<< Предыдущая

стр. 6
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

тельной статики (Как изменяется потребительский выбор при изменении параметров мо-
дели?). Под функцией полезности некоторого потребителя традиционно понимается неко-
торая вещественнозначная функция ранжирующая (упорядочивающая) альтернативы из
множества допустимых альтернатив X тем же образом что и предпочтения.17

Определение 4.
Будем называть u(.): X>  функцией полезности потребителя, соответствующей систе-
ме неоклассических предпочтения {}, }, ˜}, если для всякой пары альтернатив x, y ? X
_
x}y верно тогда и только тогда, когда u(x) > u(y), т.е. x}y ? u(x) > u(y).
_ _


В связи с этим определением естественно возникает вопрос: Какие свойства предпочтений
(и множества альтернатив, на которых заданы предпочтения) гарантируют существование
функции полезности? Заметим, что в случае если некоторая система предпочтений пред-
ставима функцией полезности u(x), то функция f(u(x)), где f(.) – некоторая строго воз-
растающая функция, также является функцией полезности представляющей данную сис-
тему предпочтения (Проверьте это!). В свете этого факта, понятно, что при наличии хотя
бы одной функции представляющей предпочтения потребителя мы автоматически имеем

16
Понятие полезности (пользы) появилось впервые в работах английского философа Иеремии Бентама
(1748-1832): «… стремиться к удовольствию и избегать страдания составляет его (человека) единственную
задачу… Польза есть понятие отвлеченное. Оно выражает свойство или способность какого-нибудь предме-
та предохранить от какого-нибудь зла или доставить какое-нибудь благо.» (Цитируется по Юм Д. Опыты.
Бентам И. Принципы законодательства. – О влиянии условий, времени и места на законодательство. – Руко-
водство по политической экономии. Вып. 5.-М.1896)
17
Понятие функции полезности эволюционировало вместе с экономической теорией. Так Герман Генрих
Гёссен (Entwicklung der Gesetze des menschlichen Verkehrs, und der daraus fliessenden Regeln fur menschliches
Handeln, Berlin, Prager, 1854), впервые систематическим образом рассмотревший понятие функции полезно-
сти, предполагал, что она представляет собой сумму полиномов второй степени, причем все перекрестные
произведения отсутствуют. Дальнейшее обобщение понятия полезности принадлежит Уильяму Стенли
Джевонсу (The Theory of Political Economy, London and New York, McMillan and Co., 1871) предложившего в
качестве функции полезности сумму произвольных вогнутых функций одного аргумента. Франсис Исидро
Эджворт (Mathematical Psychics, London, Kegan Paul, 1881) пошел дальше всех предыдущих авторов и в
качестве функции полезности рассмотрел произвольную функцию многих переменных, без ограничения на
смешанные производные. Следует отметить, что все эти авторы мыслили о функции полезности в рамках
кардиналистского подхода. В дальнейшем развитие концепции полезности происходит в рамках ординали-
стского подхода, начала которого заложены в работах Вильфредо Парето (Manuel d`economie politique,
Paris, 1909). Подробнее об истории развития понятия полезности и теории потребителя смотри Houthakker,
H.S., The Present State of Consumer Theory, Econometrica, V. 29(4), 1961 и Stigler, G.J., The Development of
Utility Theory, Journal of Political Economy, V. 59, 1950.

28
29

бесконечное множество функций полезности эквивалентным образом упорядочивающих
потребительские наборы и, соответственно, эквивалентных с точки зрения описания по-
требительских предпочтений.
Перейдем теперь к рассмотрению условий гарантирующих существование функции по-
лезности представляющей систему неоклассических предпочтений. В начале приведем
утверждение, которое дает нам необходимое условие существования функции полезности.




Теорема 4.
Если существует функция полезности представляющая некоторую систему предпочте-
ний {}, }, ˜} заданную на X, то эта система является неоклассической, т.е. отношение }
_ _
– полно и транзитивно, } – асимметрично и отрицательно транзитивно, ˜ – рефлексивно,
симметрично и транзитивно.


Доказательство:
Покажем, например, что отношение } – полно и транзитивно. Доказательство остальных
_
свойств оставляется читателю в качестве упражнения.
(1) Докажем свойство полноты. Для любой пары альтернатив x, y ? X выполняется, по
крайней мере, одно из неравенств u(x) > u(y) и/или u(y) > u(x). Поэтому по определе-
нию функции, либо x } y, либо y } x.
_ _
(2) Докажем свойство транзитивности. Пусть для x, y, z ? X выполняются соотношения
x } y и y } z. По определению функции полезности это означает, что u(x) > u(y) >
_ _
u(z). Из u(x)> u(z) следует, что x } z.
_
*
Отметим, что когда множества альтернатив не более чем счетное, условия полноты и
транзитивности являются также и достаточными для существования функции полезности.
Множество альтернатив будет счетным, например, когда все блага потребляются только в
целых количествах.

Теорема 5.
Пусть множество альтернатив X не более чем счетно. Для любой неоклассической сис-
темы предпочтений существует представляющая ее функция полезности.


Доказательство:
Пусть множество альтернатив X – не более чем счетно. Тогда его можно представить в
виде последовательности альтернатив xi, i=1, 2, ... . Доказательство утверждения строит-
ся в виде алгоритма.
Пусть мы уже присвоили величину полезности первым N альтернативам из данной по-
следовательности. Требуется присвоить величину полезности альтернативе xN+1. Рассмот-
рим два подмножества множества AN = {x1,..., xN}:
A+ = {x? AN | x } xN+1} и A– = {x? AN | xN+1 } x}.
N N
_ _
Обозначим x такой элемент множества A+ , что x } x ?x?A+ . В случае неединственности
N N
- _-
˜
такого элемента берем любой из них. Так же точно обозначим x такой элемент множества

29
30

A– , что x } x ? x ? A– . Существование x (при непустом множестве A+ ) и x (при непус-
N N N
˜_ - ˜
том множестве A– ) следует из полноты и транзитивности отношения }. Доказательство
N
_
этого оставляется в качестве упражнения.
Возможны 4 случая:
• A+ = ?. Тогда можно взять u(xN+1) = u(x) + 1.
N
˜
• A– = ?. Тогда можно взять u(xN+1) = u(x) – 1.
N
-
• A+ ? ?, A– ? ?, A+ ] A– = ?.
N N N N



- ˜
Тогда можно взять u(xN+1) = (u(x) + u(x))/2.
• A+ ? ?, A– ? ?, A+ ] A– ? ?. В этом случае берем u(xN+1) = u(x), где x — произволь-
N N N N


ный элемент множества A+ ] A– (по построению все элементы множества A+ ] A–
N N N N

имеют одну и ту же полезность).
Чтобы закончить алгоритм, положим A1 = {x1} и u(x1) = 0. Заметим, что при таком по-
строении функции полезности свойство
x }y ? u(x)> u(y)
_
выполнено ? x, y ? AN при любом N. Поэтому построенная таким образом функция u(.)
действительно является функцией полезности.
*
Если же множество альтернатив не является счетным, то утверждение в общем случае
неверно. Это показывает, например, предпочтения на основе лексикографического упоря-
2
дочения потребительских наборов из  + .
Пример 3.
Лексикографическое упорядочение называется так, поскольку оно ранжирует наборы по-
2
добно правилу расположения слов в словаре. Итак, на множестве X =  + зададим бинар-
ное отношение }L , определяемое по правилу
2
(x }L y) ? ( (x1 > y1) или ( x1 = y1, x2 > y2) ).
? x, y ?  +
Отметим, что таким образом заданное упорядочение удовлетворяет свойствам асиммет-
ричности и отрицательной транзитивности. Однако оно не представляется никаким чис-
ленным индикатором полезности. Докажем последнее.
Предположим противное. Пусть существует некоторая функция полезности (принимаю-
щая действительные значения) такая, что
x }L y ? uL(x1, x2) > uL(y1, y2).
Сопоставим каждому действительному числу x1 некоторое рациональное число r(x1) та-
кое, что uL(x1, 2) > r(x1) > uL(x1,1). Заметим, что если x1> x1?, то по определению лексико-
графического упорядочения имеем uL(x1,1) > uL(x1?, 2). Кроме того, uL(x1, 2) > r(x1) >
uL(x1,1) и uL(x1?, 2) > r(x1?) > uL(x1?,1).
В силу этих соотношений имеем
r(x1) > uL(x1,1) > uL(x1?, 2) > r(x1?)
и, тем самым, из того, что x1> x1? имеем, что r(x1) > r(x1?). В силу этого r(.) является вза-
имнооднозначной функцией. Область определения этой функции — вещественные числа,
а область значения — некоторое подмножество множества рациональных чисел. Подобное

30
31

невозможно, так как невозможно построить взаимнооднозначное соответствие между
счетным и несчетным множествами. Таким образом, мы пришли к противоречию, и, тем
самым доказали, что не существует функции полезности, соответствующей лексикогра-
фическому упорядочению.
?
Отметим, что, однако, существует ряд случаев, для которых можно гарантировать сущест-
вование функции полезности даже в случае несчетного множества альтернатив. Так, на-
пример, Жерар Дебре18 доказал, что функция полезности существует, если предпочтения
непрерывны.

Определение 5.
Отношение ?, заданное на X называется непрерывным в X, если для любых сходящих-
ся последовательностей {xn} , {yn}, таких что xn, yn ? X ?n и xn?yn, выполнено x?y,
где x = limn>? xn и где y = limn>?yn.


Перед тем как перейти к обсуждению существования функции полезности для непрерыв-
ного отношения предпочтения докажем важную вспомогательную лемму.

Теорема 6.
Пусть на X?  K задана система неоклассических предпочтений. Тогда следующие ут-
верждения эквивалентны.
(1) предпочтение } – непрерывно;
_
(2) для любого x ? X множества {y? X | x } y} и {z?X | z } x} замкнуты в X.
_ _
(3) для любого x ? X множества {y? X | x } y} и {z?X | z } x} открыты в X.
(4) если x } y, то существуют непересекающиеся окрестности Vx и Vy точек x и y соот-
ветственно, такие, что для любых a? Vx и b? Vy выполнено a } b.


Доказательство:
Доказательство проведем по схеме 1?2?3?4?1.
(1)?(2) Возьмем любую сходящуюся последовательность {yn}, такую, что yn? {y? X | x
} y} и limn>?yn = y. Для нее имеем, что для любого n выполнено x }yn. По свойству не-
_ _
прерывности имеем, что x } y, т.е. y? {y? X | x } y}, что и означает замкнутость мно-
_ _
жества {y? X | x } y}. Замкнутость второго множества доказывается аналогично.
_
(2) ? (3) Так как дополнениями множеств {y? X | x } y} и {z?X | z } x} в пределах X
_ _
являются множества {y? X | x } y} и {z?X | z } x}, то отсюда следует, что первые два
множества замкнуты тогда, и только тогда, когда вторые два открыты.
(3)?(4) Пусть x } y. Возможны два случая.
1) Существует элемент z ?X, такой, что x } z } y. Тогда открытые множества Vx={a?X|
a } z} и Vy ={b?X| z } b}, удовлетворяют требуемым свойствам. Так, x?Vx, y?Vy. Пока-
жем, что Vx]Vy=?. Пусть это не так, т.е. существует некоторый элемент x??X, такой, что
x?? Vx] Vy. Тогда x? } z и z } x? по транзитивности имеем x? } x?. Противоречие с ир-

18
Debreu, Gerard, Representation of a Preference Ordering by a Numerical Function, in Decision Theory, Thrall,
Coombs, Davis, eds. Wiley, New York, 1954

31
32

рефлексифностью отношения } , значит Vx] Vy=?. Читателю предлагается самостоятель-
но проверить, что для любых a? Vx и b? Vy выполнено a } b.
2) Не существует элемента z ?X такого, что x } z } y. В этом случае составим множества
Vx={a?X| a } y} и Vy ={b?X| x } b}. Эти множества открыты, и, кроме того, x?Vx, y?
Vy. Покажем, что они не пресекаются. Пусть это не так, т.е. существует некоторый эле-
мент x??Xтакой, что x?? Vx] Vy. Тогда x? } y и x } x?, что противоречит с исходной по-
сылкой, о том, что не существует элемента z ?X такого, что x } z } y. Читателю предла-
гается самостоятельно проверить, что для любых a? Vx и b?Vy выполнено a } b.
(4)?(1) Возьмем некоторые сходящиеся последовательности {xn} , {yn}, такие что xn, yn
? X ?n, x = limn>? xn , y = limn>?yn и xn}yn. Предположим, что y } x, тогда для точек
_
x, y найдутся окрестности Vx и Vy, такие, что для любых a?Vx и b?Vy выполнено b } a.
Это означает, что при достаточно больших значениях n имеем yn } xn. Что противоречит
xn}yn. Таким образом, получили, что x}y.
_ _
*
Приведенные эквивалентные определения непрерывности позволяют выявить содержа-
тельный смысл понятия непрерывности: если мы явно предпочитаем один из наборов дру-
гому, то, в «малом», т.е. при рассмотрении достаточно близких наборов наша ранжировка
сохранится.
В формулировке данной теоремы появились два важных множества, которые мы будем
использовать в дальнейшем. Назовем, множества {z?X | z } x} и {y? X | x } y} верхним
_ _
и нижним лебеговским множеством, соответственно, и введем для них следующие обозна-
чения:
L (x)= {z?X | z } x} и L (x) = {y? X | x } y}.
+ –
_ _
Соответственно, непрерывность предпочтений с учетом этих терминов можно перефор-
мулировать как требование замкнутости верхнего и нижнего лебеговских множеств в X19.
Пример 3. (Продолжение)
2
Покажем, что в случае лексикографического отношения предпочтения для любого x ?  +
2 2
множества {y?  + | x }L y} и {z? + | z }L x} не являются ни замкнутыми, ни открытыми
_ _
2

<< Предыдущая

стр. 6
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>