<< Предыдущая

стр. 51
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>




Тогда при любой цене pk > p выполнено
-
?vik(0)
< pk.
?xik
Отсюда следует, что при pk > p спрос на данное благо равен нулю, т.е. xik(pk) = 0, поскольку
-
в силу вогнутости целевой функции это необходимое условие оптимальности является
также и достаточным. Отметим, что так как функция полезности в задаче CQk является
строго вогнутой, то xik(pk) = 0 — единственное решение этой задачи. Тем самым мы дока-
зали, что в общем случае xik(pk) > 0 при pk > ?.

Потребительский излишек: определение, связь с прямой и обратной
функциями спроса
Пользуясь выведенными выше характеристиками потребительского выбора, проанализи-
руем связь оценки vi(xi) с площадью под кривой спроса потребителя.
Пусть xi = xi(p), т.е. является спросом потребителя при ценах p. Величина
CSi = vi(xi1,..., xil) – pxi – vi(0)
называется потребительским излишком. В дальнейшем без потери общности будем предпо-
лагать, что vi(0) = 0.


224
225
Мы рассмотрим случай квазилинейных сепарабельных функций полезности, т.е.
l
vi(xi1,..., xil) = ¤vik(xik). Потребительский излишек при этом получается суммированием
k=1
потребительских излишков, получаемых потребителем на рынках отдельных благ:
l l
CSi = ¤(vik(xik) – pkxik) = ¤CSik,
k=1 k=1

где CSik = vik(xik) – pkxik.
В этом случае геометрически излишек потребителя на рынке k-го блага равен площади
фигуры, лежащей под графиком функции обратного спроса выше цены этого блага (см.
Рис. 47).
pk




CS
pik(?)
xik


?enoiie 47. Eceeoae iio?aaeoaey
Поясним это. Рассмотрим потребительский излишек как функцию цен:
l l
CSi(p) = ¤[vik(xik(pk)) – pk xik(pk)] = ¤CSik(pk).
k=1 k=1

Функции CSik(pk) = vik(xik(pk)) – pk xik(pk) определены при всех ценах pk > p и, кроме того,
_
68
не могут быть отрицательными.
Как было доказано, xik(pk) > 0 при pk > ?, откуда vik(xik(pk)) > 0 при pk > ?. Поскольку
pk xik(pk) < vik(xik(pk)), то при росте цены блага расходы на его приобретение стремятся к
нулю, т.е. pk xik(pk) > 0 при pk > ?.
Функция CSi(p) является дифференцируемой, если функция полезности дважды диффе-
ренцируема. Дифференцируя ее, получаем (с учетом условий первого порядка для задачи
потребителя), что при xik(pk) > 0
? CSi(p) ? CSik(pk)
.
xik(pk) = – =–
?pk ?pk
(Читателю предоставляется проверить этот факт самостоятельно).
Если xik(t) > 0 при всех t > pk , то проинтегрировав обе части этого дифференциального
уравнения, получим
? ?
? CSik(t)
–? dt = ? xik(t)dt.
?t
p p
k k



Откуда



68
Так как xik = 0 является допустимым в задаче C1k(pk), то CSik(pk) = vik(xik(pk)) – pk xik(pk) > vik(0) – pk? 0 = 0, и,
тем самым, CSik(pk) > 0.

225
226
?
CSik(p) – lim t>?CSik(t) = ?xik(t)dt,
p

что позволяет выразить излишек потребителя i от потребления блага k в виде
?
CSik(p) = ?xik(t)dt + lim t>?CSik(t).69
p

Поскольку второе слагаемое в этом соотношении равно нулю:
lim t>?CSik(t) = 0,
то
?
CSik(p) = ?xik(t)dt.
p

В силу того, что функция pik(?) является обратной к функции xik(?), имеет место соотноше-
ние70
xik(p)
CSik(p) = ? pik(q)dq – pxik(p),
0

В итоге, общий потребительский излишек получаем суммированием этих интегралов по
всем рынкам:
l?
l
CSi(p) = ¤CSik(p) = ¤ ? xik(t)dt =
k=1 pk
k=1
l xik(p) l
= ¤ ? pik(t)dt – p¤xik(p).
k=1 0 k=1



Характеристика поведения производителей в
квазилинейных экономиках
Напомним, что в рассматриваемом случае технологию каждого производителя представ-
ляет функция издержек. Если технологическое множество выпукло, то функция издержек
является выпуклой. В этом параграфе мы приведем постановки задачи потребителя при
различных предположениях о типе конкуренции с которым сталкивается производитель.
Предположим, что j-й производитель сталкивается с функцией обратного спроса на про-
изводимые им блага вида
pj = pj(yj).
Здесь мы отходим от предположения о совершенстве конкуренции — производители не
рассматривают цены как данные.
В предположении (обычном для неоклассической парадигмы), что производитель выбира-
ет объемы производства соответствующих благ, максимизирующие прибыль, задача j-го
производителя имеет вид:


69
Заметим, что если существует цена pk, такая что xk(t) > 0 при всех t < pk и xk(t) = 0 при всех t > pk, то при
- - -
pk < -k
p
- -k
pk p
? CSik(t)
–? dt = ? xik(t)dt.
?t
pk pk
70
Равенство доказывается интегрированием по частям и заменой переменных.

226
227
?j = pj(yj)yj – cj(yj) > maxy > 0.j



Если функции p(yj) и cj(yj) дифференцируемы, то необходимое условие оптимальности
выпуска yj производителя j имеет вид
?
?pjk(yj)yj + pjk(yj) – cjk(yj) < 0,
причем если yjk > 0, то
?pjk(yj)yj + pk(yj) – c?jk(yj) = 0.
В случае, если функции полезности сепарабельны, спрос на каждое благо зависит только
от его цены. В этом случае цена любого блага зависит только от продаваемого количества
блага:
pjk = pjk(yjk).
Предположим также, что функция издержек производителя также сепарабельна, т.е.
l
cj(yj) = ¤cjk(yjk).
k=1

В этом случае прибыль имеет вид
l
?j = ¤[pjk(yjk)yjk – cjk(yjk)].
k=1

Задача максимизации прибыли распадается, таким образом на l задач. Условия первого
порядка приобретают более простой вид:
? ?
pjk(yjk)yjk + pjk(yjk) < cjk(yjk),
причем при yjk > 0
? ?
pjk(yjk)yjk + pjk(yjk) = cjk(yjk).
И наконец, если цена спроса не зависит от продаваемого объема блага,
pjk(yjk) = const,
(производители принимают цены как данные, в отрасли складывается ситуация совер-
?
шенной конкуренции), то pjk(yjk) = 0 и условия первого порядка приобретают вид
?
pjk < cjk(yjk),
причем при yjk > 0
?
pjk = cjk(yjk).
Последнее соотношение задает функцию предложения k-го блага j-м предприятием. Это
функция зависит только от цены k-го блага.

Излишек производителя
Предположим, что производитель рассматривает цену как данную, или, другими словами,
цена спроса не зависит от продаваемого объема, и цены у всех производителей одинаковы
и равны p. В качестве излишка производителя при ценах p будем рассматривать его при-
быль при этих ценах, т.е.
PSj = ?j = pyj – cj(yj).




227
228
pk cjk(?)




PS yjk


?enoiie 48. Eceeoae i?iecaiaeoaey
В случае, если функция издержек сепарабельна, излишек производителя можно предста-
вить как сумму излишков по l рынкам:
l l
PSj = ¤[pkyjk – cjk(yjk)] = ¤PSjk.
k=1 k=1

Можно представить излишек производителя на k-м рынке в виде интеграла:
yjk

?
PSjk = ? [pk – cjk(t)]dt – cjk(0).
0


Он равен (с точностью до константы cjk(0) ) площади фигуры, образуемой прямой, прохо-
?
дящей через точку (0, pjk) параллельно оси абсцисс, и кривой предельных издержек cjk(yjk)
(кривой предложения). В случае, когда cjk(0) = 0 получаем, что излишек производителя
равен
yjk

?
PSjk = ? [pk – cjk(t)]dt.
0




Связь излишков потребителя и производителя с
индикатором благосостояния
Предположим, что {(x1, z1), ..., (xm, zm), (y1, r1), ..., (yn, rn)} — допустимое состояние
экономики, причем (xi, zi) — решение задачи CQ i-го потребителя при ценах p и

p¤xi = p¤yj.
i?I j?J

Тогда

W(x, y) = ¤vi(xi) – ¤cj(yj) =
i?I j?J


= ¤vi(xi) – p¤xi + ¤(pyj – cj(yj)) = CS + PS,
i?I i?I j?J

где

<< Предыдущая

стр. 51
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>