<< Предыдущая

стр. 62
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

k

(риски складываются с весами ?, как и доходности).
Другими словами, на диаграмме риск-доходность множество возможных рискованных
портфелей представляет собой выпуклый многоугольник с вершинами в точках (?k, -k),
r
соответствующих отдельным активам.
-P
r




?P

?enoiie 59. Aicii?iua ?eneiaaiiua ii?ooaee a neo?aa ?anoei iiei?eoaeuii
ei??aee?iaaiiuo aeoeaia
Проанализируем структуру портфелей, содержащих дополнительно безрисковый актив.
Выше мы уже рассмотрели, как комбинировать рискованный актив с безрисковым. Не-
трудно понять, что по аналогичным формулам вычисляются характеристики портфеля,
полученного при комбинировании рискованного портфеля с безрисковым активом. Лю-
бой такой портфель на диаграмме риск-доходность будет представлять собой точку отрез-
ка (луча) соединяющего безрисковый актив с данным рискованным портфелем. Действи-

84
Такое может происходить, если доходности зависят от фазы экономического цикла или другого общего
параметра.

274
275
тельно, пусть доли активов в исходном рискованном портфеле равны ?k, тогда этот порт-
фель имеет следующие характеристики:

-R = ¤?k-k,
r r
k?0


?R = ¤ ¤?k ?k ck k .
2
1 2 12

k1?0k2?0

Назовем комбинированным портфелем, состоящим из безрискового актива и исходного
портфеля, с долями ?0 и 1 – ?0 соответственно, такой портфель, в котором доли вложений
в рискованные активы равны ?k = ?k(1 – ?0), а доля вложений в безрисковый актив равна
?0. Такой портфель имеет следующие характеристики:

-P = ¤ ?k-k,
r r
k?K


?P = ¤ ¤ ?k ?k ck k .
2
1 2 12

k1?Kk2?K

Покажем, что выполнено следующие соотношения:
r P = ?0r0 + (1 – ?0)r R,
˜ ˜
?P = (1 – ?0)?R,
-P = ?0r0 + (1 – ?0)rR,
-
r
то есть при таком комбинировании с портфелями можно обращаться так же, как с актива-
ми. (Этот результат можно обобщить на случай комбинирования любых портфелей).
Действительно,

-P = ¤ ?k-k = ?0r0 + ¤?k(1 – ?0)rk =
-
r r
k?K k?0


= ?0r0 + (1 – ?0) ¤ ?k-k = ?0r0 + (1 – ?0)rR.
-
r
k?K

Для дисперсии комбинированного портфеля имеем

?P = ¤ ¤ ?k ?k ck k =
2
1 2 12

k1?Kk2?K


= ?02c00 + ¤?k ?0ck + ¤?0?k c0k +¤ ¤?k ?k ck k .
1 10 2 2 1 2 12

k1?0 k2?0 k1?0k2?0

Учитывая, что c00 = ck = c0k = 0, и ?k = ?k(1 – ?0) получаем
10 2




?P = (1 – ?0)2¤ ¤?k ?k ck k = (1 – ?0) ?R
2 2 2
1 2 12

k1?0k2?0

или
?P = (1 – ?0)?R.
Вернемся к анализу портфеля, в котором все рискованные активы жестко положительно
коррелированны. Учитывая полученный только что результат, охарактеризуем все комби-
нированные портфели в этом случае. Каждый из них является точкой на луче, выходящем
из точки (0, r0) и проходящем через одну из точек многогранника рискованных активов.
Таким образом, комбинированные портфели в данном случае представляют собой выпук-
275
276
лый конус, составленный из таких лучей. Оптимальный портфель должен лежать на верх-
ней границе этого конуса, в точке, где ее касается кривая безразличия инвестора (см. Рис.
60).
-P оптимальный
r
портфель



r0


?P

?enoiie 60. Iioeiaeuiue ii?ooaeu a neo?aa ?anoei iiei?eoaeuii
ei??aee?iaaiiuo aeoeaia
В оптимальный портфель в невырожденном случае войдет только один рискованный ак-
тив, имеющий наилучшие характеристики.
Здесь рискованная часть портфеля определяется из задачи
-k – r0
r
> max k=1,...,l.
?k
Выбирается актив, для которого луч будет иметь наибольший наклон. Только он и может
войти в портфель с положительным весом.
В вырожденном случае (см. Рис. 61) несколько активов характеризуются максимальным
наклоном и все они могут войти в оптимальный портфель. В оптимуме относительные
доли вложений в такие активы не определены однозначно.
-P
r




r0


?P

?enoiie 61. ?anoei iiei?eoaeuii ei??aee?iaaiiua aeoeau – au?i?aaiiue neo?ae
Мы рассматривали только поведение инвестора, т.е. спрос на активы, но можно рассмат-
ривать и предложение активов. Если те, кто предлагает активы, могут менять доходность,
но не коэффициенты корреляции, то естественно ожидать, что в равновесии на рынке ак-
тивов все предлагаемые активы лежат на оптимальном луче. Таким образом, для строго
положительно коррелированных активов «вырожденный» случай в определенном смысле
довольно естественен.
Второй случай коррелированности — жесткая отрицательная корреляция. Имеет смысл
рассматривать только пару таких активов (для более чем двух активов все коэффициенты
корреляции не могут равняться –1). Таким образом, пусть есть два актива, 1 и 2, такие что
?12 = –1. Применяя общую формулу для расчета дисперсии, получим
? ?1 –?1?2 ? ??1?
2

? = (?1, ?2)? ?? ? =
2

? – ?1?2 ?2 ? ??2?
P 2


= ?1?1 – 2?1?2?1?2 + ?2?2 = (?1?1 – ?2?2)2,
22 22


откуда среднеквадратическое отклонение равно
?P = |?1?1 – ?2?2|.
276
277
Ожидаемая доходность портфеля равна
-P = ?1-1 + ?2-2.
r r r
Несложно понять, что допустимые комбинации таких двух активов составляют ломаную.
Точка излома соответствует портфелю с нулевым риском (?P = 0). Это означает, что из
двух жестко отрицательно коррелированных активов можно составить безрисковый порт-
фель.
-P безрисковый
r
портфель
-
(?1,r 1)


-
(?2,r 2)


?P

?enoiie 62. Aicii?iua ?eneiaaiiua ii?ooaee a neo?aa ?anoei io?eoaoaeuii
ei??aee?iaaiiuo aeoeaia
Чтобы получить такую ломаную на графике, нужно отразить одну из точек относительно
вертикальной оси и соединить отрезком с другой точкой.
-P
r

-
(?1,r1)


-
(?2,r2)
?P


?enoiie 63. Iino?iaiea eiiaiie aicii?iuo ?eneiaaiiuo ii?ooaeae a neo?aa
?anoei io?eoaoaeuii ei??aee?iaaiiuo aeoeaia
Безрисковый портфель получается при следующей структуре портфеля:
?2 ?1
?1 = , ?2 = .
?1 + ?2 ?1 + ?2
Его доходность, которую мы обозначим r00, равна
?1-2 + ?2-1
r r
.
r00 =
?1 + ?2
Поскольку из двух таких активов можно составить безрисковый портфель, то рассматри-
вать, как эти активы будут сочетаться с безрисковым активом, не имеет особого смысла.
Можно сказать только, что при r00 > r0 и возможности кредита по ставке r0 получается па-
радоксальный результат — можно брать в кредит по ставке r0 и инвестировать без риска с
доходностью r00. При этом можно получить сколь угодно большую доходность портфеля.
(Формально в модели решение существует, так как целевая функция насыщаема). Ясно,
что этого не может происходить в рыночном равновесии. Следует учесть предложение
активов. Естественно предположить, что в равновесии должно быть r00 < r0 (отсутствие
«рога изобилия»).
Третий случай, который мы рассмотрим — некоррелированные активы. Тогда
V= diag(?1, ..., ?l ).
2 2



?P = ??V? = ¤?k?k.
2 2 2

k

277
278

?P = ¤?k?k.
2 2

k

Ожидаемая доходность портфеля, как всегда, равна

-P = ¤?k-k.
r r
k

Из двух некоррелированных активов комбинируется дуга, изогнутая влево (см. Рис. 64).
-P = ?1-1 + ?2-2 = ?1-1 + (1 – ?1)r2.
-

<< Предыдущая

стр. 62
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>