<< Предыдущая

стр. 63
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

r r r r

?P = ?1?1 + ?2?2 = ?1?1 + (1 – ?1) ?2.
2 2 2 2 2 2 2 2


-P
r

-
(?1,r 1)


-
(?2,r2)


?P

?enoiie 64. Aicii?iua ?eneiaaiiua ii?ooaee a neo?aa aaoo iaei??aee?iaaiiuo
aeoeaia
В отличие от случая жесткой положительной коррелированности, риски при некоррелиро-
ванности не складываются, поэтому риск при комбинировании активов будет снижен. То-
гда все активы с доходностью выше гарантированной должны войти в оптимальный
портфель (эффект диверсификации). Другими словами, для случая некоррелированных
доходностей в модели Марковица выполняется аналог теоремы о диверсификации:

Если доходности всех рискованных активов в модели Марковица некоррелированны, то
рискованный актив войдет в оптимальный портфель (?k > 0), если, и только если, его
-
ожидаемая доходность выше гарантированной (rk > r0).


Доказательство этого утверждения будет приведено ниже.
-P -P
а) б)
r r
оптимальный оптимальный
портфель портфель
-
(?1,r1)
-
(?1,r 1)
r0
- -
(?2,r2) (?2,r 2)
r0
?P ?P

?enoiie 65. Iioeiaeuiua ii?ooaee a neo?aa aaoo iaei??aee?iaaiiuo aeoeaia.
На Рис. 65 а оба рискованных актива входят в оптимальный портфель, так как их ожидае-
мая доходность больше доходности безрискового актива. На Рис. 65 б только один риско-
ванный актив (1-й) входит в оптимальный портфель.
При произвольном коэффициенте корреляции комбинации доходности и риска, достижи-
мые комбинированием двух активов, окажутся на графике некоторой кривой соединяю-
щей эти точки и выгибающейся, при неполной коррелированности, влево. На Рис. 66 по-
казаны портфели, которые можно составить из двух активов при разных коэффициентах
корреляции. Чем меньше коэффициент корреляции, тем сильнее влево выгибается кривая
возможных портфелей.

278
279
-P
r
?12=0
?12=–1
-
(?1,r 1)
?12=1
-
?12=–0,5 (?2,r2)
?12=0,5
?P

?enoiie 66. Aicii?iua ii?ooaee ec aaoo ?eneiaaiiuo aeoeaia i?e ?aciuo
eiyooeoeaioao ei??aeyoee
В общем случае допустимое множество R всех доступных инвестору портфелей, состоя-
щих из рискованных активов, на диаграмме риск-доходность будет изображаться некото-
рой связной фигурой, граница которой оказывается кривой, выпуклой влево (см. напр.
Рис. 67).85 Очевидно, что множество R лежит в пределах, задаваемых наибольшей и наи-
меньшей ожидаемой доходностью доступных активов. Т.е. для любого рискованного
портфеля (?M, -M)? R выполнено
r
min -k < -M < max -k.
rr r
-P
r

R
эффективная
граница


?P

?enoiie 67. Iii?anoai aicii?iuo ?eneiaaiiuo ii?ooaeae aey ianeieueeo aeoeaia
Если бы инвестор выбирал портфель из множества R, то он не стал бы выбирать такой
? r?
портфель (?M, -M), для которого существует другой допустимый портфель (?M, -M)? R с
r
лучшими характеристиками, т.е. такой что
? r? r
?M < ?M и -M > -M,
причем одно из неравенств строгое. Выбор инвестора всегда лежал бы на эффективной
границе, состоящей из портфелей, для которых при заданной величине риска доходность
максимальна (см. Рис. 67).
Комбинируя рискованные портфели с безрисковым активом получим множество всех
возможных портфелей, которое на диаграмме будет выглядеть как конус с вершиной в
точке (0, r0) (см. Рис. 68). Этот конус состоит из всех таких лучей, что они выходят из точ-
ки (0, r0) и проходят через одну из точек (?M, -M)? R.
r




85
Диаграмма изображает множество возможных портфелей, составленных из 7 активов, при некоторой мат-
рице корреляций доходностей этих активов.

279
280

-P эффективный
r
луч
R

r0
рыночный
портфель

?P

?enoiie 68. Iii?anoai aicii?iuo ii?ooaeae aey ianeieueeo aeoeaia
Комбинируя наилучшую (по наклону луча) точку из R с безрисковым активом, как и ранее
получаем наилучший по соотношению риска и доходности. Оптимальный портфель опре-
деляется наиболее крутым лучом (см. Рис. 68), т.е.
-M – r0
r
> max (? .
?M -
,r M)?R
M




Полезность инвестора от оптимального портфеля равна
U = -P – ?(rP2 + ?P),
2
-
r
где величины -P и ?P можно выразить через доли всех активов, кроме безрискового, (?k,
2
r
k=1,...,l) следующим образом:
l

-P = r0 + ¤?k(rk – r0),
-
r
k=1
l l
? = ¤ ¤?k ?k ck k .
2
P 1 2 12
k1=1k2=1

Заметим, что
?rP
- ??P
2
= ¤j ?jcjk.
=- –r и
r
??k k 0 ??k
Будем рассматривать полезность U как функцию долей всех рискованных активов. Опти-
мальный портфель характеризуется долями, максимизирующими эту функцию (при огра-
ничениях на их неотрицательность).
Найдем производную U по ?k:
?U ?rP ?rP ??2
- -
– ?(2rP
P
-
= + )=
??k ??k ??k ??k
l
= -k – r0 – ?(2rP(rk – r0) + ¤?jcjk)) =
--
r
j=1
l
= (1 – 2?rP)(rk – r0) – ?¤?jcjk.
--
j=1

Для оптимального портфеля ?U/??k < 0, причем для активов, входящих в портфель
(?k > 0), по условию дополняющей нежесткости, ?U/??k = 0.
Из условий дополняющей нежесткости
?U
l
¤?k = 0,
??k
k=1


280
281
т.е.
(1 – 2?rP)(rP – r0) – ??P = 0,
2
--
откуда, исключая обсужденный выше вырожденный случай, когда ?P = 0, получим
2


??P
2

- r –r ,
1 – 2?rP =
-P 0
Отсюда
2 -k – r0
?U l
r
= ?(?P – ¤? c ).
-P – r0 j=1 j jk
??k r
Взвешенная сумма ковариаций в этой формуле равна:
l l l
¤?jcjk = ¤?jCov(r j, r k) = Cov(¤?jr j, r k) =
˜˜ ˜˜
j=1 j=1 j=1

= Cov(r P – ?0r0, r k) = Cov(r P, r k).
˜ ˜ ˜˜
Обозначим эту величину cPk. Тогда
2 -k – r0
?U r
= ?(?P – c ).
-P – r0 Pk
??k r
Следовательно, условия первого порядка ?U/??k < 0, характеризующие оптимальный
портфель, можно записать следующим образом:
-k – r0
r
<c ,
?P
2
-P – r0 Pk
r
причем если k-й актив входит в оптимальный портфель (?k > 0), то здесь достигается ра-
венство. Т.е. для активов, входящих в портфель, выполнено следующее условие опти-
мальности:
cPk
-k – r0 = 2 (rP – r0).
-
r
?P
Пусть ? = (?1, ..., ?l) — структура рискованной части портфеля. Величина ?k представляет
собой долю вложений в k-й актив в общих вложениях в рискованные активы. Другими
словами, если (?1,...,?l) — оптимальный для инвестора портфель, то
?k
?k = , k ? 0.
¤?j
j?0


<< Предыдущая

стр. 63
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>