<< Предыдущая

стр. 60
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

– u?( ?)???(0) = u??(?)
i i i

или
u??( ?)
???(0) = – i
= ri(?).
u?(?)
i
i

Подставим полученные результаты в ряд Тейлора:
1
?i(t) = 2 t2 ri(?) + o(t2).

¦
Введенная мера Эрроу—Пратта называется абсолютной мерой Эрроу—Пратта. Кроме
того, рассматривают относительную меру Эрроу—Пратта, которая определяется по формуле:
u??(x)x
.

u?(x)
Относительная мера Эрроу—Пратта является эластичностью предельной полезности (по
доходу).
266
267
Меры Эрроу—Пратта являются полезными инструментами анализа поведения инвестора
в условиях риска, т.к. в их терминах получаются ответы на стандартные вопросы сравни-
тельной статики: как изменяется структура инвестиционного портфеля при изменении
размера инвестиций, доходностей активов и т.д. А к проблемам сравнительной статики
сводятся многие проблемы прикладной экономики: характер спроса на деньги в порт-
фельной теории формирования спроса на деньги, влияние налогообложения и т.д.
В терминах (абсолютной) меры Эрроу—Пратта можно охарактеризовать спрос на риско-
ванный актив как функцию величины инвестиций в рассматриваемый портфель из двух
активов.
U = Eu(?r0 + z(r – r0)) > max ?>0.
˜
Мы предполагаем, что решение z(?) существует ?? ?  + и что Er > r0, т.е. что решение
˜
внутреннее (z(?) > 0).

Теорема 11.
Если мера Эрроу—Пратта r(x) убывает, то рискованный актив является нормальным
благом, т.е. z?(?) > 0.

Доказательство:
Условие оптимальности портфеля имеет вид
˜˜
E[u?(x)(r –r0)] = 0,
где x = ?r0 + z(?)(r – r0).
˜ ˜
Продифференцируем его по ?:
˜˜ ˜
E[u??(x)(r – r0)(r0 + z?(?)(r – r0))] = 0,
По свойствам оператора мат. ожидания
˜˜ ˜˜
r0E[u??(x)(r – r0)] = – z?(?)E[u??(x)(r – r0)2],
откуда
˜˜
E[u??(x)(r –r0)]
,
z?(?) = – r0
˜˜
E[u??(x)(r –r0)2]
Ясно, что знаменатель здесь меньше нуля, так как в силу вогнутости функции полезности
u??(x) < 0 . Покажем, что числитель больше нуля.
˜
Рассмотрим случайную величину r – r0: она принимает как положительные, так и отрица-
тельные значения.
u??(?r0 + z(?)(r – r0))(r – r0)
˜
Рассмотрим случай r = r > r0. Тогда в силу убывания функции r(?) при z > 0
r(?r0 + z(r – r0)) < r(?),
По определению меры Эрроу—Пратта
u??(?r0 + z(r – r0))
– < r(?),
u?(?r0 + z(r – r0))
Умножив это неравенство на знаменатель и на –(r – r0), получаем:
u??(?r0 + z(r – r0)) > – r(?)u?(?r0 + z(r – r0)),
267
268
˜
Легко видеть, что при r = r < r0 это неравенство тоже верно. Это означает, что верно соот-
ношение
˜ ˜
Eu??(?r0 + z(?)(r – r0)) > – r(?)Eu?(?r0 + z(?)(r – r0)).
Следовательно, z?(?) > 0. Другими словами, рискованный актив является нормальным бла-
гом.
¦
Отметим, однако, что это свойство не выполняется для случая с двумя и более рискован-
ными активами.

Задачи
30. Покажите, что если абсолютная мера Эрроу—Пратта неприятия риска убывает, то u???<
0. Покажите, что обратное неверно.


31. Приведите примеры элементарной функции полезности с возрастающей, убывающей и
постоянной абсолютной и относительной мерой Эрроу—Пратта.


32. Покажите, что при увеличении объема инвестиций доля инвестиций в рискованный
актив (в сумме инвестиций в оптимальный портфель) постоянна (возрастает, убывает),
если относительная мера Эрроу—Пратта убывает (возрастает, постоянна).


33. Покажите, что в первом приближении премия за риск равна
r(w)? 2/2,
где r(.) — абсолютная мера Эрроу—Пратта, а ? 2 — дисперсия лотереи.


34. Пусть в ситуации с двумя активами, рассмотренной выше, ?(R0) — оптимальная доля
вложений в рискованный актив как функция доходности безрискового актива. Покажите,
что если абсолютная мера Эрроу—Пратта растет (r?(.) > 0) и решение внутреннее (0 <
d?(R0)
?(R0) < 1), то dR >0, т.е. уменьшение доходности безрискового актива приводит к уве-
0
личению доли вложений в рискованный актив.
Указание:
Покажите, продифференцировав условие первого порядка, что
˜˜
˜
d?(R0) E (u?(w)) – w(1–?(R0))E (u??(w)(R– R0))
dR0 = .
˜˜
wE (u??(w)(R– R0)2)

˜˜
Отсюда следует требуемый результат, поскольку E (u??(?)(R– R0)) < 0 (вследствие того,
что r?(.) > 0).


35. Предположим, что (в мире с двумя состояниями) имеется один рискованный (с нормой
˜
доходности r ) и один не приносящий дохода безрисковый актив. Охарактеризуйте в тер-
минах относительной и абсолютной меры неприятия риска Эрроу—Пратта (эластичности
по богатству спроса на рисковый актив) представленные на рисунке возможные структу-
268
269
ры оптимальных портфелей при разных уровнях богатства. Линия PP? представляет сово-
купность фактических портфелей (при разных уровнях инвестиций в портфель), SS? (TT?)
— совокупность портфелей при условии, что портфели содержат лишь безрисковые (рис-
ковые) активы. Линии ST (S?T?) представляют совокупность допустимых портфелей при
данном уровне инвестиций.


Доход портфеля Доход портфеля
во 2-м состоянии во 2-м состоянии
мира мира

S? S?
P?
P?
S S
P P
T? T?
T T
(а) Доход портфеля в 1-м состоянии мира (б) Доход портфеля в 1-м состоянии мира


Доход портфеля Доход портфеля
во 2-м состоянии во 2-м состоянии
мира мира

S? S?
P?
P?

SP S
P
T? T?
T T
(в) Доход портфеля в 1-м состоянии мира (г) Доход портфеля в 1-м состоянии мира




36. Докажите, что если у двух участников меры неприятия риска r1(?) и r2(?) таковы, что
при всех x выполнено r1(x) < r2(x), то для любого исходного уровня богатства ? выпол-
нено E (?) ? E (?). (Заметим, что обратное утверждение фактически доказано в тексте
2 1

параграфа).

Приложение: модель Марковица82 и CAPM
Рассмотрим интересный частный случай модели инвестора, предположив, что элементар-
ная функция полезности u(?) имеет вид
u(?) = a0 + a1x – a2x2.




82
Markowitz, Harry "Portfolio Selection", The Journal of Finance, 7 (1952). Markowitz, Harry Portfolio Selection:
Efficient Diversification of Investments (New York, John Wiley & Sons, 1959). Tobin, James "Liquidity Preference
as Behaviour Towards Risk “, Review of Economic Studies, 25 (1958). Tobin, James "The Theory of Portfolio Se-
lection", in F. H. Hahn and F. P. R. Brechling (eds.), The Theory of Interest Rates (London, Macmillan, 1965).

269
270
(Можно интерпретировать это как квадратичную аппроксимацию первоначальной эле-
ментарной функции полезности получаемую разложением в ряд Тейлора вплоть до членов
второго порядка в некоторой точке:
u(?) = ?0 + ?1x + ?2x2 + ...)
Предполагается, что здесь a1, a2 > 0. Условие a2 > 0 гарантирует, что инвестор является рис-
кофобом. Условие a1 > 0 гарантирует, что при достаточно малых x элементарная функция
полезности имеет положительную производную. Очевидно, что квадратичная функция
может быть адекватной аппроксимацией не при всех x, поскольку при x = a1/(2a2) она дос-
тигает максимума, а далее убывает (т.е. по сути дела она подразумевает насыщаемость
предпочтений инвестора).83
u(x) = a0 + a1x – a2x2




x
a1/(2a2)

?enoiie 57
˜
При такой элементарной функции полезности ожидаемая полезность случайного дохода x
равна
˜ ˜ ˜
U = Eu(x) = a0 + a1Ex – a2E(x2).
Введем обозначения x = Ex (ожидаемый доход) и ?x = Var x (дисперсия дохода). По опре-
2
- ˜ ˜
делению дисперсии
E(x2) = (Ex)2 + Var x = x2 + ?x.
2
˜ ˜ ˜-
В этих обозначениях ожидаемая полезность примет вид
U = a0 + a1x – a2(x2 + ?x).
2
- -
Таким образом, при квадратичной элементарной функции полезности целевая функция
инвестора зависит от двух характеристик распределения его дохода от портфеля: от мате-
матического ожидания дохода (среднего дохода) и дисперсии дохода (которую можно
считать мерой рискованности). Эта парадигма «среднее-дисперсия» Марковица не только
упрощает анализ инвестиционного поведения, но и позволяет давать наглядные геометри-

83
У квадратичной функции есть и другие серьезные недостатки, вследствие чего модель Марковица нельзя
считать вполне адекватной для описания инвестиционного поведения. Однако она вполне оправдана, если
считать ее первым приближением с точки зрения моментов распределения. Очевидно, что если учитывать
только первые моменты (ожидаемые доходности), то модель станет совсем неадекватной, поскольку не бу-
дет учитывать риск (см. об этом, например, в статье Г. Марковица). П. Самуэльсон показал (Paul A. Samuel-
son. "The Fundamental Approximation Theorem of Portfolio Analysis in terms of Means, Variances and Higher
Moments." The Review of Economic Studies, Vol. 37, No. 4. (Oct., 1970), pp. 537-542), что при малом риске, т.е.
˜
в пределе, при стремлении распределения доходностей активов r k к вырожденному распределению, при
˜
котором r k принимает значение r0 с вероятностью единица, приближение по двум первым моментам дает
верное решение с точки зрения структуры портфеля. Если учесть более высокие моменты, то приближение
будет более точным, но анализ модели существенно усложняется.
Другой случай (помимо квадратичной функции), при котором ожидаемая полезность зависит только от
˜
ожидаемой доходности и дисперсии доходности, — это когда доходности активов r k имеют (многомерное)
нормальное распределение. Но нормальное распределение плохо аппроксимирует поведение доходностей
реальных финансовых активов.

270
271
ческие интерпретации различных этапов такого анализа, поскольку каждый портфель в
этой ситуации характеризуется всего двумя параметрами.
Удобно, как и выше, перейти от дохода к валовой доходности портфеля, которую обозна-
˜
чим через r P:
˜˜
r P = x/?.

<< Предыдущая

стр. 60
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>