<< Предыдущая

стр. 68
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

мировать портфель активов в 1-м периоде, потребитель должен сформировать некоторые
e
ожидания pi по поводу цен 2-го периода во всех состояниях мира, поскольку ценность его
портфеля зависит от будущей конъюнктуры. В модели Раднера предполагается, что эти
ожидания оправдываются, т.е. во 2-м периоде на рынках благ обмен фактически происхо-
дит по ценам, которые ожидались в 1-м периоде при формировании портфеля.
Сказанное мотивирует следующее определение равновесия:

Определение 5.
e
-- ---
Назовем (p, {pi }i?I, q, x, z) равновесием Раднера экономики Эрроу, если
e
-- --
1) (xi, zi) — решение задачи потребителя (2) при ценах pi и q.
2) Выполнены балансы по активам:

¤-ic = 0, ?c?C.
z
i?I
e
--
3) Ожидания потребителей оправдываются: pi = p.
-
4) x — допустимое состояние, т.е.

¤ xiks = ¤ ?iks, ?k ? K, ?s ? S.
-
i?I i?I



Поскольку в равновесии ожидания оправдываются, то определение можно упростить, ес-
----
ли считать равновесием Раднера набор (p, q, x, z) и заменить ожидаемые цены на факти-
ческие. В дальнейшем мы всегда будем пользоваться этим сокращенным обозначением.
Таким образом, в модели (равновесии) Раднера мы отказывается от одного очень сильного
предположения модели Эрроу — полноты рынков контингентных благ, чтобы заменить
его другим (очень ограничительным) предположением, — что потребители способны
предвидеть будущие равновесные цены в любом возможном состоянии мира.
Как будет показано в дальнейшем, если это предположение дополнить предположением о
том, что множество доступных потребителям активов достаточно «богатое» (условие пол-
ноты рынков), то любое равновесие в этой модели будет Парето-оптимальным и любое
Парето-оптимальное состояние можно реализовать как такое равновесие. В то же время,
подход Раднера позволяет моделировать и приводящие к фиаско рынка ситуации, возни-
кающие, когда множество доступных потребителям активов является довольно «бедным»,
и, следовательно, Парето-оптимум может быть недостижим.
Для анализа равновесия Раднера можно воспользоваться понятием арбитража: где под
арбитражем понимаются изменения в портфеле активов с целью увеличить его доход-
ность (по крайней мере, в одном состоянии мира). Всюду в этой главе мы будем использо-
вать термин «арбитраж» в этом несколько специфическом смысле.



300
301
Под планом арбитража мы будем понимать вектор ?z = {?zc}c?C, характеризующий изме-
нения в портфеле активов типичного потребителя, zi. При таком изменении левая часть
бюджета первого периода (чистые расходы на покупку активов) рассматриваемого потре-
бителя изменится на величину q?z. Очевидно, что если q?z < 0 при данном векторе цен
активов q, то такой план арбитража не выводит за границы бюджетного множества 1-го
периода. Изменение дохода рассматриваемого потребителя в s-м состоянии мира, вызы-
ваемое данным планом арбитража ?z равно

¤ ¤ pksaksc?zc = psAs?z,
c?Ck?K

где As — матрица доходностей активов в состоянии мира s. Такой арбитраж имеет целью
получить во втором периоде по крайней мере в одном состоянии мира прирост дохода
потребителя (при том, что в остальных состояниях мира доход не уменьшится).

Определение 6.
Будем говорить, что в модели Раднера при ценах активов q, ценах благ p и доходностях
активов {aksc} арбитраж невозможен, если не существует такого плана арбитража ?z,
что q?z < 0, и для любого состояния мира s ? S выполнено

¤ ¤ pksaksc?zc > 0,
c?Ck?K

причем хотя бы для одного состояния мира неравенство строгое.

Если цены в модели Раднера таковы, что арбитраж возможен, то такая ситуация не может
быть равновесием. Сформулируем и докажем соответствующую теорему.

Теорема 4.
Пусть в экономике Эрроу предпочтения потребителей локально ненасыщаемы по по-
----
треблению в каждом из состояний мира, и (p, q, x, z) — равновесие Раднера в этой эко-
--
номике с некоторой системой активов. Тогда при ценах p, q и данной системе активов
арбитраж невозможен.

Доказательство.
Действительно, арбитраж означает, что возможно получить прирост дохода в одном из
состояний мира, что противоречит локальной ненасыщаемости.
*
Очевидно, что аналогом контингентных благ модели Эрроу в модели Раднера является
актив Эрроу, который дает право получить единицу k-го блага, если реализуется состоя-
ние мира s. Формально актив c является активом Эрроу для (k0, s0), если aksc = 1 при k = k0,
s = s0, и aksc = 0 при остальных k и s. Для таких активов удобно использовать обозначение
(k, s).
Перед тем, как обратиться к более общему случаю, рассмотрим подробнее частный слу-
чай, когда все активы в экономике являются активами Эрроу. В задаче потребителя бюд-
жетное ограничение 1-го периода:

¤ qksziks < 0.
(k,s)?C

Баланс активов в 1-м периоде:

301
302

¤ziks = 0, ?(k, s)?C.
i?I

Бюджетное ограничение 2-го периода:

¤ pksxiks < ¤ pks?iks + ¤ pksziks.
k?K k?K (k,s)?C


Oaaeeoa 2. I?eia? iii?anoaa C (ec ?aou?ao aeoeaia Y??io) a yeiiiieea n
^
aeoeaaie Y??io, l = 2, s = 3.
s
1 2 3
? ?
1
? ?
2
k

Заметим, что модель Эрроу можно рассматривать как частный случай модели Раднера.
Если в экономике есть все возможные активы Эрроу, т.е.
C = {(k, s) | k ? K, s ? S},
то модель Раднера — фактически другая формулировка модели Эрроу.
``
Действительно, из равновесия Эрроу—Дебре (p, x) легко сконструировать равновесие
----
Раднера (p, q, x, z). Для этого достаточно взять
pks = pks , -ks = pks , xiks = xiks , -iks = xiks – ?iks.
- `q `- `z `
Тогда обмены в первом периоде при заключении контрактов исчерпывают все возможные
выгоды обмена, и во второй период обменов не будет, поскольку ?iks = ?iks – -iks = xiks. Про-
@ `
z
верка этого факта предлагается в качестве упражнения.
Для доказательства обратного утверждения — что, если в экономике есть все возможные
активы Эрроу, то на основе равновесия Раднера можно сконструировать равновесие Эр-
роу—Дебре — требуется воспользоваться свойствами равновесия Раднера.
Если в экономике есть все возможные активы Эрроу, то в равновесии цены активов Эрроу
пропорциональны ценам контингентных благ. Действительно, предположим, что в равно-
весии Раднера все цены положительны, и пусть k1, k2 — два блага, а s — состояние мира,
такие что в равновесии цены активов Эрроу и цены благ не пропорциональны, например,
-- --
pk s/qk s > pk s/qk s.
1 1 2 2



Здесь k1 — относительно более дорогое благо, что позволяет осуществить арбитраж и по-
лучить дополнительный доход в состоянии мира s, включив в портфель несколько боль-
шее количество актива (k1, s) и несколько меньшее — актива (k2, s), и не нарушить при
этом бюджетное ограничение. Чтобы арбитраж был невозможен, равновесные цены
- -
должны быть такими, что для любого s вектора ps и qs были коллинеарны (пропорцио-
-- --
нальны), где ps и qs — части векторов p и q, соответствующие состоянию мира s.
Докажем это свойство в общем виде, не предполагая положительность цен в равновесии
Раднера, но при этом используя в доказательстве менее интуитивно очевидный план ар-
битража, чем только что предложенный.

Теорема 5.
Пусть в экономике Эрроу предпочтения потребителей локально ненасыщаемы по по-
----
треблению в каждом из состояний мира, и (p, q, x, z) — равновесие Раднера в этой эко-

302
303
номике с C = {(k, s) | k ? K, s ? S}. Тогда для любого состояния мира s ? S можно найти
коэффициент пропорциональности ?s > 0, такой что ps = ?sqs.
- -

Доказательство.
Рассмотрим одно из состояний мира s ? S. Из локальной ненасыщаемости следует, что
ps ? 0 и qs ? 0, откуда |qs| ? 0. Рассмотрим следующий план арбитража:
2
- - -
?zt = 0, t?s и ?zs = ps – ?sqs,
- -
где
--
psqs
?s = 2.
-
|qs|
Для этого плана выполнено q?z = qs?zs = 0. Поскольку арбитраж невозможен, то отсюда
- -
следует, что ps?zs = 0. Действительно, при ps?zs > 0 этот план арбитража позволяет увели-
- -
чить доход любого потребителя в состоянии мира s. Случай ps?zs < 0 сводится к случаю p
- -
s?zs > 0 изменением знака ?zs на противоположный.

Но если qs?zs = 0 и ps?zs = 0, то
- -
|ps – ?sqs| = (ps – ?sqs)?zs = ps?zs – ?sqs?zs = 0.
2
- - - - - -
т.е. ps = ?sqs.
- -
Докажем, что ?s > 0. Если это не так и ?s < 0, то psqs < 0, и следующий план арбитража:
--
?zt = 0, t?s и ?zs = ps,
-
удовлетворяет условиям q?z = qs?zs < 0 и ps?zs = |ps| > 0. Это противоречит невозможно-
2
- - - -
сти арбитража при равновесных ценах.
*
Заметим, что ключевое предположение модели Раднера — потребители, при расчете цен
активов, предвидят цены всех благ во всех состояниях мира — не является при этом су-
щественным, так как структура наблюдаемых ими в первом периоде цен активов совпада-
ет со структурой цен благ второго периода. Данное предположение становится сущест-
венным в ситуациях, когда какие-то активы Эрроу отсутствуют. Заметим также, что в этой
ситуации, даже в том случае, когда равновесие Эрроу—Дебре единственно, существует
бесконечно много равновесий Раднера с нетривиальными обменами во втором периоде в
дополнение к рассмотренному выше равновесию, когда обмены во втором периоде отсут-
ствуют.
Используя только что доказанное свойство равновесия Раднера с полным набором активов
Эрроу, продемонстрируем, что на основе такого равновесия можно сконструировать рав-
новесие Эрроу—Дебре.

Теорема 6.
Пусть в экономике Эрроу предпочтения потребителей локально ненасыщаемы по по-
----
треблению в каждом из состояний мира, и (p, q, x, z) — равновесие Раднера в этой эко-
номике с C = {(k, s) | k ? K, s ? S}. Тогда (q, x) — равновесие Эрроу—Дебре.
--


Доказательство.


303
304
----
Из предыдущей теоремы следует, что (q, q, x, z) — тоже равновесие Раднера в рассматри-
ваемой экономике. Складывая все бюджетные ограничения задачи i-го потребителя, убе-
ждаемся, что это при этом получится бюджетное ограничение задачи i-го потребителя в
модели Эрроу. Следовательно, эти две задачи эквивалентны91. Т.е. xi — решение задачи
-
-
потребителя в модели Эрроу при ценах q. Несложно проверить, что остальные условия
равновесия Эрроу—Дебре также выполнены.
*
Основное условие, гарантирующее эквивалентность моделей Эрроу—Дебре и Раднера, —
наличие возможности переносить покупательную способность из одного состояния мира в
другое. При этом вовсе не обязательно требовать, чтобы имелись все активы Эрроу. Для
того, чтобы эта возможность существовала, достаточно, в частности, чтобы имелись все
активы Эрроу, выраженные в 1-м благе, и только они (благо 1 — счетная единица, nu-
meraire):
C = {(1, s) | s ? S}.
Проанализируем равновесие Раднера с таким набором активов. При анализе удобно ис-
пользовать следующие обозначения: q1s = qs, zi1s = zis.
Заметим, что арбитраж в этой экономике возможен тогда и только тогда, когда qs и p1s
имеют разные знаки или же qs = 0 хотя бы для одного состояния мира s. Мы будем далее
предполагать, что 1-е благо нужно всем потребителям во всех состояниях мира, т.е. функ-
ции полезности строго возрастают по потреблению 1-го блага в каждом состоянии мира.

<< Предыдущая

стр. 68
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>