<< Предыдущая

стр. 61
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Обозначим через -P ожидаемую доходность портфеля, Er P, а через ?P — дисперсию до-
2
˜
r
ходности портфеля, Var r P. Поскольку x = ?r P, то, вынося константу ? за операторы мат.
˜ ˜ ˜
ожидания и дисперсии, получим
x = Ex = E(?r P) = ?Er P = ?rP
- ˜ ˜ ˜ -
и
?x = Var x = Var(?r P) = ?2 Var r P = ?2?P.
2 2
˜ ˜ ˜
Подставим эти выражения в функцию полезности:
U = a0 + a1?r P – a2?2(r P2 + ?P)
2
- -
или, при введении обозначений b0 = a0, b1 = a1?, b2 = a2?2,
U = b0 + b1-P – b2(rP2 + ?P),
2
-
r
Мы можем нормировать эту функцию, применив к ней соответствующее линейное воз-
растающее преобразование. Окончательно получаем следующую функцию полезности:
U = -P – ?(rP2 + ?P).
2
-
r
Функция зависит от ожидаемой доходности портфеля и дисперсии доходности портфеля.
Коэффициент ? отражает степень неприятия риска.
Доходность портфеля очевидным образом связана с доходностями активов:

r P = ¤ ?k r k
˜ ˜
k?K

или
r P = ??r,
˜ ˜
где ? = {?k}k — вектор долей активов (структура портфеля), r — вектор, составленный из
˜
доходностей активов. Таким образом, доходность портфеля — это взвешенное среднее
доходностей активов, где в качестве весов выступают доли активов в портфеле.
Обозначим через r вектор, составленный из ожидаемых доходностей активов -k = Er k, а
- ˜
r
через V — ковариационную матрицу доходностей активов. В этих обозначениях для
ожидаемой доходности портфеля выполнено соотношение

-P = Er P =E(??r) = ??E(r) = ??r = ¤ ?k-k,
˜ ˜ ˜ -
r r
k?K

(ожидаемая доходность портфеля — это взвешенное среднее ожидаемых доходностей ак-
тивов), а для дисперсии доходности портфеля выполнено
?P = Var(r P) =Var(??r) = E[(??r – E(??r)) ] =
2 2
˜ ˜ ˜ ˜
= E[(??r – ??r) ] = E[(??(r – r)) ] = E[??(r – r)(r – r)??] =
2 2
˜ - ˜- ˜-˜-

= ??E[(r – r)(r – r)?]? = ??V? = ¤ ¤ ?k ?k ck k .
˜-˜- 1 2 12

k1?Kk2?K

271
272
Типичным элементом ковариационной матрицы V является ковариация между доходно-
стями пары активов:
ck k = Cov(r k , r k ) = E[(r k – -k )(r k – -k )].
˜˜ ˜r˜r
12 1 2 1 1 2 2



Ковариационная матрица симметрична и по диагонали ее стоят дисперсии доходностей
отдельных активов ?k = ckk = Var r k.
2
˜
[Напомним, что в дискретном случае величины -k, ?k и ck k вычисляются по формулам:
2
r 12




-k = ¤µsrks,
r
s?S


?k = ¤µs(rks – -k)2,
2
r
s?S


ck k = ¤µs(rk s – -k )(rk s – -k )). ]
r r
12 1 1 2 2

s?S

Дисперсию доходности портфеля можно выразить также через корреляции доходностей
активов:

?P = ¤ ¤ ?k ?k ?k ?k ?k k ,
2
1 2 1 2 12

k1?Kk2?K

где ?k — корень из дисперсии (среднеквадратическое отклонение) доходности k-го акти-
ва, ?k k — коэффициент корреляции доходностей активов k1 и k2, определяемый как
12



ck k
?k k = . 12


?k ?k
12
1 2



В конечном итоге задача инвестора в модели Марковица приобретает следующий вид:
U = ??r – ?((??r)2 + ??V?) > max ?.
- -

¤ ?k < 1,
k?K
?k > 0, ?k ? K, k ? 0.
В зависимости от рассматриваемой модели безрисковый актив k = 0 может присутство-
вать, либо нет в формулировке этой задачи инвестора. Эта задача представляет собой за-
дачу квадратичного программирования, поскольку в нее входят только многочлены второ-
го порядка от долей ?k.
В такой упрощенной модели выбора каждый актив характеризуется для инвестора всего
двумя параметрами, поэтому задачу инвестирования можно и удобно рассматривать на
диаграмме с осями ?, - (диаграмма риск-доходность). На этой диаграмме каждый актив
r
или портфель активов P можно изобразить точкой (?P, -P).
r
Кривые безразличия (линии уровня функции полезности)
-P – ?(rP2 + ?P) = const
2
-
r
представляют собой окружности с центром в точке
(?P, -P) = (0, 1/2?).
r
Мы будем в дальнейшем предполагать, что точка насыщения с доходностью 1/2? находится
выше доходностей всех доступных инвестору активов.


272
273
Для этой модели можно доказать ряд утверждений о характеристиках портфелей, характе-
ризующих структуры допустимых и оптимальных портфелей в разных ситуациях (с точки
зрения доходностей доступных инвестору активов).
Рассмотрим случай, когда портфель составлен из безрискового актива (k = 0) и одного
рискованного актива (первого). Дисперсия доходности такого портфеля равна
?P = Var(?0r0 + ?1 r 1) = Var(?1r 1) = ?1 Var(r 1) =?1?1.
2 2 2 2
˜ ˜ ˜
Среднеквадратическое отклонение равно
?P = ?1?1,
т.е. при комбинировании безрискового и рискованного активов среднеквадратичное от-
клонение портфеля пропорционально среднеквадратичному отклонению рискованного
актива, причем коэффициент пропорциональности равен доле вложений в рискованный
актив.
Доходность же портфеля, очевидно, равна
rP = ?0r0 + ?1-1 = (1 – ?1)r0 + ?1-1 = r0 + ?1(r1 – r0).
-
r r
Таким образом, портфели (?P, -P), соответствующие различным выпуклым комбинациям
r
этих активов лежат на отрезке с концами в точках (0, r0) и (?1, -1). Это множество допус-
r
тимых портфелей для случая, когда кредит невозможен (т.е. инвестор не может выбрать
?0 > 0). Если кредит доступен, то возможные комбинации лежат на луче, выходящем из
(0, r0) и проходящем через (?1, -1). Часть луча за точкой (?1, -1) соответствует кредиту
r r
(?0 > 0). Этот луч — аналог бюджетной прямой для задачи инвестора.
-P
r

/2?
1
-
(?1,r 1)

оптимальный
портфель
r0

?P

?enoiie 58. Iioeiaeuiue ii?ooaeu a neo?aa aaoo aeoeaia
Оптимальному портфелю на графике соответствует точка, в которой кривая безразличия
касается луча. Доли активов в оптимальном портфеле определяются отношением инве-
стора к риску (параметром ?). Для того, чтобы оптимальный портфель был внутренним (в
смысле ?1 > 0), необходимо и достаточно, чтобы -1 > r0. В случае же -1 < r0 наклон луча бу-
r r
дет отрицательный и оптимум будет достигаться при ?1 = 0 (рискованный актив не войдет
в портфель).
Перейдем теперь к рассмотрению портфелей, содержащих несколько рискованных акти-
вов. Мы выясним при различных частных предположениях о коррелированности доход-
ностей активов, какова будет структура множества возможных портфелей и каким будет
оптимальный портфель.
Сначала рассмотрим случай, когда доходности всех рискованных активов жестко положи-
тельно коррелированны, то есть когда коэффициент корреляции между любой парой ак-
тивов равен единице:




273
274
?k k = 1 (?k1, k2?0).84
12



При этом
? ? ? ?2
? = ¤¤?k ?k ?k ?k = ¤?k ?k ¤?k ?k = ?¤ k k?
2
P
?k ?
1 2 1 2 1 1 2 2
kk k k
1 2 1 2



откуда

?P = ¤?k?k.
k

(В матричном виде
? ?1?1 = ?l?1 ?
V= ? | | ? = ???,
? ?
?1?l = ?l?l ?
?
где ? = {?k}k — вектор корней из дисперсий активов. В этих обозначениях
?P = ??V? = ?????? = (???)2.)
2


Для ожидаемой доходности вне зависимости от коррелированности выполняется

-P = ¤?k-k.
r r
k

Отсюда следует, что множество точек (?P, -P) при неотрицательных долях ?k есть выпук-
r
лая комбинация точек (?k, -k), соответствующих рассматриваемым активам:
r

(?P, -P) = ¤?k(?k, -k)
r r

<< Предыдущая

стр. 61
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>