<< Предыдущая

стр. 67
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Кроме того, из xiR < xiS и дифференциальной характеристики решения задачи потребителя
следует, что
µR µR u?(xiR) pR
i-
< =.
µS µS u?(xiS) pS
i-


x1S

x2R
?
-
x




x1R

x2S

?enoiie 72. Ia?aoi-a?aieoa e ?aaiiaanea a oneiaeyo nenoaiiiai ?enea
Рассмотрим теперь на примере свойства равновесия в случае, когда один из потребителей
нейтрален к риску.
Пример 2.
Пусть функции полезности потребителей имеют вид:
U1(x1) = µR x1R + µS x1S,
U2(x2) = µR ln(x2R) + µS ln(x2S).
295
296
Первый из потребителей здесь нейтрален к риску, а второй — рискофоб.
Дифференциальная характеристика границы Парето имеет следующий вид:
µR µRx2S
,
=
µS µSx2R
откуда x2S = x2R. Это соотношение выполнено только на внутренней части границы Паре-
то. Оно означает, что соответствующая часть границы является биссектрисой положи-
тельного ортанта системы координат 2-го потребителя. Это же свойство должно выпол-
няться и для любого внутреннего равновесия. Содержательно это означает, что нейтраль-
ный к риску 1-й потребитель полностью застрахует 2-го потребителя-рискофоба.
В предположении о допустимости неотрицательных (для второго потребителя — положи-
тельных) количеств благ, граница Парето «загибается» в месте пересечения с одной из
осей координат 1-го потребителя.
?
x1S

x2R




x1R

x2S

?enoiie 73. Ia?aoi-a?aieoa a neo?aa, eiaaa ia?aue iio?aaeoaeu iaeo?aeai e
?eneo
Гипотезы µis разных участников i торговли о вероятностях состояний мира s ? S не обяза-
ны совпадать. Это не мешает торговле, а иногда и создает условия для нее. Пример этого
получим, изменив параметры экономики, рассмотренной в Примере 1.
Пример 3. (Пари)
Пусть функции полезности потребителей имеют вид:
U1(x1) = 0,25 ln(x1R) + 0,75 ln(x1S),
U2(x2) = 0,75 ln(x2R) + 0,25 ln(x2S).
Первый потребитель считает второе событие в три раза вероятнее первого; второй — на-
оборот. Начальные запасы одинаковые для обоих: ?i = (2, 2). Равновесие в этой модели
единственно, равновесные цены, соответствующие разным состояниям природы, совпа-
- - - -
дают между собой: pR = pS. Равновесные распределения: x1R = x2S = 1; x1S = x2R = 3. Данный
пример можно интерпретировать в том смысле, что потребители, имея разные представ-
ления о вероятностях состояний мира, заключают между собой пари. Несмотря на то, что
отсутствует риск с точки зрения начальных запасов, обмен будет происходить (равновесие
не совпадает с точкой начальных запасов), в результате чего в равновесии потребители
сталкиваются с индивидуальным риском.
Отношение цен блага в двух состояниях мира будет лежать в промежутке между отноше-
ниями вероятностей:


296
297
0,25 1 0,75
0,75 < 1 < 0,25,
т.е.
µ1R pR µ2R
<<.
µ1S pS µ2S
Уравнение субъективной границы Парето здесь будет иметь вид
9x1R
x1S = 1 + 2x .
1R

Таким образом, субъективная Парето-граница (ее внутренняя часть) проходит выше диа-
гонали-биссектрисы.
В этой модели условием (субъективно) взаимовыгодной торговой сделки является разли-
чие в оценках вероятностей реализации различных состояний мира. В то же время, по-
скольку первоначальное состояние вне зависимости от истинных вероятностей состояний
мира (объективно) Парето-оптимально (так как нет системного риска, и начальные запасы
лежат на диагонали ящика Эджворта), этот обмен ведет к ухудшению реального благосос-
тояния по крайней мере одного потребителя. Таким образом, на этом примере очевидно
различие между «субъективным» и «объективным» определениями границы Парето.
x1S
x2R
-
x


?


x1R

x2S

?enoiie 74. Eee?no?aoey e I?eia?o 3
?

Задачи
1. В экономике распределения с риском имеется два потребителя с функциями полезности
Неймана—Моргенштерна, один товар и два состояния мира — A и B, случающиеся с рав-
ными вероятностями. Элементарные функции полезности равны u1 = – exp(–x1) и u2 = –
exp(–2x2) соответственно. Общие начальные запасы в экономике равны (4; 7). Найти
Парето-оптимум и равновесие, если доходы обоих равны 10.


2. В экономике имеется два потребителя, одно физическое благо и n состояний мира.
Элементарные функции полезностей потребителей одинаковы и имеют вид ui(x) = x, i =
1, 2. Начальные запасы первого потребителя равны ?1s = s, а второго — ?2s = n + 1 – s. Веро-
ятности состояний мира
(a) одинаковы, т.е. µs = 1/n;
(b) пропорциональны номеру состояний, т.е. µs = ?s, где


297
298
2
? = n(n+1).

Найдите равновесие Эрроу-Дебре в обоих случаях, (a) и (b). Напомним, что
n
n(n+1) n 2 n(n+1)(2n+1)
¤s = 2 , ¤s = .
6
s=1 s=1




3. В ситуации предыдущей задачи элементарные функции полезностей потребителей оди-
наковы и имеют вид u1(x) = x, u2(x) = x. Начальные запасы первого потребителя равны
?1s = n, а второго — ?2s = s. Найдите равновесие Эрроу-Дебре в тех же случаях (a) и (b).


4. (A) Покажите, что в модели Эрроу с единственным физическим благом внутреннее рав-
новесие единственно, если предпочтения каждого потребителя представимо функцией
полезности Неймана-Моргенштерна (с дифференцируемой элементарной функцией по-
лезности).
(B) Как измениться результат, если отказаться от предположения дифференцируемости
элементарной функции полезности?
(C) Как измениться результат, если отказаться от предположения о том, что равновесие
внутреннее?

Равновесие Раднера в экономике Эрроу
То, что для равновесия Эрроу—Дебре в экономике с Риском верны аналоги теорем благо-
состояния, противоречит интуиции. Известно, что неполнота информации все же пред-
ставляет проблемы для рынков в реальной жизни. Что-то в сформулированной модели
должно быть не так. Одним из объяснений может служить различие в субъективных оцен-
ках вероятности (неравномерность распределения информации между экономическими
субъектами). Однако это объяснение недостаточно.
Очевидно, что модель нереалистична. Нереалистична она не потому, что в ней фигуриру-
ют понятия «сегодня», «завтра» и «контингентные блага». Ту же самую модель можно
интерпретировать достаточно широко, в зависимости от конкретной ситуации. Основное
нереалистичное предположение данной модели — это наличие полной системы рынков.
Это заранее заложено в формулировке модели в виде единого бюджетного ограничения.
Содержательно полнота рынков означает, что каждый потребитель может поменять лю-
бой товар при любом состоянии мира на любой другой товар в любом другом состоянии
мира, неважно, непосредственно или с помощью цепочки обменов. Рынок с неопределен-
ностью может стать несовершенным, если невозможно обменять ни одно благо в каком-
либо состоянии s1 ни на одно благо в другом состоянии s2. Такое может быть, если по ка-
ким-либо причинам не заключаются соответствующие контракты условные по состояниям
мира. При этом бюджеты потребителей уже не будут едиными. Потребители тогда имеют
отдельные бюджеты в зависимости от состояния мира.
^
Пусть C = {1, ..., c} — активы, имеющие хождение в рассматриваемой экономике (в равной
степени доступные всем потребителям). Каждый актив c ? C характеризуется матрицей
доходностей89 ac = {aksc}ks, где aksc — количество k-го блага, которое дает этот актив в слу-



89
Это доходности в натуральном выражении (в физических количествах благ). Соответствующие денежные
доходности рассчитываются по формуле:

298
299
чае, если во 2-м периоде произойдет состояние мира s. Будем предполагать, что доход-
ность актива не зависит от того, кто им владеет, т.е. коэффициенты aksc одинаковы для
всех потребителей. Цену этого актива обозначим qc, а его количество, приобретаемое i-м
потребителем — zic. Ограничений на знак величин zic не накладывается. Случай zic < 0
можно интерпретировать в том смысле, что потребитель эмитирует соответствующий ак-
тив в количестве |zic| (либо берет соответствующий кредит). В предположении, что
- потребитель принимает цены как данные,
- в 1-м периоде происходит только обмен активами (обмен «физическими» благами и по-
требление в модели Раднера происходят во 2-м периоде),
- начальные запасы активов любого типа у любого потребителя равны нулю90,
бюджетное ограничение 1-го периода имеет вид

¤ qczic < 0.
c?C

Во 2-м периоде, после осуществления некоторого состояния мира s ? S, происходит обмен
благами с учетом обязательств по активам, приобретенным в 1-м периоде. Соответствую-
щее бюджетное ограничение 2-го периода для каждого состояния мира имеет вид:

¤ pksxiks < ¤ pks?iks + ¤ ¤ pksaksczic.
k?K k?K c?Ck?K

Это бюджетное ограничение можно записать также в следующем виде:

¤ pksxiks < ¤ pks?iks,
@
k?K k?K

где ?iks — новые начальные запасы, учитывающие чистые обязательства портфеля акти-
@
вов, приобретенных в первом периоде, рассчитываемые по формуле

?iks = ?iks + ¤ aksczic.
@
c?C

Будем предполагать, что активы служат только для передачи покупательной способности
между различными состояниями мира (мы обсудим ниже эту их функцию) и не влияют на
уровень благосостояния потребителя, поэтому, как и ранее, будем считать, что предпоч-
тения описываются функцией полезности, зависящей лишь от объемов потребления в раз-
личных состояниях мира, Ui(xi).
Если бы потребитель в первом периоде, планируя свой портфель активов в первом перио-
де, знал, в дополнение к ценам активов q, и цены благ p в различных состояниях мира,
то, в соответствии с предположением о его предпочтениях, он выбрал бы портфель акти-
вов и планы потребления в различных состояниях мира, которые были бы решением сле-
дующей задачи:



¤k pksaksc psasc
=q.
rsc = qc c

Заметим, что при интерпретации доходностей rsc следует учитывать, что в модели Раднера денежные едини-
цы 1-го периода не сопоставимы с денежными единицами 2-го периода. Более того, они не сопоставимы
между разными состояниями мира s 2-го периода.
90
Это предположение не влияет на анализ модели, но несколько упрощает описание модели и соответст-
вующие выкладки.

299
300
Ui(xi) > maxx ,z ,i i



¤ qczic < 0, (2)
c?C

¤ pksxiks < ¤ pks?iks + ¤ ¤ pksaksczic, ?s ? S,
k?K k?K c?Ck?K
xi ? Xi.
Однако в первый период цены p второго периода ему неизвестны. Поэтому, чтобы сфор-

<< Предыдущая

стр. 67
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>