<< Предыдущая

стр. 54
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

238
Эта аксиома утверждает, что если лотерея q лучше r, но хуже p, то не может быть так,
чтобы все нетривиальные смеси лотерей p и r были либо лучше, либо хуже q: найдется
хотя бы одна смесь, которая хуже q, и хотя бы одна смесь, которая лучше q.
При этих предположениях предпочтения на простых лотереях задаются функцией, кото-
рая линейна по вероятностям (имеет вид Неймана—Моргенштерна).

Определение
Функция полезности U(?), представляющая предпочтения на простых лотереях, называ-
ется функцией полезности Неймана—Моргенштерна, если существует определенная на
множестве исходов X функция u(?), такая что

U(p) = ¤x?Supp(p) p(x)u(x).


Мы хотим доказать следующий результат72.

Теорема 1.
Если предпочтения на множестве простых лотерей S удовлетворяют предположениям
(A1)-(A3), то существует представляющая их функция полезности U(?), имеющая вид
Неймана—Моргенштерна. Такое представление единственно с точностью до линейного
преобразования.

Теорема 49 указывает предположения о предпочтениях на простых лотереях (на множест-
ве S), гарантирующие существование функции полезности U(p), имеющей вид Нейма-
на—Моргенштерна. Этих предположений, вообще говоря, недостаточно для того, чтобы
гарантировать существование подобной функции полезности на более сложных лотереях.
Однако, если в дополнение к свойствам (A1)-(A3) предположить, что предпочтения опре-
делены на множестве всех лотерей, заданных на X, (т.е. борелевских вероятностных мер
на множестве X) и непрерывно (в слабой топологии) на этом множестве, то построенную
функцию U(p) можно определить на любой вероятностной борелевской мере стандарт-
ным способом, поскольку множество простых мер является плотным во множестве всех
борелевских мер. Читатель может попробовать доказать соответствующие утверждения
самостоятельно, обращаясь, в случае необходимости, к учебникам по математическому
анализу и топологии.
Таким образом, мы можем определить полезность U как функцию от лотереи p ? L. По-
кажем, что эта же функция задает предпочтения на множестве исходных случайных вели-
˜˜
чин x ? X.
˜
Действительно эта функция (рассматриваемая как функция U(x)), обладает тем свойст-
˜˜
вом, что если случайным величинам x и y соответствует одна и та же лотерея, то по пред-
˜˜ ˜ ˜
положению (A1??) x и y эквивалентны, и, следовательно, U(x) = U(y). При этом функция
U(x) оказывается линейной по исходным вероятностям µs. Для того, чтобы это показать,
˜
следует вспомнить, как мы построили вероятности p(x), x ? Supp(p), на основе исходных
вероятностей µs:




72
Здесь используется не та систему аксиом, которая предложена в книге фон Неймана и Моргенштерна.
Здесь мы используем ставший традиционным подход Н. Йенсена (N. E. Jensen "An Introduction to Bernoullian
Utility Theory, I: Utility functions", Swedish Journal of Economics, 69 (1967), 163-83).

238
239

U = ¤x?Supp(p) p(x)u(x) = ¤pju(xj) = ¤ ¤ µsu(xj) = ¤µsu(xs).
'
'
j s:xs=xj
j s?S

Окончательно получаем следующий вид для функции полезности, представляющей ис-
˜
ходные предпочтения на X:

U(x) = ¤µsu(xs).
˜
s?S

Заметим, что, в соответствии с определением функции Неймана—Моргенштерна, ее
можно записать в следующем виде
˜ ˜
U(x) = Eu(x).
где E — оператор математического ожидания. Заметим также, что этот вид не зависит от
предположений о конечности множества состояний мира. Если это множество не является
конечным, то соответствующие суммы по s ? S заменяются интегралами. В дальнейшем
мы чаще всего будем пользоваться оператором E, а не соответствующей суммой, по-
скольку это упрощает обозначения и позволяет формулировать и доказывать утверждения
в более общей форме. Что именно спрятано за оператором E имеет значение в основном
тогда, когда требуется брать производные от U(?).

Доказательство существования представления
предпочтений на множестве простых лотерей линейной
функцией полезности
В этом параграфе нам предстоит доказать Теорему 49. Для упрощения выкладок понадо-
бятся некоторые свойства операции выпуклой комбинации лотерей. Доказательство их
достаточно очевидно.

Теорема 2.
Операция выпуклой комбинации лотерей на множестве всех простых лотерей S обладает
следующими свойствами:
– p¦1¦q = p,
– p¦0¦q = q,
– p¦?¦q = q¦(1–?)¦p,
– (p¦?¦q)¦?¦ (p¦?¦q) = p¦(?? + (1–?)?)¦q.

Функция Неймана—Моргенштерна является линейной по вероятностям. Дадим общее
определение линейности функции.

Определение
Будем называть функцию полезности U(?), представляющую предпочтения на лотереях,
линейной, если для произвольных лотерей p, q ? S и числа ? ? [0,1] верно соотношение
U(p¦?¦q) = ?U(p) + (1–?)U(q).

Докажем, что линейность функции полезности эквивалентна тому, что это функция Ней-
мана—Моргенштерна.

Теорема 3.


239
240
Если U(?) является линейной функцией полезности, представляющей предпочтения на
множестве лотерей S, тогда и только тогда, когда она имеет вид Неймана—Морген-
штерна.

Доказательство:
Обозначим ?(x) лотерею, в которой x является единственным исходом, т.е.
Supp(?(x)) = {x}.
Определим функцию u(?) на множестве элементарных исходов X по формуле
u(x) = U(?(x)).
Тогда U(p) = ¤x?Supp(p) p(x) u(x). Докажем это утверждение по индукции.
Пусть утверждение доказано для лотерей с k исходами, и пусть p — лотерея с k+1 исхо-
дом. Пусть x? — один из этих исходов, т.е. x? ? Supp(p). Тогда
p = ?(x?)¦p(x?)¦q,
где q — лотерея с Supp(q) = Supp(p)\x? и q(x) = p(x)/(1– p(x?)) ?x ? Supp(q).
В силу линейности функции U(?)
U(?(x?)¦p(x?)¦q) = p(x?) u(x?) + (1– p(x?)U(q).
В силу предположения индукции
U(q) = ¤x?Supp(q) q(x) u(x) = ¤x?Supp(q) p(x)/(1– p(x?)) u(x).
В итоге получим требуемый результат
U(p) = (p(x?) u(x?) + (1– p(x?)) (¤x?Supp(q) p(x)/(1– p(x?)) u(x)) =

= ¤x?Supp(p) p(x) u(x).
Доказательство обратного достаточно очевидно.
*
Следующая теорема является обратной к той, которую мы хотим доказать.

Теорема 4.
Если предпочтения на множестве лотерей представимы линейной функцией полезности
U(?), то эти предпочтения удовлетворяют свойствам (A1)-(A3).

Доказательство:
(A1) Свойство (A1) очевидно.
(A2) (независимость от посторонних альтернатив)
Пусть p } q. Тогда U(p) > U(q).
Пусть r — произвольная лотерея, ? — число, 0 < ? < 1. Тогда
U(p¦?¦r) = ?U(p) + (1–?)U(r) >
> ?U(q) + (1–?)U(r) = U(q¦?¦r).
Поэтому p¦?¦r } q¦?¦r.
240
241
(A3) (аксиома исчерпания Архимеда)
Пусть p } q } r , то есть
U(p) > U(q) > U(r).
Тогда если
U(q) – U(r)
? > U(p) – U(r),

то ? (U(p) – U(r)) > U(q) – U(r), откуда по свойству линейности p¦?¦r } q. Аналогично,
если
U(q) – U(r)
? < U(p) – U(r),

то q } p¦?¦r.
$
Если предпочтения участника на лотереях удовлетворяют аксиомам (A1)-(A3), то можно
подобрать линейную функцию полезности, которая представляет предпочтения этого уча-
стника, притом такая линейная функция полезности единственна. Ниже мы докажем это73,
используя следующее вспомогательное предположение (теорема верна и без этого пред-
положения74):
(A4) Множество S содержит наихудший w и наилучший b элементы:
w } p } b ? p ? S.
__


Для доказательства этого докажем ряд утверждений. Всюду предполагается, что выполне-
ны свойства (A1)-(A4).
В случае, когда b ˜ w, все лотереи из множества S эквивалентны и построение функции
полезности с нужными свойствами не вызывает труда:
U(p) = C,
где C — произвольное число. (Понятно, что константа — линейная функция.) Поэтому в
дальнейшем будем считать, что w } b.

Теорема 5.
Для любой пары лотерей p, q, таких что p } q, и пары чисел ?, ? ?[0,1] условие
p¦?¦q } p¦?¦ q
выполняется тогда и только тогда, когда
? > ?.

Доказательство:
Докажем сначала, что из ? > ? следует p¦?¦q } p¦?¦q.

73
Эти доказательства можно сделать более элегантными, если предположить конечность множества X.
74
См. напр. Peter C. Fishburn, Utility Theory for Decision Making, John Wiley, 1970. (рус. пер.: П. Фишбёрн.
Теория полезности для принятия решений. — М.: Наука, 1978). Ниже предлагается доказать это утвержде-
ние самостоятельно в виде серии утверждений.

241
242
?
В случае ??0 рассмотрим лотерею r = p¦ ¦q. Для нее выполнено
?
? ?
¦q)¦?¦q = p¦ ?¦q = p¦?¦q.
r¦?¦q = (p¦
? ?
?
Так как p } q, то по аксиоме (A2) при ?(0,1] выполнено
?
? ?
¦p } p¦ ¦q = r.
p = p¦
? ?
Условие p } r при ??(0,1] позволяет еще раз применить (A2):
p¦?¦q } r¦?¦q,
откуда получаем p¦?¦q } p¦?¦q.
?
? 0. В случае ? = 0 соотноше-
В предыдущем доказательстве нам требовалось, чтобы
?
ние p¦?¦q } p¦?¦q выполнено, так как
p¦?¦q = p¦0¦q = q = q ¦?¦ q
и кроме того по (A2) имеем q¦?¦q { p¦?¦q.
Докажем обратное. Пусть для некоторых ? и ? выполнено p¦?¦q { p¦?¦q, но при
этом ? > ?. Если ? > ?, то по только что доказанному p¦?¦q } p¦?¦q, что противоречит
асимметричности строгого отношения предпочтения. Если же ? = ?, то p¦?¦q = p¦?¦q,
что противоречит нерефлексивности отношения }. Таким образом, утверждение доказано.
$
Будем обозначать через f (?) выпуклую комбинацией лучшей и худшей лотерей с коэф-
фициентом ??[0,1], т.е
f (?) = b¦?¦w.
Обозначим множество таких лотерей через f ([0,1]). Напомним, что мы рассматриваем
только случай b }w. Из определения функции f(?) следует, что она задает взаимоодно-
значное соответствие между отрезком [0, 1] и множеством f ([0,1]), поскольку при ???
f (? ) ? f (?). Следующее утверждение показывает, что на основании функции f(?) можно
построить функцию полезности.

Теорема 6.
Для любой лотереи p из S найдется единственное число U(p) ? [0,1] такое, что справед-
ливо f (U(p)) ˜ p. Функция U(?) является функцией полезности, представляющей данные
предпочтения.

Доказательство:
Для любой лотереи p ? S нам нужно установить, что существует эквивалентная ей лотерея
из f([0,1]).
Когда p ˜ b либо p ˜ w доказательство существования числа U(p) тривиально: оно равно 1
и 0 соответственно.
Рассмотрим случай w { p { b.

242
243
Обозначим множество чисел, соответствующих лотереям из f([0,1]), которые лучше p,
+
через A :
+
A = {??[0,1] | p { f(?)}.
Аналогично множество чисел, соответствующих лотереям из f([0,1]), которые хуже чем p,

обозначим A :

A = {??[0,1] | f(?) { p}.

<< Предыдущая

стр. 54
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>