<< Предыдущая

стр. 64
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


В знаменателе стоит ¤?j = 1 – ?0 — доля рискованной части портфеля. Можно записать
j?0
это соотношение и в другом виде:
?k = ?k(1 – ?0), k ? 0.
Рассмотрим портфель, составленный только из рискованных активов, с долями ?k. Его
˜
доходность обозначим через r M. Она связана с доходностью полного оптимального порт-
феля как
r P = ?0r0 + (1 – ?0)r M.
˜ ˜
Следовательно,

281
282
-P = ?0r0 + (1 – ?0)rM,
-
r
?P = (1 – ?0) ?M,
2 2 2


cPk = Cov(r P, r k) = Cov((1 – ?0)r M, r k) =
˜˜ ˜˜
= (1 – ?0)Cov(r M, r k) = (1 – ?0)cMk.
˜˜
Используя эти обозначения, условия первого порядка для актива, входящего в оптималь-
ный портфель, можно записать как
-k – r0 = ?k(rM – r0),
-
r
где
˜˜
Cov(r M, r k) cMk
?k = = 2.
?M
˜
Var(r M)
Это основная формула модели CAPM86. В соответствии с этим соотношением ожидаемую
доходность актива, вошедшего в портфель, можно разбить на две части:
1) доходность безрискового актива, r0 (это компенсация за отложенное потребление);
2) компенсация за подверженность риску, -k – r0 (премия за риск).
r
Коэффициент ?k — это ковариация между доходностью k-го актива и доходностью риско-
ванной части оптимального портфеля, нормированная на дисперсию доходности риско-
ванной части оптимального портфеля. Такой нормированный показатель называется вели-
чиной бета этого актива.
Для активов, не входящих в оптимальный портфель, выполнено
-k – r0 < ?k(rM – r0).
-
r
В частном случае, когда доходности рискованных активов некоррелированны между со-
бой, очевидно, что беты всех активов, не вошедших в оптимальный портфель, будут рав-
ны нулю. Следовательно, для актива, не вошедшего в портфель, выполнено
-k – r0 < ?k(rM – r0) = 0.
-
r
С другой стороны, если актив вошел в портфель, то его бета должна быть положительна.
Следовательно, для такого актива
-k – r0 = ?k(rM – r0) > 0
-
r
(где мы предполагаем, что -M > r0). Тем самым, мы доказали «теорему о диверсификации»,
r
сформулированную выше.
Интерпретируем теперь полученные результаты в контексте ситуации, когда всем инве-
сторам на рынке доступны одни и те же активы.
1) Множество R допустимых комбинаций рискованных активов у всех будет одним и тем
же.
2) Поскольку оптимальный портфель у каждого инвестора лежит на луче с наибольшим
наклоном, выходящим из точки (0, r0) и проходящем через точку множества R, то у всех
-
инвесторов рискованная часть портфеля будет иметь одно и то же соотношение (rM –
r0)/?M. Рискованный портфель, характеризующийся этим оптимальным соотношением
называется рыночным портфелем (см. Рис. 69). Это точка «касания» эффективного луча и
86
См. напр., статью Уильяма Шарпа: William F. Sharpe, "Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium
under Conditions of Risk," Journal of Finance, 19 (1964), 425-442.

282
283
ется рыночным портфелем (см. Рис. 69). Это точка «касания» эффективного луча и множе-
ства R. Ясно, что всякая точка (?P, -P), лежащая на эффективном луче удовлетворяет
r
уравнению
?P
-P = r0 – -
r (r – r )
?M M 0
или
-P – r0 -M – r0
r r
,
=
?P ?M
где (?M, -M) — характеристики рыночного портфеля.
r

-P оптимальный
-P оптимальный
r r
портфель
портфель
R R

r0 r0
рыночный рыночный
портфель портфель

?P ?P
-P оптимальный
r
портфель
R

r0
рыночный
портфель

?P

?enoiie 69. Iioeiaeuiua ii?ooaee ?aciuo eiaanoi?ia
(Separation Theorem):
Теорема о разделении

Для всякого инвестора (независимо от ?) рискованная часть оптимального портфеля яв-
ляется рыночным портфелем.

Соответственно, процесс поиска оптимального портфеля можно разделить на два этапа:
сначала определяется оптимальный рискованный портфель (?M, -M), а затем в зависимо-
r
сти от склонности к риску выбирается его оптимальное сочетание с безрисковым активом.
При отождествлении оптимального рискованного портфеля с рыночным задачу первого
«решает» рынок и инвестору достаточно выбрать соотношение между безрисковым акти-
вом и этим портфелем. Тем самым, вместо того, чтобы рассматривать все активы, инве-
стору достаточно выбрать соотношение между безрисковым активом и рыночным
портфелем. (Выше мы уже анализировали подобную задачу).
Это утверждение называют также «теоремой о взаимных фондах» ("Mutual Fund Theorem").
Название отражает тот факт, что в «мире Марковица» инвесторы могут доверить состав-
ление оптимального портфеля рискованных активов инвестиционным организациям
(«взаимным фондам»), а сами должны будут лишь комбинировать этот готовый портфель
с безрисковым активом в соответствии со своими предпочтениями.


283
284
Как мы видели, точка касания (?M, -M), вообще говоря, может быть не единственной.
r
Кроме того, в общем случае данной паре (?M, -M) не всегда соответствует единственная
r
структура активов, поэтому рыночный портфель может быть не единственным.
Если мы имеем дело с невырожденным случаем (например, когда матрица корреляций
доходностей рискованных активов невырождена), то рыночный портфель (?1,...,?l) един-
ственный и вектор (?1,...,?l) для любого инвестора характеризует структуру рискованной
части портфеля. Таким образом, этот же вектор характеризует структуру продаж активов
на рынке в целом (отсюда и термин «рыночный портфель»).
Показатель бета отдельного актива, ?k = cMk/?M, представляет собой характеристику акти-
2

ва, общую для всех инвесторов. Бета актива измеряет степень взаимосвязанности доход-
ности актива и доходности рыночного портфеля. Бета актива, фактически, представляет
собой наклон теоретической линии регрессии доходности актива по доходности рыночно-
го портфеля (отсюда и название).

˜
rk


?k
r0
˜
rM
r0

?enoiie 70. Eioa?i?aoaoey aaou aeoeaa eae iaeeiia eeiee ?aa?annee
Коэффициенты бета характеризуют структуру равновесия на рынке активов, задавая об-
ратное соотношение между риском и доходностью:
-k – r0 = ?k(rM – r0).
-
r
Эти соотношения показывают, что премия за риск, -k – r0, пропорциональна коэффициенту
r
?k. Коэффициент пропорциональности здесь — премия за риск для рыночного портфеля,
-M – r0.
r
Отметим несколько свойств этих равновесных соотношений и коэффициентов бета.
Ожидаемая доходность актива с нулевой бетой (т.е. актива, доходность которого некорре-
лированна с рыночной доходностью) равна безрисковой ставке, r0. Поскольку такой актив
не изменяет риск рыночного портфеля, то он по сути дела является безрисковым (несмот-
ря на то, что дисперсия доходности может быть положительной).
Актив с бетой, равной единице, эквивалентен рыночному портфелю и обладает той же
ожидаемой доходностью, что и рыночный портфель.
Определим бету произвольного портфеля следующим образом:
˜˜
Cov(r P, r M) cMP
?P = = 2.
?M
˜
Var(r M)
При этом бета портфеля — это взвешенное среднее бет активов, составляющих портфель:
l
1l l
1 1
?P = 2 Cov(r P, r M) = 2 Cov(¤?k r k, r M) = 2 ¤?kcMk = ¤?k?k .
˜˜ ˜˜
?M ?M ?M k=1
k=1 k=1

Заметим, что для любого портфеля, лежащего на эффективном луче ?P = (1 – ?0)?M и
284
285
cMP = Cov(r P, r M) = (1 – ?0)?M.
2
˜˜
Следовательно, у такого портфеля бета равна
cMP ?P
?P = .
2=
?M ?M
В частности, бета рыночного портфеля равна единице.
Для эффективного портфеля, так же как для активов, входящих в оптимальный портфель,
выполнено
?P
-P – r0 = ?P(rM – r0) = r0 +
- -
r (r – r ).
?M M 0
Это уравнение эффективного луча, которое мы вывели выше.

Задачи
37. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности типа Неймана—Морген-
штерна с квадратичной элементарной функцией полезности. Он обладает некоторым бо-
гатством ? и может формировать портфель из активов со следующими характеристиками
(ожидаемая доходность, среднеквадратическое отклонение доходности): (r0, ?0) = (1; 0)
-
(безрисковый актив с возможностью кредита), (r1, ?1) = (1,2; 0,3), (r2, ?2) = (1,15; 0,2), (r
- - -
1, ?1) = (1,3; 0,4). Рискованные активы жестко положительно коррелированы (с коэффициен-
том 1). Что можно сказать о структуре рисковой части оптимального портфеля? Поясните
словами и графически.


38. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности типа Неймана—Морген-
штерна с квадратичной элементарной функцией полезности. Он обладает некоторым бо-
гатством ? и может формировать портфель из активов со следующими характеристиками
(ожидаемая доходность, среднеквадратическое отклонение доходности): (r0, ?0) = (?, 0)
(безрисковый актив с возможностью кредита), (r1, ?1) = (1,1; 0,2), (r2, ?2) = (1,2; 0,2). Риско-
- -
ванные активы некоррелированы. При какой величине r0 рисковая часть оптимального
портфеля может иметь характеристики (rR, ?R) = (1,15; 0,2)? Поясните словами и графи-
-
чески.


39. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности типа Неймана—Морген-
штерна с квадратичной элементарной функцией полезности. Он обладает некоторым бо-
гатством ? и может формировать портфель из активов со следующими характеристиками
(ожидаемая доходность, среднеквадратическое отклонение доходности): (r0, ?0) = (1, 0)
(безрисковый актив с возможностью кредита), (r1, ?1) = (0,9; 0,1), (r2, ?2) = (1,1; 0,2). Риско-
- -
ванные активы жестко отрицательно коррелированы (с коэффициентом –1). Что можно
сказать о структуре рисковой части оптимального портфеля? Поясните словами и графи-
чески.


40. В модели Марковица инвестор со строгим неприятием риска выбирает какую долю
капитала оставить в безрисковой форме с доходностью r0 а сколько вложить в рискован-
ные активы (акции) двух типов со средними доходностями -1 > r0, -2 > r0. Могут ли какие-
r r
либо условия на коэффициент корреляции ? и (или) доходности гарантировать, что

<< Предыдущая

стр. 64
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>