<< Предыдущая

стр. 58
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?0 + ?1 < 1,
?1 > 0.
Исключив ?0, получим следующую задачу одномерной максимизации:
U = Eu(?(r0 + ?1(r 1 – r0))) > max ? >0.
˜ 1



Обозначим максимизируемую функцию через U(?1) и вычислим ее производную:
?U(?1)
= E[u?(?(r0 + ?1(r 1 – r0))) ?(r 1 – r0)] =
˜ ˜
??1
= ? (E[u?(x)r 1] – r0Eu?(x)).
˜˜ ˜
Решение задачи инвестора (если оно существует) может быть внутренним (?1 > 0) либо
граничным (?1 = 0).
1) Если в оптимальном портфеле ?1 > 0, то ?U(?1)/??1 = 0, откуда
˜˜ ˜
E[u?(x)r 1] = r0Eu?(x).
˜ ˜
Заметим, что в рассматриваемом случае u?(x) является убывающей функцией r 1, поэтому
˜˜ ˜˜
E[u?(x)r 1] < Eu?(x)Er 1.




78
Достаточно, чтобы пространство состояний мира было дискретно. Для непрерывных распределений усло-
вие регулярности заключается в том, что носитель распределения не зависит от параметра, по которому
берется производная.

257
258
˜ ˜ ˜
(Ковариация u?(x) и r 1 отрицательна). Таким образом, поскольку Eu?(x) > 0 (ожидание
положительной случайной величины положительно), необходимое условие внутреннего
˜
решения состоит в том, что r0 < Er 1
2) Если в оптимальном портфеле ?1 = 0, то x = ?r0 (т.е. доход портфеля — не случайная
˜
величина). Значит,
?U(?1)
= ? u?(?r0)(Er 1 – r0).
˜
??1
Поскольку для граничного решения ?U(?1)/??1 < 0 и производная элементарной функции
полезности положительна, то получим следующее необходимое условие оптимальности
граничного решения:
Er 1 < r0.
˜
Внутреннее Граничное
решение решение U(?1)

Решение
U(?1) U(?1)
отсутствует

?1 ?1 ?1

?enoiie 54
Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием того, что 1-й актив войдет в
портфель (?1 > 0) является то, что его ожидаемая доходность больше гарантированной
˜
(Er 1 > r0).
˜
Тот факт, что для случая двух активов условие Er 1 > r0 является достаточным, является
частным случаем более общего результата, который называется теоремой о диверсифика-
ции.

Теорема 9 (теорема Самуэльсона о диверсификации)79
Пусть инвестор характеризуется целевой функцией типа Неймана—Моргенштерна с
элементарной функцией полезности u(.), и пусть, кроме того,
¦ функция u?(x) положительна и убывает;
¦ доходности активов (статистически) независимы;80
¦ ограничение ?0 > 0 несущественно;
¦ выполнены условия регулярности, обеспечивающие, что производная математиче-
ского ожидания равна математическому ожиданию производной.
Тогда любой актив k ? K, ожидаемая доходность которого выше доходности безриско-
вого актива (Er k > r0) войдет в портфель, т.е. ?k > 0.
˜

Доказательство.


79
Samuelson, Paul A. "General Proof that Diversification Pays", Journal of Financial and Quantitative Analysis, 2
(1967), 1-13.
80
В модели Марковица достаточно некоррелированности (см. ниже).

258
259
Как мы видели ранее, условие первого порядка для задачи инвестора имеет вид (постоян-
ный множитель ? > 0 можно сократить)
E[u?(x)(r k – r0)] < 0, ?k ? 0,
˜˜
Предположим, что ?k = 0, k ? 0 (k-й актив не входит в портфель). При этом величины r k и x
˜˜
˜
должны быть между собой независимы (x зависит только от доходностей остальных акти-
˜ ˜
вов). Следовательно, r k и u?(x) также независимы (функции от независимых случайных
величин тоже независимы). Воспользовавшись тем, что математическое ожидание произ-
ведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожида-
ний, получим, что
Er kEu?(x) < r0Eu?(x).
˜ ˜ ˜
Так как Eu?(x) > 0, то Er k < r0. Следовательно, если Er k > r0, то не может быть ?k = 0, т.е.
˜ ˜ ˜
такой актив войдет в портфель.
*
Если несколько преобразовать условие первого порядка, можно привести интересную его
интерпретацию.
По определению ковариации для двух случайных величин ? и ? выполнено
E(??) = Cov(?,?) + E(?)E(?).
С учетом этого соотношения условия оптимальности (если k-й актив вошел в портфель,
т.е. ?k > 0),
˜˜ ˜
E[u?(x)r k] = r0Eu?(x).
можем записать в виде
˜˜
Cov(u?(x), r k)
˜
Er k = r0 – .
˜
Eu?(x)
Второе слагаемое этого выражения — величина
˜˜
Cov(u?(x), r k)

˜
Eu?(x)
представляет собой превышение ожидаемой доходности k-го актива над доходностью
безрискового актива и носит название премии за риск.
Заметим, что полученное соотношение означает, что включение актива в оптимальный
портфель определяется не только его средней доходностью, но и величиной корреляции
его доходности с доходностью всего портфеля. Премия за риск является положительной,
если доходность актива и доходность портфеля положительно коррелированны. Это объ-
ясняется тем, что если доходность актива и доходность портфеля положительно коррели-
рованны, то доходность актива и предельная полезность отрицательно коррелированны,
поскольку предельная полезность у рискофоба является убывающей функцией. Следова-
тельно, такой актив включается в оптимальный портфель, только если он характеризуется
положительной премией за риск.
С другой стороны, премия за риск является отрицательной, если доходность актива и до-
ходность портфеля отрицательно коррелированны. Такой актив может входить в опти-
мальный портфель, несмотря на то, что он характеризуется отрицательной премией за
риск. Этот феномен называется хеджированием. Так, например, у страховых полисов
ожидаемая чистая доходность, как правило, меньше нуля, но они часто включаются в
259
260
портфель рискофоба, так как их доходность отрицательно коррелирует с ожидаемым до-
ходом от портфеля.

Задачи
18. Пусть инвестор с полезностью типа Неймана—Моргенштерна сталкивается с m акти-
вами один из которых — гарантированный, с возможностью кредита. Какие достаточные
условия гарантируют, что все рискованные активы войдут в портфель?


19. Пусть инвестор с элементарной функцией полезности u(x) = ln x имеет возможность
вложить свое богатство ? в n рискованных активов с ожидаемыми доходностями -i = r
1 + 1/i, и в гарантированный актив с доходностью r0 = 1,1. Укажите гипотезы и условия на
параметры, при которых все рискованные активы войдут в портфель.


20. Инвестор со строгим неприятием риска выбирает, какую долю капитала оставить в
безрисковой форме с доходностью r0, а сколько вложить в рискованные активы двух ти-
пов со средними доходностями -1 > r0, -2 > r0. Пусть функция полезности инвестора типа
r r
Неймана—Моргенштерна и возможен кредит в банке, а доходность рискованных активов
вероятностно независима.
Какие из перечисленных исходов возможны
а) все три актива войдут в портфель;
б) только один рискованный и один безрисковый войдут;
в) только два рискованных войдут в портфель?


21. Инвестор выбирает, какую долю ? своего капитала K вложить в рискованный актив, а
какую долю — в безрисковый.
(A) Пусть его элементарная функция полезности равна u(x) = – e–?x (? > 0). Докажите, что
независимо от величины капитала инвестор вложит в рискованный актив одну и ту же
сумму (?K).
(B) Пусть u(x) = x? (0 < ? < 1), u(x) = – x–? (? > 0) или u(x) = ln x. Докажите, что независимо от
величины капитала инвестор вложит в рискованный актив одну и ту же долю капитала (?).


22. Пусть на рынке доступны лишь два актива — рискованный и безрисковый. Как изме-
няется величина вложений в рискованный актив при росте суммы инвестиций, если пред-
почтения инвестора представляются функцией полезности Неймана—Моргенштерна с
элементарной функцией полезности u(?)?
Решить задачу при
1
–ax
(a) u(x) = x; (b) u(x) = – e ; (c) u(x) = – x ;

(d) u(x) = ln x; (e) u(x) = ax – b x2; (f) u(x) = a x + b x.

23. Инвестор имеет элементарную функцию полезности u = x3. Состояния мира A и B мо-
гут осуществиться с вероятностями µA = 2/3 и µB = 2/3. Инвестор может вложить свои 10

260
261
единиц капитала в два предприятия. Доход двух предприятий в двух состояниях мира ра-
вен: x1A = 1, x2A = 2, x1B = 4, x2B = 3. Найдите оптимальный портфель.


24. Известно, что рискованный актив дает доход, равный 2 в первом состоянии мира (с
вероятностью 1/2) и ? во втором состоянии мира, а безрисковый — 1 (вне зависимости от
состояния). Известно, что инвестор выбрал портфель, содержащий оба актива в положи-
тельных количествах. Определите интервал, в котором может лежать ?, если предпочте-
ния инвестора характеризуются функцией Бернулли u(x) = ln x.


25. Известно, что рискованный актив дает доход, равный 2 в первом состоянии мира (с
вероятностью 1/2) и 10 во втором состоянии мира, а безрисковый — ? (вне зависимости
от состояния). Известно, что инвестор выбрал портфель, содержащий оба актива в поло-
жительных количествах. Определите интервал, в котором может лежать ?, если предпоч-
тения инвестора характеризуются функцией Бернулли u(x) = ln x.


26. Известно, что рискованный актив дает доход, равный 4 в первом состоянии мира (с
вероятностью ?) и 1 во втором состоянии мира, а безрисковый — 2 (вне зависимости от
состояния). Известно, что инвестор выбрал портфель, содержащий оба актива в положи-
тельных количествах. Определите интервал, в котором может лежать ?, если предпочте-
ния инвестора характеризуются функцией Бернулли u(x) = ln x.


27. Известно, что рискованный актив дает доход, равный 4 в первом состоянии мира (с
вероятностью 1/4) и ? во втором состоянии мира, а безрисковый — 1 (вне зависимости от
состояния). Известно, что инвестор выбрал портфель, содержащий только безрисковый
актив в положительном количестве (отрицательные количества невозможны). Определите
интервал, в котором может лежать ?, если предпочтения инвестора характеризуются
функцией Бернулли u(x) = ln x.


28. [Аткинсон, Стиглиц] Инвестору доступны не приносящий дохода безрисковый актив и
рискованный актив, причем норма доходности рискового актива зависит следующим об-
разом в зависимости от некоторой базовой нормы доходности r и параметра ??[0; 1]:
˜
(а) r 1 = (1 – ?)r ;
˜ ˜
(б) r 1 = r + ?(r – r ), где r = E(r ).
˜˜ ˜- - ˜
Как меняется структура оптимального портфеля инвестора-рискофоба в зависимости от
параметра ?? Проинтерпретируйте полученные результаты.
Проиллюстрируйте анализ для простого случая, когда есть всего два состояния природы,
на диаграмме (в системе координат «богатство в первом состоянии» — «богатство во вто-
ром состоянии»)81.




81
Это упражнение опирается на методы сравнительной статики, которые используются в анализе влияния
налогообложения на инвестиционные решения.

261
262
29. [Аткинсон, Стиглиц] Докажите, что в ситуации, когда инвестору доступны принося-
щий доход безрисковый и рискованный активы, налог на валовой доход от портфельных
инвестиций увеличивает (уменьшает, оставляет постоянным) частный риск (т.е. диспер-
сию доходности оптимального портфеля), если эластичность по доходу спроса на риско-
ванный актив положительна (отрицательна, постоянна). Проиллюстрируйте его графиче-
ски для случая двух состояний природы.

Сравнительная статика решений в условиях
неопределенности
В этом параграфе мы попытаемся ответить на следующие вопросы, относящиеся к срав-

<< Предыдущая

стр. 58
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>