˜
дел этой последовательности объемов спроса и xik > 0. Тогда, как нетрудно заметить, под-
последовательность {pk } имеет (в силу непрерывности ?vik(xik)/?xik) конечный предел
n s



?vik(xik)/?xik, что противоречит ее построению. Получив противоречие, мы доказали, тем
˜
самым, что xik= 0 и тем самым, что xik(pk) > 0 при pk > ?.
˜
Пусть теперь p < ?. Тогда в силу убывания функции ?vik(xik)/?xik имеет место равенство
-
?vik(xik) ?v (x )
-
p = lim x >0 = max x >0 ik ik .
?xik ?xik ik
ik

<< Предыдущая

стр. 50
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>