<< Предыдущая

стр. 53
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

пределение вероятностей. Этот объект называется вероятностным пространством. Тогда с
точки зрения теории вероятностей множество состояний мира S — это множество эле-
ментарных событий, а функция xa(?), описывающая исходы действия a во всех состояниях
мира, — это случайная величина. Соответствующую случайную величину мы будем обо-
˜
значать xa. В дальнейшем, чтобы не усложнять анализ техническими деталями, мы, как
правило, будем предполагать, что множество состояний мира S конечно: S = {1, ..., N}.
˜
Тогда случайная величина xa является дискретной и может быть описана таблицей
1 2 ... N
µa1 µa2 µaN
...
...
xa1 xa2 xaN

Здесь µas > 0 — вероятность того, что реализуется состояние мира s при условии, что осу-
ществлены действия a (принято решение a). Сумма вероятностей равна единице: ¤µas = 1.
s?S

˜
Мы будем часто говорить об xa как о случайных величинах, но, вообще говоря, речь неяв-
˜
но идет и о соответствующих вероятностных пространствах. А именно, объект xa включа-
ет в себя не только информацию о функции xa(?), но и о вероятностях состояний мира µas,
˜
т.е. всю информацию, содержащуюся в приведенной таблице. Будем называть xa случай-
ным потребительским набором.
Как обычно, мы следуем неоклассической парадигме и предполагаем, что индивидуум
осуществляет принятие решения в условиях риска на основании своих предпочтений. Во-
обще говоря, для предсказания поведения индивидуума достаточно задать его предпочте-
ния на множестве альтернатив A. Однако хотелось бы иметь более общее описание, чтобы
анализировать поведение в условиях риска не в одной конкретной ситуации, задаваемой
набором исходов xas и вероятностей состояний мира µas, а в некотором достаточно бога-
том множестве таких ситуаций. Таким образом, следует предположить существование
˜ ˜ ˜
предпочтений на множестве A?X пар (a, x), где случайный потребительский набор x
включает исходы xs и их вероятности µs (s ? S).
233
234
˜
Заметим, что, рассматривая предпочтения на A?X, мы неявно предполагаем, что, вообще
говоря, индивидууму не безразлично, какие действия a он предпринял. Содержательно это
означает, что при принятии решения важны как исходы xs принятого решения при всех
возможных состояниях мира S, так и (говоря неформально) возможные издержки получе-
ния исходов, связанные с действиями a.
Однако все последствия предпринятых действий мы можем включить в наборы xs, так что
сами по себе действия a будут носить «нейтральный» характер. Другими словами, мы без
потери общности можем рассматривать ситуацию, когда экономическому субъекту без-
различно, какое решение привело к данным результатам:
Для любых двух решений a, b ? A и любого случайного потребительского набора x ?
˜
˜ ˜ ˜
X выполнено (a, x) ˜ (b, x).
˜
Таким образом, мы можем считать, что предпочтения заданы на множестве X.
˜
Множество возможных случайных потребительских наборов, X, должно быть достаточно
богатым. Удобно предположить, что оно имеет структуру X?M, где M — множество
(симплекс) всех возможных векторов вероятностей µ = {µs}s?S, удовлетворяющих естест-
венным требованиям µs > 0 ?s ? S и ¤µas = 1.
s?S

В следующих двух параграфах мы покажем, что при некоторых предположениях относи-
˜
тельно предпочтений на множестве X существует представляющая их функция полезно-
сти U(?) особого вида (линейная по вероятностям состояний мира). Этот материал может
быть пропущен без ущерба для понимания последующего изложения.

Представление предпочтений линейной функцией
полезности
Как уже сказано выше, мы будем исходить из того, что у принимающего решение инди-
˜
видуума имеются некоторые предпочтения {}, }, ˜} на X. Как обычно, будем при этом
_
предполагать, что предпочтения являются неоклассическими (в частности, отношение }
отрицательно транзитивно и асимметрично):
˜
(A1?) На A?X заданы неоклассические предпочтения {}, }, ˜}.
_
Как известно, если предпочтения являются неоклассическими (рациональными) и непре-
рывными, они могут быть представлены функцией полезности. В этом параграфе, опира-
ясь на результаты последующего, мы покажем, что при выполнении некоторых дополни-
тельных предположений относительно предпочтений, представляющая их функция полез-
ности имеет некоторый специальный вид.
Итак, наша цель состоит в том, чтобы доказать, что представляющая рассматриваемые
предпочтения функция полезности имеет вид:

U(x) = ¤µsu(xs).
˜
s?S




234
235
Функция U(?) такого вида называется функцией Неймана—Моргенштерна (ожидаемой полез-
ностью), а функция u(?), заданная на множестве исходов X, — элементарной функцией по-
71
лезности (функцией Бернулли) .

Первое предположение, которое требуется сделать, состоит в том, что для потребителя не
имеет значение само по себе состояние мира. Это предположение позволяет характеризо-
˜
вать предпочтения на случайных потребительских наборах x посредством предпочтений
на лотереях — объектах более простой природы. Если для потребителя не имеет значение
само по себе состояние мира, и потребление xs в нескольких различных состояниях мира
совпадает, то можно «объединить» эти состояния и сложить вероятности. Получившийся
объект и будет называться лотереей. Покажем, как построить такие лотереи и осущест-
вить соответствующий переход к предпочтениям на них.
˜ '
Пусть x — случайный потребительский набор. Рассмотрим множество {xj} всех различ-
ных между собой исходов xs из этого случайного набора, которым соответствуют поло-
жительные вероятности (другими словами, это носитель соответствующей случайной ве-
'
личины). Каждому исходу xj сопоставляется вероятность pj, равная сумме вероятностей
'
состояний мира, в которых исход равен xj, то есть

pj = ¤ µs.
'
s:xs=xj

Такие объекты (множества различных исходов и их вероятности) принято называть лоте-
реями на множестве X. Построенную на основе исходного случайного потребительского
˜˜
набора x ? X лотерею будем обозначать ‰(x). Множество построенных таким образом
˜
лотерей будем обозначать L:
˜˜˜
L = {‰(x) | x ? X}.
˜
Если потребовать, чтобы при сравнении разных x принимались во внимание только исхо-
˜
ды и вероятности их получения, то предпочтения на множестве X порождают предпочте-
ния на множестве лотерей, порожденных этими величинами. В таком случае можно рас-
сматривать непосредственно лотереи и предпочтения на множестве лотерей. Таким обра-
˜
зом, мы предполагаем, что исходные предпочтения на X удовлетворяют следующему
свойству:
˜˜ ˜
(A1??) Если для x, y ? X выполнено ‰(x) = ‰(y), то x ˜ y.
˜ ˜ ˜˜
Несложно понять, что предпочтения на множестве L, построенные на основе исходных,
будут неоклассическими.
Дальнейшее изложение не зависит от способа задания множества лотерей L и предпочте-
ний на нем. Поскольку многие ситуации выбора изначально представляются как ситуации
выбора на множестве лотерей, то приведенный ниже анализ имеет и самостоятельное зна-
чение.
˜
Если множество состояний мира S достаточно «большое» и множество X достаточно бо-
гато, то и множество лотерей L будет достаточно представительным. Мы будем предпо-


71
Эта функция впервые была выведена на основе аксиом Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштер-
ном в их знаменитой книге John Von Neumann and Oskar Morgenstern. Theory of Games and Economic Behav-
ior, Princeton University Press, 1944 (рус. пер.: Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономиче-
ское поведение. — М.: Наука, 1970). Сама идея ожидаемой полезности появилась гораздо раньше (см. напр.
работу Даниила Бернулли упоминаемую в сноске 76 на стр. 249).

235
236
лагать, что множество лотерей L содержит все так называемые простые лотереи, выде-
ляемые следующим определением.

Определение
Под простой лотереей мы будем понимать лотерею с конечным носителем, т.е. пару
(Xp, p), где Xp — конечное подмножество множества исходов X, а p — вектор вероят-
ностей получения исходов из Xp.


Если множество состояний мира конечно, то все лотереи из множества L будут простыми.
Однако при этом L не может содержать все простые лотереи, поскольку количество исхо-
дов в носителе лотереи не может быть больше числа состояний мира.
Вначале мы охарактеризуем условия существования функции полезности Неймана—Мор-
генштерна для предпочтений, заданных на множестве, состоящем только из простых ло-
терей. Позже мы поясним, как этот результат распространить на более общий случай.
Простую лотерею можно представить следующей таблицей:
' ' '
???
x1 x2 xk
???
p1 p2 pk

В дальнейшем удобно простую лотерею представлять в виде функции p(?) заданной на
всем множестве X, считая, что p(x) = 0, если x ? Xp и p(xj) = pj. Тогда без потери общно-
сти простую лотерею (Xp, p) можно отождествлять с p, где p понимается как сокращен-
ное обозначение функции p(?). В дальнейшем будем придерживаться этого упрощения.
Будем обозначать соответствующее p множество Xp, т.е. носитель лотереи, через
Supp(p).
Supp(p) = {x ? X | p(x) > 0}.
Понятно, что по определению вероятности

¤x?Supp(p) p(x) = 1.
Множество всех простых лотерей участника обозначим S. В дальнейшем мы будем пред-
полагать, что предпочтения заданы на всех возможных парах элементов множества S.
Как уже говорилось из предположений (A1?) и (A1??) следует, что предпочтения на лотере-
ях являются неоклассическими (рациональными). Поскольку в дальнейшем мы будем ра-
ботать только с простыми лотереями, то переформулируем исходные предположения в
терминах этих лотерей:
(A1) На множестве простых лотерей S заданы неоклассические предпочтения {}, }, ˜}.
_
Кроме рациональности предпочтений на лотереях, нам потребуется также сделать два
важных предположения о свойствах комбинаций лотерей.

Определение 1.
Для любой пары простых лотерей p, q ? S и числа ? ? [0; 1] определим выпуклую комби-
нацию (смесь) p¦?¦q как простую лотерею, носителем которой является объединение
носителей лотерей p и q:
Supp(p¦?¦q) = Supp(p)[Supp(q),
а вероятность исхода x рассчитывается по формуле
?p(x) + (1 – ?)q(x), x ? Supp(p¦?¦q).

236
237

Построение выпуклой комбинации лотерей с различающимися множествами исходов ил-
люстрирует Рис. 49.
Одна из возможных интерпретаций операции выпуклой комбинации лотерей p¦?¦q
состоит в том, что рассматривается двухэтапная лотерея: лотерея с двумя исходами, кото-
рые в свою очередь являются обычными одноэтапными лотереями. В первоначальной ло-
терее вероятности равны ? и 1 – ?: с вероятностью ? реализуется исход p, а с вероятно-
стью 1 – ? — исход q. При этом предполагается, что оценка лотереи потребителем не за-
висит от способа ее реализации: двухэтапная и соответствующая ей одноэтапная лотереи
эквивалентны. То есть в оценке любой лотереи потребитель ориентируется лишь на исхо-
ды этой лотереи и вероятности, с которыми эти исходы реализуются, что и подразумевает
предположение (A1??). Так, две показанные на Рис. 49 лотереи эквивалентны, поскольку
приводят в конечном итоге к одним и тем же исходам с одинаковыми вероятностями этих
исходов, и поэтому их можно рассматривать как одну и ту же альтернативу.
p x1 x1
?p +(1– ?) q
?
x2
? (1– p)
1– p
? x2
q x1
(1– ?)(1– q)
1– ?
1– q
x3
а) x3 б)

?enoiie 49. (a) Aaa i?inoua eioa?ae, p e q e (a) eo auioeeay eiiaeiaoey p¦?¦q

Легко понять, что множество всех простых лотерей S содержит все выпуклые комбинации
своих элементов: если p, q ? S, тогда p¦?¦q ? S, ?? ? [0, 1]. Но ясно, что для произволь-
ного подмножества множества S это свойство может не выполняться.
Мы будем исходить из того, что для выпуклых комбинаций лотерей выполнены следую-
щие два предположения:
(A2) Аксиома независимости от посторонних альтернатив:
Пусть p } q и r — произвольная лотерея. Тогда для любого ?, 0 < ? < 1 выполняется со-
отношение p¦?¦r } q¦?¦r.
Эту аксиому можно интерпретировать через двухэтапные лотереи. Предположим, что ин-
дивидуум считает лотерею p более предпочтительной, чем q. Ему предлагают выбрать
заранее, что он предпочтет — p или q, и проводят лотерею, исходами которой с вероятно-
стями ? и 1 – ? соответственно являются та из лотерей p и q, которую он выбрал, и лоте-
рея r. Ясно, что он выберет p. Но это, фактически, то же, что выбирать между двумя
двухэтапными лотереями: лотереей, где исходами являются p и r с вероятностями ? и 1 –
? соответственно, и лотерей, где исходами являются q и r с вероятностями ? и 1 – ?. Сле-
довательно, индивидууму следует выбрать первую из этих двухэтапных лотерей, что и
означает, что p¦?¦r } q¦?¦r.
(A3) Аксиома исчерпания Архимеда:
Если p } q } r, то существуют числа ?, ? ? (0; 1), такие что
p¦?¦r } q } p¦?¦r.



237

<< Предыдущая

стр. 53
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>