<< Предыдущая

стр. 55
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

+ –
Эти два множества непусты, так как 1 ? A и 0 ? A .
+ –
Так как множества A , A , непусты и ограничены, то существуют числа
+ + – –
? = inf A , ? = sup A .
– +
Для этих чисел справедливо соотношение ? < ? ; в противном случае нашелся бы общий
– +
элемент ??A , ??A , что противоречит нерефлексивности }.
+ – + + – –
Покажем, что f(? ) { p { f(? ), т.е. ? ? A и ? ? A . Предположим противное. Пусть, на-
__
+
пример, w { p { f(? ). В таком случае в силу (A3) существует ?>0, такое что для лотереи
+
w¦?¦f(? ) справедливо соотношение
+
w¦?¦f(? ) } p.
Поскольку
+ + + +
w¦?¦f(? ) = w ¦?¦ (b ¦ ? ¦ w) = b ¦ ? (1–?) ¦ w = f(? (1–?)),
+ + +
то это означает, что f(? (1–?)) } p. Значит, ? (1–?) ? A , а это противоречит определению
+ + + –
числа ? . Итак, предположение f(? ) } p неверно. Поэтому f(? ) { p. Рассуждения для ?
_
аналогичны. Таким образом,
+ –
f(? ) { p { f(? ).
__
– +
Если сопоставить это с вытекающим из Теоремы 5 и ? < ? соотношением
– +
f(? ) { f(? ),
_
то
– +
f(? ) ˜ p ˜ f(? ).
+
Таким образом, мы можем выбрать U(p) = ? . Существование числа U(p) доказано.
Единственность числа U(p) следует из Теоремы 5.
Теперь покажем, что U(p) есть функция полезности. Из Теоремы 5 следует, что из двух
лотерей из f([0,1]) хуже та, коэффициент которой меньше и обратно:
f(?) { f(?) ? ? < ?.
Для двух произвольных лотерей p, q ? S соотношение p { q эквивалентно тому, что
f(U(p)) { f(U(q)). Поэтому
p { q ? U(p) < U(q).
*
Докажем теперь, что построенная таким образом функция является единственной линей-
ной функцией, представляющей рассматриваемые предпочтения.

243
244
Теорема 7.
Функция полезности U(?), такая что f (U(p)) ˜ p, является линейной.
Эта функция — единственная (с точностью до линейного преобразования) линейная
функция полезности, представляющая данные предпочтения.

Доказательство:
(Линейность)
Мы хотим доказать, что если p, q ? S, ??[0,1], то выполнено
U(p¦?¦q) = ?U(p) + (1–?)U(q).
При ?=0 и ?=1 доказываемое очевидно.
Рассмотрим случай 0 < ? < 1.
Пусть утверждение теоремы неверно, например, для некоторых p, q ? S
U(p¦?¦q) < ?U(p) + (1–?)U(q).
Тогда можно подобрать числа 0 < ? < U(p) и 0 < ? < U(q), такие что
U(p¦?¦q) = ?? + (1–?)?,
откуда
p¦?¦q ˜ f (?? + (1–?)?).
По свойствам операции комбинирования лотерей
f (?? + (1–?)?) = b¦(?? + (1–?)?)¦w =
= (b¦?¦w)¦?¦(b¦?¦w) = f(?)¦?¦f(?).
Поскольку ? < U(p), то f (?) { f (U(p)) ˜ p, и по аксиоме (A2) получим
f(?)¦?¦f(?) { p¦?¦f(?).
Аналогичным образом, поскольку ? < U(q), то верно соотношение f (?) { f (U(q)) ˜ q, и по
аксиоме (A2)
p¦?¦f(?) { p¦?¦q.
Получаем, в противоречие с нерефлексивностью отношения предпочтения {, цепочку со-
отношений
p¦?¦q ˜ f(?)¦?¦f(?) { p¦?¦f(?) { p¦?¦q.
Аналогичным образом можно прийти к противоречию, предположив, что U(p¦?¦q) >
?U(p) + (1–?)U(q). Значит,
U(p¦?¦q) = ?U(p) + (1–?)U(q).
(Единственность)
Предположим, что V(.) — другая линейная функция полезности. Обозначим
V(p) – V(w)
V*(p) = V(b) – V(w).

Данное преобразование является линейным. Покажем, что V*(p) = U(p). Поскольку V(.)
линейна, то V*(p) также линейна. Кроме того, функции V*(.) и U(.) совпадают для худшей
и лучшей лотерей:
244
245
V*(w) = U(w) = 0 и V*(b) = U(b) = 1.
Это означает, что функции V*(.) и U(.) в силу линейности совпадают на f([0,1]). Посколь-
ку любая лотерея из S эквивалентна лотерее из f([0,1]), то V*(.) и U(.) совпадают на любой
лотерее из S.
*
Сопоставляя доказанные в этом параграфе теоремы, видим, что мы, фактически, доказали
Теорему 49. Правда, при этом мы использовали дополнительное предположение (A4).
(Способ доказательства Теоремы 49 обрисован в задаче 5).

Теорема 8.
Если предпочтения на множестве простых лотерей S удовлетворяют предположениям
(A1)-(A4), то существует представляющая их функция полезности U(?), имеющая вид
Неймана—Моргенштерна. Такое представление единственно с точностью до линейного
преобразования.



Задачи
1. Пусть отношение предпочтения на множестве лотерей, }, транзитивно и выполнено
свойство (A2). Покажите, что если p } q, r } s, то p¦?¦r } q¦?¦s (??[0,1]).


2. Пусть отношение предпочтения на множестве лотерей, }, нерефлексивно и выполнено
свойство (A2). Покажите, что если p ˜ q, то p¦?¦q ˜ q (??[0,1]).


3. Пусть выполнены свойства (A1)-(A3). Покажите, что если p } r } q, то найдется единст-
__
венное ??[0,1], такое что p¦?¦q ˜ r.


4. Пусть выполнены свойства (A1)-(A3). Покажите, что если p ˜ q, и r — произвольная
лотерея, то p¦?¦r ˜ q¦?¦r (??[0,1]).


5. Докажите Теорему 49, т.е. «подправьте» доказательства этого параграфа таким образом,
чтобы не требовалось использовать предположение (A4).
Указание: Пусть p и q — две лотереи, такие что p } q. Тогда, как было показано выше,
существует функция полезности Неймана—Моргенштерна, определенная на «отрезке» {r |
p } r } q}. Пусть теперь s — любая лотерея. Тогда, по отрицательной транзитивности },
__
выполняется одно из трех соотношений:
p } s } q,
__
s } p } q,
__
p } q } s.
__
Предположим, что функция полезности Неймана—Моргенштерна, представляющая от-
ношение предпочтения, определена на отрезке {r | p } r } q} и пусть s удовлетворяет со-
__
отношению: s } p } q (p } q } s) . Тогда существует (и единственно) число ? (?) такое, что
__ __
p = s ¦?¦q (q = p¦?¦ s)

245
246
Определим U(?) в последних двух случаях на основе соотношений:
U(p) = ? U(s ) + (1– ?)U(q) (U(q ) = ? U(p ) + (1– ?)U(s)).
Демонстрация линейности определенной таким образом функции в значительной степени
воспроизводит этапы доказательства теоремы в частном случае, когда U(?) определена
лишь на «отрезке» {r | p } r } q}.
__

Предпочтения потребителя в условиях неопределенности
Модифицируем модель поведения потребителя, чтобы учесть в ней неопределенность.
Следуя Эрроу, мы будем различать блага не только по их физическим характеристикам,
но и по состояниям мира, в которых они потребляются. Будем называть такие блага кон-
тингентными или условно-случайными. Каждое контингентное благо характеризуется двумя
индексами — индексом блага k?K, и индексом состояния мира s ? S. Тогда xks — количе-
ство блага k, которое потребитель потребил (планирует потребить) в состоянии мира s.
Таким образом, к параметрам экономики добавляется множество состояний мира S = {1,
^
..., s}. Мы будем считать его конечным. Потребляемый набор благ для i-го потребителя
будет описываться вектором xi ={xiks}(k,s). В предположении о том, что потребитель со-
стояниям мира приписывает вероятности их реализации µis, каждому такому потребитель-
скому набору xi соответствует случайная величина (и лотерея), которую мы будем обо-
˜
значать xi (это l-мерная дискретная случайная величина, принимающая значения xis с ве-
роятностями µis). Следуя сложившейся традиции, будем предполагать, что на множестве
этих случайных величин потребитель имеет неоклассические (рациональные) предпочте-
ния, которые допускают представление функцией полезности. Эту функцию полезности
будем обозначать Ui(?). В этой целевой функции учтены как полезности для него каждого
товара в каждом состоянии мира (например, зонт полезнее в дождь), так и его личные ги-
потезы о вероятностях событий.
Поскольку в этом параграфе анализируется поведение одного и того же потребителя, ин-
декс i будем опускать.
В предположении, что оценки вероятности состояний мира у данного потребителя не ме-
няются, мы можем считать, что его функция полезности U(?) задана на различных потре-
˜
бительских наборах, и писать U(x) вместо U(x).
Различают следующие типы потребителей в соответствие с их поведением в ситуациях с
неопределенностью (свойствами предпочтений):

Определение 2.
Будем называть потребителя имеющим неприятие риска, если его функция полезности
U(?) (как функция x) квазивогнута.
Будем называть потребителя имеющим строгое неприятие риска или рискофобом, если
его функция полезности U(?) строго квазивогнута
Будем называть потребителя нейтральным к риску, если U(?) линейна.
Будем называть потребителя рискофилом, если U(?) строго квазивогнута.

Напомним, что функция квазивогнута тогда и только тогда, когда множества потреби-
тельских наборов, предпочитаемых наборам, на кривой безразличия, выпуклы для каждой
кривой безразличия. Вогнутость функции влечет за собой ее квазивогнутость, но не на-
оборот.

246
247
Рис. 50 иллюстрирует эти понятия для случая одного (физического) товара и двух состоя-
ний мира. На графиках изображены кривые безразличия для потребителей с разным от-
ношением к риску в предположении, что x1 —потребление данного блага в первом, а x2 —
во втором состоянии мира.
в)
x2 x2 x2
a) б)




x1 x1 x1

?enoiie 50. E?eaua aac?acee?ey aey iio?aaeoaeae n ?aciui ioiioaieai e ?eneo:
a) ?eneioia, a) iaeo?aeuiue e ?eneo, a) ?eneioee
В дальнейшем мы всюду будем предполагать, что функция U(?) имеет вид Неймана—
Моргенштерна (аддитивная по вероятностям функция). Это частный, но наиболее
удобный и поэтому наиболее часто используемый для анализа случай функции
полезности U(?):
U(x) = ¤ µsu(xs),
s?S

где µs — оценки потребителем вероятностей состояний мира s ? S, xs ? X — потребитель-
ский набор в состоянии мира s (контингентный потребительский набор), а u(xs) — эле-
ментарная функция полезности (функция Бернулли) рассматриваемого потребителя

u(?): X &  ,
не зависящая от состояния мира, а зависящая только от потребления благ как таковых.
частный, но наиболее удобный и поэтому наиболее часто используемый для анализа слу-
чай функции полезности U(?)
Мы будем предполагать, что эта функция является возрастающей. Вероятности, заложен-
ные в функции полезности участника могут быть и ошибочными, поэтому в общем случае
их следует рассматривать как субъективные вероятности.
Напомним, что полезность по Нейману-Моргенштерну есть (субъективное) математиче-
ское ожидание полезности или просто ожидаемая полезность:
˜
U(x) = Eu(x).
Будем предполагать, что во всех рассматриваемых ниже ситуациях все необходимые ус-
ловия существования функции полезности Неймана—Моргенштерна выполнены.
Переопределим для функции Неймана—Моргенштерна отношение к риску в терминах
элементарной функции полезности.

Определение
Будем называть потребителя с глобальной функцией полезности U(?) типа Неймана—
Моргенштерна имеющим (строгое) неприятие риска (рискофобом), если его
элементарная функция полезности u(?) (строго) вогнута, нейтральным к риску, если она
линейна, и (строго) предпочитающим риск (рискофилом) — если она (строго) выпукла.




247
248
в)
a) б)

u(x) u(x)

u(x)

x x
x

?enoiie 51. Yeaiaioa?iua ooieoee iieaciinoe aey iio?aaeoaeae n ?aciui
ioiioaieai e ?eneo: a) ?eneioia, a) iaeo?aeuiue e ?eneo, a) ?eneioee
Можно показать, что из определения неприятия риска в терминах u(?) следует определе-

<< Предыдущая

стр. 55
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>