<< Предыдущая

стр. 66
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Теорем благосостояния при стандартных предположениях. В то же время, очевидно, что
при использовании второго («объективного») определения оптимальности, аналоги Тео-
рем благосостояния при тех же предположениях в общем случае не выполнены.

Теорема 1.87
-
Пусть (p, x) — равновесие Эрроу—Дебре экономики Эрроу, причем предпочтения по-
-
требителей локально ненасыщаемы. Тогда x — Парето-оптимальное состояние.
^
Пусть x — внутреннее Парето-оптимальное состояние экономики Эрроу. Предположим
также, что предпочтения потребителей выпуклы, непрерывны и локально ненасыщаемы.
^
Тогда существуют цены p, такие что (p, x) является равновесием Эрроу—Дебре при не-
котором распределении собственности ?i.

Доказательство.
Перенумеруем контингентные блага: (k, s) > k?.
^
После такой операции получаем классическую модель Вальраса с l?s «обычными» блага-
ми, в которой выполнены предположения первой и второй теорем благосостояния.
*
Один из возможных способов нумерации контингентных благ иллюстрирует Таблица 1.
Oaaeeoa 1. Eee?no?aoey ioia?aoee eiioeiaaioiuo aeaa
s
1 2 3 4
1 4 7 10
1
2 5 8 11
2
k
3 6 9 12
3


Свойства равновесий Эрроу—Дебре и Парето-оптимальных
состояний в экономике Эрроу с функциями полезности
Неймана—Моргенштерна
Мы рассмотрим в данном параграфе, какие черты специфический вид функции полезно-
сти Неймана—Моргенштерна (линейность по вероятностям и постоянство элементарных
функций полезности по состояниям мира) накладывают на равновесия и Парето-
оптимальные состояния.
Пример 1.
Рассмотрим экономику, в которой есть одно благо (деньги), два потребителя, и два со-
стояния мира: R (дождь), и S (солнечная погода). Потребители обладают начальными за-

87
Заметим, что в случае, когда предпочтения потребителей представимы функцией полезности Неймана-
Моргенштерна, ненасыщаемость предпочтений гарантируется монотонностью элементарной функции по-
лезности, непрерывность — непрерывностью элементарной функции полезности, выпуклость — ее вогнуто-
стью.

291
292
пасами ?1 = (1, 3), ?2 = (3, 1) контингентных благ. Т.е., первый потребитель, если обмен не
происходит, может рассчитывать на 1 при дожде и на 3 при солнце, а второй — наоборот.
Пусть оба считают, что вероятности состояний R и S равны µR = 0.25 и µS = 0.75 соответст-
венно, и имеют одинаковые элементарные функции полезности ui(x)= ln(x). Тогда функ-
ции полезности потребителей имеют вид:
Ui = 0,25 ln(xiR) + 0,75 ln(xiS), i = 1, 2.
Описанная экономика представляет собой типичный пример «ящика Эджворта», только
интерпретация переменных специфическая. Здесь речь идет не об обмене обычными
(«физическими») благами, а об обмене рисками.
Дифференциальная характеристика Парето-оптимума имеет вид
?U1/?x1R 0,25 x1S ?U2/?x2R 0,25 x2S
,
= = =
?U1/?x1S 0,75 x1R ?U2/?x2S 0,75 x2R
откуда
x1Sx2R = x1Rx2S.
В Парето-оптимуме также должны выполняться балансы:
x1R + x1S = 4,
x2R + x2S = 4.
Отсюда получаем следующее уравнение границы Парето в координатах (x1R, x1S):
x1S(4 – x1R) = x1R(4 – x1S)
или
x1S = x1R.
Следовательно, граница Парето совпадает с диагональю ящика Эджворта.
Найдем теперь равновесие. Его дифференциальная характеристика имеет вид:
?U1/?x1R 0,25 x1S pR
=,
=
?U1/?x1S 0,75 x1R pS
?U2/?x2R 0,25 x2S pR
=.
=
?U2/?x2S 0,75 x2R pS
Равновесие удовлетворяет соотношениям для Парето-оптимальных состояний, то есть, как
и предсказывает Теорема 1, равновесие лежит на границе Парето. Таким образом, в рав-
новесии x1S = x1R.
Учитывая это соотношение, получим из дифференциальной характеристики равновесия,
что отношение цен в двух состояниях мира равно
pR 0,25 1
pS = 0,75 = 3.
Таким образом, можно выбрать pR = 1, pS = 3.
Поскольку предпочтения потребителей монотонны, то бюджетные ограничения в равно-
весии выходят на равенство. Для 1-го потребителя
pRx1R + pSx1S = pR + pS?3,
т.е.
x1R + 3x1S = 1 + 3?3 = 10.
292
293
- -
Поскольку x1S = x1R, то x1S = x1R = 2,5.
- -
Учитывая балансы, x2S = x2R = 1,5.
?
x1S
x2R

?
-
x




x1R

x2S

?enoiie 71. Eee?no?aoey e I?eia?o 1
В приведенном примере в любом Парето-оптимальном состоянии (а значит, и в равнове-
сии) потребление обоих потребителей не зависит от состояния мира. Другая его примеча-
тельная особенность состоит в том, что отношение цен для двух состояний мира оказалось
пропорциональным отношению вероятностей этих состояний. Оказывается, эти законо-
мерности верны и в более общих случаях, когда, как и в данном примере, суммарные за-
пасы не зависят от состояний мира. Покажем это.

Определение 4.
Будем говорить, что в экономике Эрроу отсутствует системный риск, если
¤i ?iks = ¤i ?ikt, ?k ? K, ?s, t ? S.


Теорема 2.
Пусть в экономике Эрроу системный риск отсутствует, предпочтения потребителей ха-
рактеризуются функциями полезности Неймана—Моргенштерна с одинаковыми оцен-
ками вероятностей состояний мира и строго вогнутыми элементарными функциями по-
лезности, заданными на выпуклых множествах допустимых наборов Xi. Тогда в любом
^
Парето-оптимальном состоянии экономики x потребление каждого потребителя не зави-
сит от состояния мира (т.е. отсутствует индивидуальный риск):
xiks = xikt, ?i ? I, ?k ? K, ?s, t ? S.
^ ^
Доказательство.
Пусть в равновесии для какого-либо потребителя j данное свойство не выполнено, напри-
мер, xjks ? xjkt. Тогда допустимое состояние экономики x*, такое что
^ ^
x*ks = ¤t?S µtxikt
^
i

^
является Парето-улучшением для состояния x, что противоречит Парето-оптимальности
^
x.
Проверим, что состояние x* является допустимым.

¤x*ks = ¤¤µtxikt = ¤µt¤xikt = ¤µt¤?ikt = ¤?ikt.
^ ^
i
i?I i?I t?S t?S i?I t?S i?I i?I




293
294
где в последнем равенстве мы воспользовались тем, что ¤i ?ikt не зависит от состояния
мира и сумма вероятностей состояний мира равна 1.
Проверим теперь, что x* является Парето-улучшением. Заметим, что для любого потреби-
теля x* является безрисковым набором, поэтому
i


Ui(x*) = ¤ µsui(x*s) = ui(x*s)¤ µs = ui(x*s)
i i i i
s?S s?S

Для произвольного потребителя i по определению x*ks и неравенству Йенсена
i


Ui(x*) = ui(x*s) = ui(¤µtxit) > ¤ µsui(xis) = Ui(xi).
^ ^ ^
i i
t?S s?S

Для потребителя j неравенство здесь строгое.
*

Теорема 3.
Пусть в экономике Эрроу системный риск отсутствует, и предпочтения потребителей
характеризуются функциями полезности Неймана—Моргенштерна с одинаковыми оцен-
ками вероятностей состояний мира и возрастающими строго вогнутыми элементарными
-
функциями полезности. Тогда в равновесии Эрроу—Дебре (p, x) выполнено.
(i) Потребление каждого потребителя не зависит от состояния мира:
xiks = xikt, ?i ? I, ?k ? K, ?s, t ? S.
- -
(ii) Если, дополнительно, в равновесии потребительский набор хотя бы одного потреби-
теля является внутренним88, элементарные функции полезности дифференцируемы, то
отношение цен на одно и то же «физическое» благо в двух разных состояниях мира рав-
но отношению вероятностей этих состояний:
pks µs
pkt = µt, ?k ? K, ?s, t ? S.


Доказательство.
(i) Отсутствие индивидуального риска (xis = xit, ?s, t ? S) следует из первой теоремы бла-
--
госостояния и Теоремы 2.
(ii) Для потребителя i, набор которого является внутренним, выполнена дифференциаль-
ная характеристика
?-
µsuik(xis) pks
= , ?k ? K, ?s, t ? S,
?-
µtuik(xit) pkt
--
Как только что доказано, в равновесии xis = xit, откуда и следует требуемое соотношение.
*
Если в экономике есть системный риск, то приведенные свойства не выполняются. Одна-
ко, равновесия и в этом случае обладают некоторыми общими свойствами. В частности,
если благо одно, состояний мира два и потребителя два, то граница Парето проходит в

88
Это условие выполнено, например, если Xi состоят из неотрицательных векторов, и суммарные начальные
запасы любого блага положительны. Поскольку суммарные начальные запасы положительны, то в равнове-
сии всегда существует потребитель i, который предъявляет спрос на некоторое благо k в каком-то из со-
стояний мира, а, следовательно, и во всех состояниях мира. и этого блага

294
295
промежутке между двумя биссектрисами соответствующего ящика Эджворта (который в
этом случае будет неквадратным), т.е. потребление в относительно «скудном» состоянии
мира должно быть относительно низким. То же самое верно и для равновесия, которое по
первой теореме благосостояния должно лежать на границе Парето. Кроме того, цена для
более «скудного» состояния относительно выше. Действительно, в равновесии выполня-
ется
µR u?(xiR) pR
i-
= , i = 1,2.
µS u?(xiS) pS
-
i

Если приравнять друг к другу предельные нормы замещения двух потребителей, учитывая
балансы, то вероятности сократятся:
?- ? -
u1(x1R) u2(??R – x1R)
= .
?- ? -
u1(x1S) u2(??S – x1S)
?-
Пусть ??R < ??S. Докажем, что x1R < x1S. Если бы было выполнено x1R > x1S, то u1(x1R) <
- - - -
?-
u1(x1S), поскольку предельная полезность для рискофоба — убывающая функция. Отсюда
следует, что
? ?
u2(??R – x1R) < u2(??S – x1S),
- -
и что ??R – x1R > ??S – x1S. Получили противоречие. Таким образом, x1R < x1S. Аналогично
- - - -
- -
доказывается, что x2R < x2S.
Доказанное верно и для границы Парето, поскольку дифференциальные характеристики
равновесий и Парето-оптимальных состояний совпадают.
- -

<< Предыдущая

стр. 66
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>