<< Предыдущая

стр. 56
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ние неприятия в терминах U(?), (обратное, вообще говоря, неверно). Из вогнутости u(?)
следует вогнутость U(?), а следовательно и квазивогнутость.
В дальнейшем мы будем рассматривать только поведение экономических субъектов, ха-
рактеризующихся неприятием риска, как более типичное.
Часто рассматривают ситуации, когда контингентные потребительские наборы содержат
единственное благо — деньги. Соответствующие лотереи называют денежными. Количе-
ство денег, которое получает индивидуум в состоянии мира s (xs) будем называть доходом
в этом состоянии мира (контингентным доходом). При этом используют следующие поня-
тия (индекс блага опускаем).
˜
Ex — это математическое ожидание дохода. В данном случае он вычис-
Ожидаемый доход
ляется как

Ex = ¤ µsxs.
˜
s?S

В терминах ожидаемого дохода рассмотренные выше три группы потребителей в зависи-
мости от их отношения к риску характеризуются следующими соотношениями между
ожидаемой полезностью денежной лотереи и полезностью ожидаемого дохода от нее:
˜ ˜
– рискофилы: E(u(x)) > u(E(x)),
˜ ˜
– рискофобы: E(u(x)) < u(E(x)),
– нейтральные по отношению к риску: E(u(x)) = u(E(x)).
˜ ˜
˜
Здесь x — любая «нетривиальная» случайная величина (формально это означает, что ве-
роятность того, что она не совпадает со своим математическим ожиданием, не равна ну-
лю).
Заметим, что соотношение E(u(x)) > u(E(x)) для всех случайных величин (так называемое
˜ ˜
неравенство Йенсена) выполнено тогда и только тогда, когда функция вогнута. Фактиче-
˜ ˜
ски это и есть определение вогнутой функции. Строгое неравенство E(u(x)) < u(E(x)) для
˜
произвольной «нетривиальной» случайной величины x выполнено тогда и только тогда,
когда функция строго вогнута.
˜
или гарантированным называется такой случайный потребительский набор x,
Безрисковым
что в любом состоянии мира потребитель имеет один и тот же доход: xs = Ex ?s ? S.
˜




248
249
75
˜
данного потребительского набора x на-
Безрисковым или гарантированным эквивалентом
˜
зывается такой доход x*, что соответствующий безрисковый потребительский набор x*
дает потребителю ту же самую полезность:

Eu(x) = ¤µsu(xs) = Eu(x*) = u(x*).
˜ ˜
s?S

Величина ?x называется вознаграждением за риск для данного потребительского набора x,
˜
если Ex – ?x является безрисковым эквивалентом x:
˜ ˜
Eu(x) = u(Ex – ?x).
˜ ˜
Эта величина показывает, какую сумму денег (в терминах ожидаемого дохода) готов по-
терять потребитель за то, чтобы избавиться от риска.
У рискофобов безрисковый эквивалент ниже ожидаемого дохода от любой рискованной
денежной лотереи (величина вознаграждения за риск положительна). Соответственно, у
рискофилов он выше ожидаемого дохода (величина вознаграждения за риск отрицатель-
на), а у нейтральных по отношению к риску потребителей совпадает (величина вознагра-
ждения за риск равна нулю). Читателю предоставляется показать это самостоятельно.
Проиллюстрируем введенные понятия графически. На Рис. 52 изображена элементарная
функция полезности потребителя с неприятием риска (функция вогнута). Потребитель
предполагает, что могут произойти два события (A и B) с некоторыми вероятностями (µA
и µB). Его потребительский набор имеет вид x = (xA, xB), где xA и xB — доход, который
получит потребитель, если произойдут события A и B соответственно. Как несложно по-
˜
нять, точка (Ex, U) лежит на отрезке, соединяющей точки (xA, u(xA)) и (xB, u(xB)) и делит
его в отношении µB к µA. Здесь Ex — ожидаемый доход набора, а U — полезность. По-
˜
скольку потребитель не любит риск, то график функции полезности лежит выше указан-
˜
ного отрезка, и ожидаемая полезность U = Eu(x) больше полезности ожидаемого дохода
˜ ˜ ˜
u(Ex). Гарантированный эквивалент x выбирается так, чтобы U(x) = u(x*). Плата за риск
?x равна разности между ожидаемой доходностью и доходностью гарантированного эк-
вивалента.
u
?x u(x)
˜
u(Ex)
˜ ˜
U(x) = Eu(x)




x
xA x* Ex
˜ xB

?enoiie 52. ?acee?iua oa?aeoa?enoeee eioa?ae n aaoiy niauoeyie
Пример 1. (Санкт-Петербургский парадокс)76

75
Англ. certainty equivalent.
76
Описание и объяснение этого парадокса приводятся в статье известного швейцарского ученого Даниила
Бернулли: Daniel Bernoulli, "Specimen theoriae novae de mensura sortis", Commentarii academiae scientiarium
imperialis Petropolitanae, T. V. Petropoli, 1738, 175-192 (рус. пер.: Д. Бернулли, "Опыт новой теории измере-
ния жребия", в кн. Теория потребительского поведения и спроса, — СПб.: Экономическая школа, 1993).

249
250
«Петр бросает вверх монету, пока она не упадет лицевой стороной вверх; если это проис-
ходит после первого броска, он должен дать Павлу 1 дукат, но если только после второ-
го — 2 дуката, после третьего — 4, после четвертого — 8 и так далее, так что после каж-
дого броска число дукатов удваивается. Спрашивается: какова оценка жребия для Пав-
ла?».
Ожидаемый доход от этой игры для Павла бесконечно велик, однако вряд ли кто согла-
ситься заплатить за право участия в такой игре очень большую сумму. В этом и состоит
парадокс. Объяснение парадокса состоит в том, что «ценность денег» для игрока не явля-
ется постоянной. Она определяется некоторой возрастающей вогнутой элементарной
функцией полезности.
Предположим, что исходный (безрисковый) доход игрока составляет сумму ? дукатов. В
таком случае он сталкивается с лотереей, приносящей ему доход ? + 2k–1 с вероятностью 2–
(k = 1, 2 , ..., ?). Ожидаемый доход (с учетом цены p, уплаченной за участие в игре) равен
k


?
Ex = ¤ 2–k(? + 2k–1 – p) = ?.
˜
k=1

Если элементарная функция полезности игрока — u(?), то ожидаемая полезность равна
?
U = Eu(x) = ¤ 2–ku(? + 2k–1 – p).
˜
k=1

Если x* — безрисковый эквивалент этой лотереи, то игрок будет готов заплатить за право
участвовать в игре x* – ?.
Например, если u(x) = ln(x) и ? = 100, то максимальная цена, которую Павел будет готов
отдать за участие в игре, определяется уравнением
?
¤ 2 ln(100 + 2 – p) = ln(100).
–k k–1

k=1

Отсюда, решая численно это уравнение, получим
p ? 4,36 < ?,
то есть несколько больше 4 дукатов.
?

Задачи
6. Потребитель имеет элементарную функцию полезности u(x) = x. Он получает доход 9
с вероятностью 2/3 и доход 25 с вероятностью 2/3. Найти плату за риск.

7. Индивидуум имеет функцию полезности типа Неймана—Моргенштерна. Элементарная
функция полезности строго возрастает и зависит только от одного аргумента (денег). Ло-
терея $3 и $5 с вероятностями 1/2 и 1/2 и лотерея $3 и $9 с вероятностями 2/3 и 1/3 для
него эквивалентны. Может ли быть верным, что этот индивидуум
(а) рискофоб;
(б) нейтрален к риску;
(в) рискофоб?

8. Пусть есть одно благо (деньги), элементарная функция полезности потребителя имеет
вид u(x) = x, а начальный запас (гарантированная сумма) денег равен $9. Существует

250
251
лотерейный билет, который может выиграть $0 с вероятностью 0,5 (если выпадет «орел»)
и $7 с вероятностью 0,5 («решка»). Рассмотрите три альтернативные ситуации:
(1) За какую сумму x потребитель купил бы такой билет?
(2) За какую сумму y потребитель согласился бы сам эмитировать (продать) такой лоте-
рейный билет (можно считать, что его гарантированный запас состоит из 9-ти билетов по
$1 выигрывающих в состоянии мира «орел» и 9-ти по $1 на «решку»)?
(3) Если потребителю подарят такой билет, за какую сумму z он бы его продал?

9. Рискофоб с элементарной функцией полезности (функцией Бернулли) вида u(x) = –1/x
имеет $900 и лотерейный билет, который дает $900 с вероятностью 1/2 и $0 с вероятно-
стью 1/2. За сколько он продал бы этот билет?

10. Богатство потребителя равно 100 д.е. Элементарная функция полезности равна квад-
ратному корню из дохода. Лотерейный билет дает выигрыш 0 д.е. с вероятностью ? и 20
д.е. с вероятностью (1 – ?). Цена билета равна 5 д.е. При каких вероятностях потребитель
(1) купит билет?
(2) продаст билет (сам его эмитирует)?
(3) продаст билет, если ему его подарят?
(Решать не обязательно, достаточно составить неравенство)

11. Рассмотрим следующую игру: если игрок называет число a, то получает дополнитель-
но к имеющейся у него сумме ? сумму a с вероятностью 1/3 и (–a) с вероятностью 2/3.
Какое число назовет игрок, предпочтения которого описываются функцией полезности
Неймана—Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(?)?
1
–ax
(a) u(x) = x; (b) u(x) = – e ; (c) u(x) = – x ;

(d) u(x) = ln x; (e) u(x) = ax – b x2; (f) u(x) = a x + b x.

12. Пусть рискофоб, предпочтения которого описываются функцией полезности Нейма-
на—Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(x) = x, владеет суммой де-
нег ? рублей и лотерейным билетом, выигрывающим a рублей с вероятностью 1/2. Пока-
жите, что при уменьшении a до нуля цена, за которую он готов продать этот лотерейный
билет, стремиться к величине ожидаемого (для данного рискофоба) выигрыша по этому
билету.

13. Индивидуум, чьи предпочтения на лотереях описываются функцией полезности Ней-
мана—Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(x) = x, располагает сум-
мой денег ? рублей. Ему предлагают приобрести лотерейный билет, выигрывающий a
рублей с вероятностью 1/2. Пусть p — максимальная цена, которую он готов уплатить за
лотерейный билет.
(1) Чему равна p при ? = 9 и a = 16?
(2) Покажите, что p ...
- растет при увеличении величины выигрыша a.
- растет при увеличении суммы денег ?.
- не может превышать величину a/4 рублей.

251
252
14. Нейтральный к риску фермер может посеять капусту на берегу реки и получить доход
$1000 , но рискует потерять весь урожай при наводнении. Он может посеять вдали от бе-
рега, где урожайность на 20% меньше, но нет риска. Фермер оценивает вероятность на-
воднения в 0,1. Как он поступит без дополнительной информации? Сколько бы он отдал
за точную информацию о наводнении?

15. Золотоискатель с запасом 900$, полезностью типа Неймана—Моргенштерна и функ-
цией Бернулли вида u(x) = x решает, купить ли по цене 300$ золотоносный участок, где с
равной вероятностью ожидает выигрыш в 900$ или ничего.
(A) За сколько он купил бы у геолога соответствующий прогноз, если положительный
прогноз означает, что с вероятностью 0,75 золото есть, а отрицательный — что с вероят-
ность 0,75 золота нет?
(B) Предположим, золотоискатель не купил прогноз, а застраховался на сумму в 300$ на
случай отсутствия золота и купил участок. По какой цене продавались страховые кон-
тракты?

Задача потребителя при риске
В экономике с неопределенностью естественно ожидать заключения контрактов, услов-
ных по состояниям мира. Соответственно, блага следует рассматривать как условные по
состояниям мира — контингентные (условно-случайные) блага. Каждое контингентное
благо характеризуется парой (k, s). Контингентное благо естественно интерпретировать
как актив, дающий право получить единицу блага k если (и только если) реализуется со-
стояние мира s. Такой актив получил название актива Эрроу. (Нам понадобится понятие
актива Эрроу ниже, когда речь пойдет о модели Раднера. В данном контексте это только
интерпретация контингентного блага.)
Если ничто не препятствует заключению контрактов условных по состояниям мира (т.е.
купле-продаже контингентных благ), то можно предположить, что любое контингентное
благо можно обменять на любое другое контингентное благо. Иными словами, можно
предположить, что любое благо k1 в любом состоянии мира s1 можно поменять (прямо или
косвенно) на любое благо k2 в любом состоянии мира s2. Это предположение о полноте
рынков контингентных благ.
Следует отметить, что предположение о полноте рынков контингентных благ является
достаточно ограничительным и, как правило, не позволяет адекватно моделировать реаль-
ные рынки с риском. Тем не менее, модели, основанные на этом предположении, оказыва-
ется полезными при анализе реальных феноменов и понимании причин фиаско рынка при
наличии неопределенности.
Другое предположение, которое мы сделаем — это предположение о свободной конку-
ренции на рынках контингентных благ. С точки зрения задачи потребителя — это стан-
дартное предположение о том, что потребитель считает цены данными. Через pks мы бу-
дем обозначать рыночную цену контингентного блага (k, s) (это цена контракта на по-
ставку единицы блага k в ситуации, если реализуется состояние мира s, т.е. цена соответ-
ствующего актива Эрроу).
Эти предположения позволяют записать задачу потребителя:

<< Предыдущая

стр. 56
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>