<< Предыдущая

стр. 57
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>





252
253

Ui(xi) = ¤µsui(xis) > max x i

s?S

¤ ¤ pksxiks < ¤ ¤ pks?iks,
s?Sk?K s?Sk?K
xis ? Xi ?s ? S.
По сути, задача потребителя имеет тот же вид, что и в классической модели, только ин-
декс блага становится двойным, и суммирование в бюджетном ограничении идет по двум
индексам — k и s. Дифференциальная характеристика внутреннего решения задачи по-
требителя тоже совершенно аналогична дифференциальной характеристике выбора по-
требителя в отсутствии неопределенности:
?Ui/?xik s pk s
, ?k1, k2 ? K, ?s1, s2 ? S.
= 11 11


?Ui/?xik s pk s 22
22



С учетом того, что целевая функция имеет специфический вид (Неймана—Моргенштер-
на), дифференциальную характеристику можно переписать в терминах элементарной
функции полезности:
?
µs uik (xis ) pk s
, ?k1, k2 ? K, ?s1, s2 ? S,
=
1 1 1 11


?
µs uik (xis ) pk s 22
2 2 2



?
где uik(?) — производная элементарной функции полезности по k-му благу.
Проиллюстрируем введенные понятия простым примером.
Пример 2 (Задача страхования имущества).
Предположим, что потребитель имеет имущество стоимостью ?1, которое в случае со-
стояния мира 1 (при отсутствии пожара) сохранится, а в случае пожара — состояния мира
2 — окажется равным ?2 (?2 < ?1). На (совершенном) рынке страховых услуг этот потре-
битель может приобрести страховой контракт (?, y), где — ? ? [0,1] — цена контракта, а y
— страховая сумма. То есть если потребитель застрахуется на сумму y, то он вне зависи-
мости от состояния мира заплатит ?y и получит y в случае пожара. Таким образом, при
отсутствии пожара доход потребителя будет равен
x1 = ?1 – ?y,
если же пожар произойдет, то доход составит
x2 = ?2 + y – ?y.
Таким образом, мы имеем одно благо — деньги, и два состояния мира (отсутствие и нали-
чие страхового случая).
Бюджетное ограничение того вида, что выше (в терминах контингентных потребитель-
ских наборов), можем получить, исключив y:
(1 – ?)x1 + ?x2 < (1 – ?)?1 + ??2.
Покупая страховой контракт, потребитель тем самым меняет благо 'деньги в состоянии 1'
на благо 'деньги в состоянии 2' в отношении
p1/p2 = (1 – ?)/?.
Предположим далее, что потребитель имеет функцию полезности типа Неймана—Мор-
генштерна
U = (1–µ)u(x1) + µu(x2),

253
254
такую что производная элементарной функции полезности u?(?) положительна и строго
убывает (т.е. потребитель характеризуется строгим неприятием риска), где µ — вероят-
ность пожара. Дифференциальная характеристика решения задачи потребителя как обыч-
но имеет вид
?U/?x1 (1–µ)u?(x1) 1 – ?
= = .
?U/?x2 µ u?(x2) ?
Опираясь на то, что u?(?) — убывающая функция, можно сделать выводы об оптимальном
решении потребителя в зависимости от соотношения вероятности пожара µ и цены стра-
ховки ?. При ? = µ (актуарно справедливая цена страховки) имеем
u?(x1) = u?(x2).
Таким образом, в этом случае потребитель застрахуется на такую сумму, что x1 = x2, то
есть на всю сумму потенциального ущерба:
y = ?1 – ?2.
Нетрудно проверить, что если цена будет высокой (? > µ), то он застрахуется так, что
u?(x1) < u?(x2),
откуда x1 > x2. То есть страховая сумму будет меньше величины ущерба. Наоборот, при
? < µ страховая сумма будет превосходить величину ущерба.
?<µ
x2



?=µ



?>µ
x1

?enoiie 53. Eee?no?aoey ?acee?iuo niioiioaiee ia?ao oaiie e aa?iyoiinou? a
caaa?a no?aoiaaiey eiouanoaa
В предположении, что потребитель является рискофобом, этот результат обобщить на
случай, когда элементарная функция полезности недифференцируема.
˜
Будем рассматривать доход потребителя как случайную величину x, которая принимает
значение x1 с вероятностью (1 – µ), и x2 с вероятностью µ.
Тогда при ? = µ ожидаемый доход Ex равен (1 – ?)?1 + ??1, то есть не зависит от суммы
˜
страховки y. Рискофоб предпочитает среди таких лотерей ту, которая не связана с риском,
то есть дает один и тот же доход вне зависимости от состояния мира. А к такой лотерее
приводит страхование на полную сумму потерь.
При ? > µ? (? < µ) с ростом страховой суммы y величина ожидаемого дохода Ex уменьшает-
˜
ся (увеличивается). Поэтому потребителю не выгодно выбирать y больше (меньше) вели-
чины ущерба. Действительно, если он застрахуется на величину ущерба, то риск будет
отсутствовать, а ожидаемый доход Ex будет выше. Таким образом, если ? > µ, то y < ?1 –
˜
?2, а если ? < µ, то y > ?1 – ?2. Строгие неравенства можно гарантировать только при диф-
ференцируемости. Если функция полезности недифференцируема, то при ? ? µ оптималь-
ным может быть страхование на полную сумму ущерба (y = ?1 – ?2).
254
255
?

Задачи
16. Предпочтения судовладельца описываются функцией полезности типа Неймана—
Моргенштерна с элементарной функцией полезности от богатства x вида u(x), причем u(?)
имеет положительную убывающую производную. Он владеет богатством $40 000 и может
потерять в случае аварии судна $10 000.
(A) Пусть вероятность аварии равна 0,02 и известно, что он застраховался на сумму $9 000.
Возможно ли, что цена страхования на $1 равна $0,02? Если нет, то больше или меньше,
чем $0,02? Объясните.
(B) Пусть цена страхования на $1 равна $0,02 и известно, что он застраховался на сумму
$11 000. Возможно ли, что вероятность аварии равна 0,02? Если нет, то больше или мень-
ше, чем 0,02? Объясните.
(C) Пусть вероятность аварии равна 0,01 и известно, что цена страхования на $1 равна
$0,02. Возможно ли, что он застраховался на сумму $10 000? Если нет, то больше или
меньше, чем $10 000? Объясните.


17. Приведите пример, когда оптимальным является страхование на полную сумму ущер-
ба при том, что цена страховки не является актуарно справедливой.

Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)
К выбору наиболее предпочтительной денежной лотереи сводятся многочисленные моде-
ли инвестиционного повеления.
Мы проиллюстрируем этот анализ на основе следующей простой двухпериодной модели.
Рассмотрим задачу распределения одного блага — капитала77 — между несколькими ак-
тивами k ? K = {1, ..., l}. Модель двухпериодная. В первый период инвестор вкладывает
капитал в активы, а во второй получает доход с этих активов. Величину капитала будем
обозначать ? (? > 0).
Каждый актив характеризуется своей доходностью (отношением чистого дохода от еди-
˜
ницы актива к цене). Пусть r k — валовая доходность k-го актива, т.е. валовой доход на
рубль вложений. Волна означает, что это случайная величина. Если считать пространство
˜
состояний мира дискретным, как и выше, то доходность r k — дискретная случайная вели-
чина и принимает значения rks (s ? S) с соответствующими вероятностями µs.
Инвестор должен выбрать размеры вложений zk в каждый из доступных активов k ? K при
следующих ограничениях:
. Можно покупать актив, но не эмитировать его, т.е.
zk > 0.
. Общая сумма вложений не должна превышать величину капитала, т.е.


77
Возможно, первоначально капитал размером имеется в виде безрискового актива k = 0 (см. далее). Может
быть, начальный запас имеет более общий вид:

(?0, ..., ?l): ¤ ?k = ?.
k?K

255
256

¤ zk < ?.
k?K

Последнее неравенство представляет собой аналог бюджетного ограничения.
Вектор {zk}k?K будем называть портфелем. Общий (валовой) доход от портфеля равен:

x = ¤ zk r k .
˜ ˜
k?K

˜
Если пространство состояний мира дискретное, то доход от портфеля x — дискретная
случайная величина и принимает значения

xs= ¤ zkrks
k?K

с вероятностями µs.
Как обычно, предполагаем, что предпочтения инвестора описывается функцией типа
Неймана—Моргенштерна

U = Eu(x) = ¤µsu(xs).
˜
s?S

В дальнейшем мы везде будем считать, что u(?) — дифференцируемая функция, причем
производная u?(?) положительна и убывает (инвестор — рискофоб).
Поскольку капитал ? — постоянная величина (выбор между накоплением и потреблением
остается за рамками модели), то полезность определяется структурой портфеля, и можно
вместо величины вложений в k-й актив, zk, рассматривать долю этого актива в портфеле
?k = zk/?.
Тогда

x = ? ¤ ?k r k.
˜ ˜
k?K

Получим следующую задачу:

U = Eu(x) = Eu(? ¤ ?k r k) > max {? }.
˜ ˜ k
k?K

¤ ?k < 1,
k?K
?k > 0, ?k ? K.
˜
Принято вводить еще безрисковый актив k = 0 с гарантированной доходностью r k = r0 (его
можно интерпретировать как государственные ценные бумаги или вклад до востребова-
ния). Этот актив имеет одну и ту же доходность r0 независимо от состояния мира. При
этом K = {0, ..., l}.
Еще одно предположение, которое принято делать — нет ограничения на неотрицатель-
ность вложений в безрисковый актив, т.е. может быть ?k < 0. Интерпретация — можно
взять кредит на любую сумму по той же ставке r0.
Так как производная u?(x) положительна, то целевая функция ненасыщаема и поэтому
«бюджетное ограничение» в задаче инвестора выходит на равенство, т.е.



256
257

?0 = 1 – ¤?k.
k?0
Исключив ?0, преобразуем задачу инвестора к виду

Eu(?(r0 + ¤?k(r k – r0))) > max {? }.
˜ k
k?0

При соответствующих условиях регулярности производная математического ожидания
равна математическому ожиданию производной.78 Будем предполагать, что эти условия
выполнены. Тогда условие первого порядка решения задачи инвестора имеет вид
E[u?(x)?(r k – r0)] < 0, ?k ? 0.
˜ ˜
Кроме того, если ?k > 0, то это условие выполняется как равенство
˜ ˜
E[u?(x)?(r k – r0)] = 0.
или
˜˜ ˜
E[u?(x)r k] = r0Eu?(x).
Нетрудно проверить, что в силу свойств функции u(?) (инвестор — рискофоб) и линейно-
сти оператора E, ожидаемая полезность портфеля, как функция долей вложений в соот-
ветствующие активы, является вогнутой. Поэтому эти условия являются достаточными
условиями оптимальности портфеля.
Рассмотрим частный случай этой задачи. Пусть есть два актива — безрисковый и один
рискованный. Задача инвестора имеет вид:
Eu(?(?0r0 + ?1r 1)) > max ? , ? .
˜ 0 1


<< Предыдущая

стр. 57
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>