<< Предыдущая

стр. 52
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


CS = ¤CSi
i?I

— суммарный потребительский излишек,

PS = ¤?j(p) = ¤PSj(p)
j?J j?J



228
229
— суммарный излишек производителей.
Другими словами, индикатор благосостояния W(x, y), соответствующий любому равно-
весию, равен сумме излишков потребителей и производителей.
Заметим, что если p — равновесный вектор, предпочтения локально ненасыщаемы, то
условия

p¤xi = p¤yj
i?I j?J

выполнены. Заметим также, что в этом случае состояние экономики Парето-оптимально,
и поэтому W(x, y) достигает максимума на множестве допустимых состояний.
В сепарабельной экономике излишки потребителей и производителей представляют собой
суммы соответствующих излишков на l рынках:
l l
CS = ¤CSk, PS = ¤PSk.
k=1 k=1



Представление суммарного спроса посредством модели
репрезентативного потребителя
Очень часто при изучении моделей частного равновесия бывает удобно использовать
предположение о том, что суммарный спрос порождается решением задачи одного потре-
бителя. В том случае, когда такой потребитель существует, его называют репрезентатив-
ным потребителем.

Покажем, что в экономике EQ репрезентативный потребитель всегда существует.
Пусть xi(p) — вектор спроса i-го потребителя на первые l благ при ценах p. Тогда сум-
марный спрос всех потребителей равен

X(p) = ¤xi(p).
i?I

В этих обозначениях репрезентативный потребитель будет порождать своими предпочте-
ниями суммарный спрос X(p).
Покажем что репрезентативный потребитель в этих условиях существует, причем его
предпочтения на множестве потребительских наборов (x, z), x > 0, могут быть представ-
лены квазилинейной функцией полезности вида:
u(x, z) = v(x) + z.
Рассмотрим следующую задачу (задачу максимизации суммы полезностей от потребления
-
1-го блага при фиксированном количестве x этого блага):

¤vi(xi) > max x ,...x 1 m

i?I


¤xi < x.
- (-)
i?I

xi > 0
-
Тогда в качестве v(x) мы можем взять значение этой задачи при x = x. Покажем, что X(p)
является решением задачи репрезентативного потребителя с функцией полезности,
u(x, z) = v(x) + z, при любом векторе цен p > 0.

229
230
Предположим противное. Как мы видели, задачу представительного потребителя в случае
квазилинейных предпочтений можно записать в эквивалентной форме:
v(x) – px > max x>0.
Пусть существует x > 0, такой что
˜
˜ ˜
v(x) – px > v(X(p)) – pX(p).

При этом, так как X(p) = ¤xi(p), и xi(p) допустимы в задаче (-) при x = X(p), то долж-
-
i?I
но быть выполнено

v(x) – px > ¤vi(xi(p)) – p¤xi(p).
˜ ˜
i?I i?I


Заметим, что v(x) = ¤vi(xi), где (x1, ..., xm) — решение задачи (-) при x = x. Таким обра-
˜ ˜ ˜ ˜ -˜
i?I
зом имеем

¤vi(xi) – p¤xi > ¤vi(xi) – px > ¤vi(xi(p)) – p¤xi(p).
˜ ˜ ˜ ˜
i?I i?I i?I i?I i?I

Но это означает, что по крайней мере для одного из потребителей выполнено
˜ ˜
vi(xi) – pxi > vi(xi(p)) – pxi(p),
что противоречит оптимальности набора xi(p).
Докажем, что

v(X(p)) = ¤vi(xi(p)),
i?I

другими словами, индикатор благосостояния в экономике с одним представительным по-
требителем упорядочивает интересующие нас состояния экономики так же, как и индика-
тор благосостояния первоначальной экономики.

Предположим противное. Случай v(X(p)) < ¤vi(xi(p)) невозможен, т.к. xi(p) допустимы
i?I
-
в задаче (-) при x = X(p). Поэтому предположим, что существует p такое, что

v(X(p)) > ¤vi(xi(p)).
i?I


Пусть (x1, ..., xm) — решение задачи (-) при x = X(p). По определению v(X(p)) = ¤vi(x
^ ^ - ^
i?I
). Значит,
i


¤vi(xi) > ¤vi(xi(p)).
^
i?I i?I

С другой стороны,

¤xi < X(p) = ¤xi(p).
^
i?I i?I

Умножим на p:


230
231

p¤xi < p¤xi(p).
^
i?I i?I

Складывая два неравенства, получаем

¤vi(xi) – p¤xi > ¤vi(xi(p)) – p¤xi(p).
^ ^
i?I i?I i?I i?I

Получили требуемое противоречие.

Задачи к главе

1. Докажите вторую часть Теоремы Ошибка! Источник ссылки не найден..


2. а) Постройте контрпример с вогнутыми функциями vi(?) и выпуклыми функциями cj(?),
который бы показывал, что условие zi > 0 ?i существенно в первой части Теоремы
^
Ошибка! Источник ссылки не найден..
б) Постройте контрпример, который бы показывал, что условие выпуклости функции из-
держек существенно в первой части Теоремы Ошибка! Источник ссылки не найден..


3. Докажите Теорему Ошибка! Источник ссылки не найден..


4. Покажите, что в случае квазилинейной экономики без ограничений на квазилинейное
благо (EQ) Парето-граница в координатах полезностей ui представляет собой гиперпло-
скость вида ¤ui = const.
i?I




5. Докажите Теоремы Ошибка! Источник ссылки не найден., Ошибка! Источник
ссылки не найден. и Ошибка! Источник ссылки не найден..


6. Докажите, что при xk(pk) > 0 выполнено
? CSi(p) ? CSik(pk)
.
xk(pk) = – =–
?pk ?pk


7. Пусть (x, y) — допустимое состояние квазилинейной экономики, и p > 0 — некоторый
вектор цен, причем xi является решением задачи потребителя при ценах p, и

p¤xi = p¤yj
i?I j?J

Докажите, что

¤ui(xi, zi) = W(x, y) + ¤?i
i?I i?I




231
232
8. В экономике два блага (l + 1 = 2) и два потребителя, имеющие функции полезности
u1 = x1 + z1 и u2 = 2 x2 + z2. Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.

3 3
9. Решите предыдущую задачу с функциями полезности u1 = –3/x1 + z1 и u2 = –3/x2 + z2.


10. Потребители (i = 1, ..., m) имеют квазилинейные функции полезности вида
21
(A) ui = 2?i xi + zi, (B) ui = –?i x + zi, (C) ui = 2?i ln xi + zi.
i

Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя в каждом из случаев.


11. Пусть предпочтения потребителей представляются квазилинейными сепарабельными
функциями полезности. Тогда без потери общности можно считать, что в экономике два
блага (l + 1 = 2). Пусть xi(p) — спрос на первое благо i-го потребителя при ценах p,
D(p) = ¤xi(p) — суммарный спрос потребителей на первое благо, и p(x) = D (x) — об-
–1


ратная функция спроса. Предположим, что функция p(x) является непрерывной и убы-
вающей при x > 0. Докажите, что если
x
v(x) = ?p(q)dq,
0

то v(x) + z является функцией полезности репрезентативного потребителя.


12. В ситуации предыдущей задачи функция спроса на благо имеет вид
1
D(p) = 4p2.

Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.




232
233


5. Риск и неопределенность

Принятие экономическим субъектом решений в условиях риска (неопределенности) оз-
начает, что его благосостояние в будущем зависит от двух факторов: его решения в дан-
ный момент и от того, какое состояние мира (состояние природы) реализуется в будущем:
какая будет погода, экономическая конъюнктура и т. п. Что именно произойдет, человек,
принимающий решение, может только догадываться. Когда же определенное состояние
реализуется, то принятое решение уже нельзя изменить.
Таким образом, для характеристики ситуации выбора в условиях неопределенности мы
должны, в дополнение к множеству возможных решений A, описать множество состояний
мира S и множество исходов (результатов) принятия решений X. При этом исход xa(s) ?
X, описывает, что «получает» данный субъект в состоянии мира s ? S, если принимает
решение a ? A. Это может быть, например, некоторый набор из множества допустимых
потребительских наборов. Часто рассматривают случай, когда X =   (или  +). В этом слу-
чае исходы обычно называют выигрышами (денежными выигрышами). Ряд положений
теории выбора в условиях неопределенности не зависит от природы рассматриваемых
исходов.
Предполагается, что на множестве состояний мира S задано тем или иным способом рас-

<< Предыдущая

стр. 52
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>