<< Предыдущая

стр. 59
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

нительной статике инвестиционного поведения
— какие условия на предпочтения инвестора гарантируют рост вложений в рискованную
часть портфеля при росте величины суммарных инвестиций;
— какие условия на предпочтения двух инвесторов гарантирую большую величину вло-
жений в рискованную часть портфеля одного из них при равных величинах суммарных
инвестиций;
— какие свойства двух лотерей гарантируют, что одну их них всегда предпочитает любой
другой инвестор, предпочтения которого представляются функцией полезности Ней-
мана—Моргенштерна.
Ответ на первые два вопроса формулируется в терминах характеристик отношения к рис-
ку, к анализу которых мы переходим.
Рассмотрим лотерейный билет, которой приносит чистый выигрыш ?1 с вероятностью µ и
?2 с вероятностью 1 – µ. Обозначим соответствующую случайную величину через ? . По-
˜
требитель, располагающий суммой денег ?, приобретет этот лотерейный билет, если ло-
терея, описываемая случайной величиной x = ? + ? , предпочитается вырожденной лотерее,
˜ ˜
дающей ? с вероятностью 1, т.е.
E(u(? + ? )) > u(?).
˜
или
µu(? + ?1) + (1 – µ)u(? + ?2) > u(?).
Обозначим множество всех таких лотерейных билетов (?1, ?2) (которые потребитель согла-
сен приобрести) через E(?).
Изобразим на плоскости (?1, ?2) множество E(?). Потребителю выгодно приобрести любой
лотерейный билет, представленный точкой из I квадранта, и не выгодно приобретать лю-
бой лотерейный билет, представленный точкой из III квадранта. Выгодность приобрете-
ния билетов, представленных точками из II и IV квадрантов зависит, в частности, от от-
ношения к риску рассматриваемого потребителя. Если элементарная функция полезности
u(?) вогнута, то множество E(?) выпукло. (Докажите это.)




262
263
?2


E(?)

?1

?2(?1)


?enoiie 55. Eioa?aeiua aeeaou, eioi?ua iio?aaeoaeu aioia i?eia?anoe
Для любой лотереи, лежащей на границе этого множества, выполняется:
µu(? + ?1) + (1 – µ)u(? + ?2) = u(?). (1)
Это уравнение задает зависимость ?2 = ?2(?1) в виде неявной функции. Стандартные свой-
ства элементарной функции полезности и условие µ < 1 гарантируют существование такой
функции и ее дифференцируемость. Подставим ?2 = ?2(?1) в (1) и продифференцируем по ?1
в точке 0. Используя, тот факт, что ?2(0) = 0 получим
?
µu?(?) + (1 – µ)u?(?)?2(0) = 0.
Это уравнение описывает касательную к E(?) в точке (0, 0). Эта касательная имеет наклон
µ
. Поскольку выпуклое множество лежит выше своей касательной, то точки лежащие

1–µ
ниже этой касательной не принадлежат E(?). Таким образом, если ?2 будет меньше, чем
µ
? , то участник заведомо не примет участия в такой лотерее (какова бы ни была ве-

1–µ 1
роятность µ).
Рассмотрим двух рискофобов. Пусть первый из них принимает лотереи, принадлежащие
множеству E (?), а второй — E (?). Если E (?) ? E (?) (строгое включение), то естест-
1 2 2 1

венно считать, что из этих двух рискофобов второй характеризуется б?льшим неприятием
риска, чем первый.
?2
E (?)
1




E (?)
2

?1




?enoiie 56. N?aaiaiea ioiioaiee e ?eneo aaoo iio?aaeoaeae
Если ни одно из включений E (?) ? E (?) и E (?) ? E (?) не выполнено, то мы не можем
2 1 1 2

проранжировать рассматриваемых участников, используя данное правило.
Заметим, что линейная аппроксимация этих множеств (полуплоскость, задаваемая каса-
тельной в нуле) одна и та же и не отражает различие в отношениях к риску. Поэтому сле-
дует рассмотреть «аппроксимацию второго порядка».
263
264
В предположении, что элементарная функция полезности дважды непрерывно дифферен-
цируема, продифференцируем выражение (1) по ?1 дважды в точке 0. Получаем
µu??(?) + (1 – µ)[u??(?)(?2(0))2 + u?(?)???(0)] = 0.
? 2

µ
?
С учетом того, что ?2(0) = – , получим
1–µ
u??(?) µ
???(0) = – .
u?(?) (1 – µ)2
2


Мы убедились, что уравнения границ множеств E (?) и E (?) в первом приближении все-
1 2


гда совпадают, а во втором приближении могут различаться. При этом, если ???(0) у пер-
2
вого меньше, чем у второго, то в окрестности нуля E (?) содержится в E (?). (Понятно,
2 1


что глобально это может не выполняться). Поэтому величину –u??(?)/u?(?) можно рас-
сматривать как локальную меру неприятия риска. Эти рассуждения мотивируют введение
следующей характеристики предпочтений потребителя.

Определение
называется величина
Мерой неприятия риска Эрроу—Пратта

u??(x)
.
r(x) = –
u?(x)


При определенных условиях эту меру неприятия риска можно рассматривать и как гло-
бальную меру неприятия риска. В терминах меры Эрроу—Пратта из двух участников
можно считать, что тот участник характеризуется б?льшим неприятием риска, у которого
мера Эрроу—Пратта всегда больше.
Предложенный Эрроу и Праттом подход — не единственный способ измерить отношение
к риску. Выше мы ввели вознаграждение за риск, которую тоже можно рассматривать как
меру отношения к риску. Напомним, что величина ?x(x) называется вознаграждением за
˜
риск для данного потребительского набора x, если Ex – ?x(x) является безрисковым экви-
˜ ˜ ˜
˜
валентом x:
Eu(x) = u(Ex – ?x(x)).
˜ ˜ ˜
Также напомним, что для любого рискофоба вознаграждение за риск — величина неотри-
цательная. Естественно считать, что в терминах вознаграждения за риск из двух участни-
ков тот характеризуется большим неприятием риска, у которого вознаграждение за риск
всегда больше.
Можно предложить еще один способ ранжирования рискофобов по их отношению к риску
— «степень вогнутости» элементарной функцией полезности. Можно считать, что u(?)
«более вогнута», чем v(?), если существует строго вогнутая строго возрастающая функция
G(?) такая, что u(x) = G(v(x)) ?x, тогда участник с элементарной функцией полезности u(?
) характеризуется большим неприятием риска.
Оказывается, что все эти способы ранжирования эквивалентны, о чем свидетельствует
следующее утверждение.

Теорема 10 (Теорема Пратта).




264
265
Рассмотрим двух потребителей, предпочтения которых характеризуются дважды непре-
рывно дифференцируемыми элементарными функциями полезности u1(?) и u2(?), такими
что u?(x) > 0 и u??(x) < 0 ?x, i=1, 2.
i i

Следующие три условия эквивалентны:
(i) r1(x) > r2(x) ?x, где ri(?) — мера неприятия риска Эрроу—Пратта, соответствующая
ui(?).
(ii) Существует строго вогнутая строго возрастающая функция G(?) такая, что
u1(x) = G(u2(x)) ?x.
(iii) Для всех случайных переменных x с ненулевой дисперсией (Var(x) ? 0)
˜ ˜
выполнено ?x1(x) > ?x2(x).
˜ ˜


Доказательство:
(i) ? (ii)
Определим G(?) для любого x принадлежащего области значений функции u2(?) следую-
щим образом:
–1
G(x) = u1(u2 (x)).
(Поскольку u2(?) строго монотонна, то она обратима).
Мы так определили функцию G(?), что
u1(x) = G(u2(x)).
Заметим, что эта функция является дважды непрерывно дифференцируемой и строго мо-
нотонно возрастающей. Дважды продифференцируем последнее соотношение:
? ?
u1(x) = G?(u2(x))u2(x),
u??(x) = G??(u2(x))u2(x) + G?(u2(x))u??(x).
?
1 2

Поделив вторую производную на первую, получим
G??(u2(x))
u?(x).
– r1(x) = – r2(x) +
G?(u2(x)) 2
?
Поскольку r1(x) > r2(x), u2(x) > 0, G?(u2(x)) > 0, то G??(y) < 0 ?y = u2(x), то есть функция G(?)
строго вогнута в своей области определения.
(ii) ? (iii)
Пусть функции u1(?) и u2(?) таковы, что u1(x) = G(u2(x)) ?x. Тогда для «нетривиальной»
˜
случайной величины x (т.е. и для любой случайной величины с положительной дисперси-
ей):
u1(Ex – ?x1(x)) = Eu1(x) = EG(u2(x)) <
˜ ˜ ˜ ˜
< G(Eu2(x)) = G(u2(Ex – ?x2(x))) = u1(Ex – ?x2(x)).
˜ ˜ ˜ ˜ ˜
В дополнение к соотношению u1(x) = G(u2(x)) мы использовали здесь определение возна-
граждения за риск и неравенство Йенсена в строгой форме.
Из монотонности u1(?) следует, что ?x1(x) > ?x2(x).
˜ ˜
(iii) ? (i)


265
266
Пусть ? (t) — семейство случайных величин, принимающих значение t и –t c равными
˜
вероятностями. Рассмотрим семейство случайных величин x(t) = ? + ? (t). Обозначим для
˜ ˜
˜
потребителя с элементарной функцией полезности ui(?) вознаграждение за риск для x(t)
через ?i(t). Таким образом, верно соотношение
1 1
ui(Ex(t) – ?i(t)) = ui( ? – ?i(t)) = 2 ui(? + t) + 2 ui(? – t) = Eui(x(t)),
˜ ˜

т.е.
1 1
ui( ? – ?i(t)) = 2 ui(? + t) + 2 ui(? – t) (3)

Покажем, что для достаточно малых t величина ?i(t) пропорциональна мере Эрроу—
Пратта, что и докажет соответствующее утверждение.
Поскольку функция ui(?) обратима, то можно получить выражение для вознаграждения за
риск в явном виде:
–1 1 1
?i(t) = ? – ui (2 ui(? + t) + 2 ui(? – t)).

Поскольку функция ui(?) дважды непрерывно дифференцируема, то ?i(t) — тоже дважды
непрерывно дифференцируемая функция.
Заметим, что ?i(0) = 0 и ?i?(0) = 0. Первое равенство очевидно. Покажем, что выполняется
и второе. Действительно, дифференцируя тождество (3) по t получим
1 1
–u?( ? – ?i(t))?i?(t) = 2 u?(? + t) – 2 u?(? – t),
i i i


откуда при t = 0
–u?( ?)??(0) = 0.
i i

Дважды дифференцируя тождество (3) по t получим
1 1
u??( ? – ?i(t))(??(t))2 – u?( ? – ?i(t))???(t) = 2 u??(? + t) + 2 u??(? – t),
i i i i i i


откуда при t = 0 получим

<< Предыдущая

стр. 59
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>