<< Предыдущая

стр. 65
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(A) все три актива войдут в портфель;
285
286
(B) только первый из рискованных активов войдет в портфель;
(C) только два рискованных актива войдут в портфель?


41. Пусть в модели Марковица инвестор, обладающий капиталом 1 млн. долл. делает вы-
бор между тремя активами: один безрисковый с доходностью r0 = 1,1, а другие два — с
доходностями -1 = 1,2 и -2 = 1,5 соответственно и дисперсиями доходностей ?1 = ?2 = 1. Из-
2 2
r r
вестно, что инвестор выбрал портфель, характеризующейся доходностью rP = 1,27 и дис-
персией доходности ?P = 0,17. Доходность рискованной части его портфеля равна
2

rR = 1,44.
(1) Найдите суммы, вложенные инвестором в каждый из активов.
(2) Найдите дисперсию доходности рискованной части портфеля этого инвестора.
(3) Найдите коэффициент корреляции доходностей двух рискованных активов.


42. В модели Марковица инвестор сталкивается с двумя рискованными активами с харак-
теристиками ?1 = 4, -1 = 2, ?2 = 1, -2 = 11/2, где ?k — дисперсия доходности k-го актива, а -k
2 2 2
r r r
— ожидаемая доходность, и с одним безрисковым активом с доходностью r0 = 1. Известно,
что инвестор выбрал такой портфель, что его рискованная часть имеет характеристики ?R
2

= 8/3, -R = 12/3, а сам оптимальный портфель имеет ожидаемую доходность -P = 12/3.
r r
Найдите дисперсию доходности оптимального портфеля. Найдите доли активов в опти-
мальном портфеле. Найдите величину корреляции между доходностями двух рискован-
ных активов.


43. В модели Марковица—Тобина полезность инвестора насыщается при доходности рав-
ной 1,6. Имеются два вида активов: акции с параметрами риск-доходность (?1, -1) = (2; 1,2)
r
и облигации с параметрами (?2, -2) = (1; 1,4), причем они некоррелированы. Будет ли стро-
r
го возрастать или убывать доля облигаций в рисковой (рыночной) части портфеля инве-
стора по мере роста доходности безрискового актива от r0 = 1 до r0 = 2?
(A) Нарисовать ее приблизительный график и объяснить ход рассуждений, можно с по-
мощью графиков.
(B) Вывести функциональную зависимость.


44. В модели Марковица—Тобина полезность инвестора насыщается при доходности рав-
ной 1,7. Имеются два вида активов – акции с параметрами риск-доходность (?1, -1) = r
(1; 0,8) и облигации с параметрами (?2, -2) = (1; 1,4), причем они отрицательно коррели-
r
рованы с коэффициентом –1. Будет ли строго возрастать или убывать доля облигаций в
портфеле инвестора по мере роста доходности безрискового актива от r0 = 1 до r0 = 2?
(A) Нарисовать ее приблизительный график и объяснить ход рассуждений, можно с по-
мощью графиков.
(B) Вывести функциональную зависимость.


45. В модели Марковица—Тобина полезность инвестора насыщается при доходности рав-
ной 1,8. Имеются два вида активов – акции с параметрами риск-доходность (?1, -1) =
r

286
287
(2; 1,4) и облигации с параметрами (?2, -2) = (1; 1,3), причем они положительно коррели-
r
рованы с коэффициентом 1. Будет ли строго возрастать или убывать доля акций в портфе-
ле инвестора по мере роста доходности безрискового актива от r0 = 1 до r0 = 2?
(A) Нарисовать ее приблизительный график и объяснить ход рассуждений, можно с по-
мощью графиков.
(B) Вывести функциональную зависимость.


46. (Очень осторожный инвестор).
Некий инвестор всегда предпочитает активы с меньшим риском (дисперсией) вне зависи-
мости от ожидаемой доходности. Пусть он составляет портфель из двух активов с ожи-
даемыми полезностями -1 и -2 и дисперсиями доходности ?1 и ?2. В какой пропорции вой-
2 2
rr
дут в портфель эти активы, если они ...
(1) жестко положительно коррелированны (коэффициент корреляции равен ?12 = 1),
(2) некоррелированы (?12 = 0),
(3) строго отрицательно коррелированы (?12 = –1).


47. На отрезке в ряд расположены четыре предприятия:

1 2 3 4
Время от времени происходит стихийное бедствие, которое сокращает прибыли на двух
соседних предприятиях наполовину. Без учета этого прибыль на всех предприятиях оди-
накова. Вероятность стихийного бедствия для каждой пары предприятий, (1, 2), (2, 3),
(3, 4), одинакова. В какой пропорции распределит свой капитал между акциями этих
предприятий инвестор с квадратичной элементарной функцией полезности?


48. Покажите, что если инвестору доступны два рискованных актива (r1, ?1), (r2, ?2), до-
- -
ходности которых некоррелированны, и выполнено -1< -2, то оптимальный портфель обя-
rr
зательно содержит 2-й актив. Покажите, что условие некоррелированности активов суще-
ственно для справедливости этого утверждения, приведя соответствующий контрпример.


49. Покажите в явном виде, что если инвестору доступны два рискованных актива (r1, ?1),
-
(r2, ?2), доходности которых некоррелированны, и безрисковый актив, и выполнено -1< -2,
- rr
то оптимальный портфель содержит 1-й актив тогда и только тогда, когда r0 < -1. Покажи-
r
те, что условие некоррелированности активов существенно для справедливости этого ут-
верждения, приведя соответствующий контрпример.

Задачи к главе

50. Имеются два вида активов — облигации и акции. Их доходности, зависящие от пред-
полагаемого состояния экономики, приведены в таблице:
Состояние Вероятность Доходность Доходность
экономики события облигаций акций

287
288
Спад 2/3 1,1 1,0
Норма 2/3 1,4 1,6
Подъем 2/3 1,7 2,2
Кредит невозможен. Элементарная функция полезности инвестора равна u(x) = 4x – x2.
(А) Найдите оптимальную структуру инвестиционного портфеля методом максимизации
функции полезности фон Неймана—Моргенштерна.
(Б) Найдите оптимальную структуру инвестиционного портфеля методом модели Марко-
вица—Тобина.
(В) Найдите оптимальную структуру инвестиционного портфеля методом модели Марко-
вица—Тобина, если дополнительно существует безрисковый актив с доходностью 1,3.




288
289


6. Рынки в условиях неопределенности
В этом параграфе мы рассматриваем модели общего равновесия (обмена) с контингент-
ными благами в предположении, что существует конечное множество таких благ, а, сле-
довательно, и состояний мира. Участники обмена при этом имеют собственные (возможно
неверные) представления о вероятностях возможных состояний мира. Частным случаем
этой ситуации является рынок, где представления всех участников о вероятностях совпа-
дают. Заметим, что часто полученные результаты не зависят от того, являются ли эти
представления верными или ошибочными.

Модель Эрроу экономики с неопределенностью
Как и прежде, будем предполагать, что имеется m потребителей (i ? I = {1, ..., m}) и l то-
варов (k ? K = {1, ..., l}). S = {1, ..., s} — множество всех возможных состояний мира.
^
Условно можно представить, что рассматриваются два момента времени — «сегодня» и
«завтра». Предполагается, что сегодня заключаются сделки и уравновешиваются рынки, а
выполняться сделки будут завтра, когда выяснится, какое из состояний мира реализуется.
Напомним, что контингентным благом (k, s) является контракт, заключаемый сегодня и
гарантирующий поставку единицы товара k ? K завтра в том случае, если реализуется
состояние s ? S.
Цену такого контингентного блага обозначим pks, а его количество, приобретаемое потре-
бителем i — xiks. Таким образом, потребительский набор в данной модели характеризуется
вектором xi = {xiks}ks ?   ^. Заметим, что контингентное благо покупается и оплачивается
ls


сегодня, когда неизвестно, какое состояние мира реализуется.
Как и прежде, будем предполагать, что в каждом из состояний мира s ? S потребитель i
обладает начальными запасами ?is ?   . Таким образом, начальные запасы ?i = {?iks}ks по-
l


требителя i состоят из наборов контингентных благ.
Будем рассматривать здесь только экономику без производства (экономику обмена). По-
требители обмениваются между собой только имеющимися у них контингентными блага-
ми и заключают сделки в рамках бюджетного ограничения. Каждый из потребителей мак-
симизирует в рамках такого ограничения свою функцию полезности Ui(xi).
Напомним, что задача потребителя имеет вид
Ui(xi) > max x i



¤ ¤ pksxiks < ¤ ¤ pks?iks, (1)
s?Sk?K s?Sk?K
xis ? Xi ?s ? S.
Соответствующую экономику назовем экономикой Эрроу. Выполнение балансов в этой
экономике требуется для каждого из состояний мира s ? S отдельно. Т.е. состояние эко-
номики Эрроу допустимо, если для каждого блага и каждого состояния мира выполнен
баланс:

¤xiks = ¤?iks, ?k ? K, ?s ? S.
i?I i?I

Кроме того, как и ранее, для допустимости состояния экономики требуется допустимость
наборов всех потребителей:
xis ? Xi, ?s ? S, ?i ? I.

289
290
Определение общего равновесия остается прежним.

Определение 1.
-
Назовем (p, x) равновесием Эрроу—Дебре экономики Эрроу, если
-
1) xi — решение задачи потребителя (1) при ценах p.
-
2) x — допустимое состояние, т.е.

¤ xiks = ¤ ?iks, ?k ? K, ?s ? S.
-
i?I i?I



Несложно понять, что такая модель рынка ничем не отличается от классической, с точно-
стью до способа спецификации благ (k, s). Этот факт можно использовать для доказатель-
ства теорем благосостояния для равновесия Эрроу—Дебре.

Теоремы благосостояния для экономики Эрроу
В этом параграфе мы получим аналог двух теорем благосостояния, характеризующих
свойства равновесия в терминах Парето-эффективности. При определении Парето-
эффективности в данной экономике мы сталкиваемся с проблемами, связанными с воз-
можными ошибками при оценке вероятностей состояний мира.
Заметим, что понятие (и определение) Парето-оптимального состояния такой экономики
зависит от способа оценивания возможных потребительских наборов и, в конечном итоге,
от оценок вероятностей состояний мира. В дальнейшем мы будем использовать два таких
понятия. Первое, аналогичное классическому определению, основывается на функциях
полезности потребителей, полученных при оценках состояний мира, приписываемых этим
состояниям данными потребителями (функциях Ui(xi)). Второе основывается на истин-
ных значениях вероятностей состояний мира.

Определение 2.
^ ^ ^
Допустимое состояние экономики Эрроу x = (x1, ..., xm) называется (субъективно) Паре-
` ` `
то-оптимальным, если не существует другого допустимого состояния x = (x1, ..., xm), та-
кого что Ui(xi) < Ui(xi), причем хотя бы для одного потребителя неравенство строгое.
^ `


Альтернативное определение мы дадим только для случая, когда предпочтения описыва-
ются функцией Неймана—Моргенштерна.

Определение 3.
Пусть функции полезности всех потребителей в экономике Эрроу имеют вид Неймана—
Моргенштерна с субъективными вероятностями:

Ui(xi) = ¤ µisui(xis),
s?S

и µi — объективные вероятности состояний мира.
^ ^ ^
Допустимое состояние экономики Эрроу x = (x1, ..., xm) называется (объективно) Паре-
` ` `
то-оптимальным, если не существует другого допустимого состояния x = (x1, ..., xm), та-
кого что

¤ µsui(xis) > ¤ µsui(xis),
` ^
s?S s?S

причем хотя бы для одного потребителя неравенство строгое.
290
291

Различие двух определений связано только с корректировкой возможных ошибок в оценке
вероятностей состояний мира потребителями.
В этом параграфе мы будем исходить из первого (субъективного) определения оптималь-
ности. При использовании этого определения для экономики Эрроу выполнены аналоги

<< Предыдущая

стр. 65
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>