<< Предыдущая

стр. 69
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Тогда в равновесии Раднера p1s > 0 ?s ? S. При этом арбитраж возможет тогда и только
тогда, когда qs < 0 хотя бы для одного состояния мира s. Соответствующий план арбитра-
жа построить достаточно просто — он должен сводится к покупке актива Эрроу, соответ-
ствующего состоянию s. Невозможность арбитража эквивалентна условию q > 0.
Торговля в первом периоде в подобной экономике фактически означает, что продаются
или покупаются начальные запасы 1-го блага таким образом, чтобы во 2-м периоде, тор-
гуя скорректированными запасами, получить доход, достаточный для покрытия расходов,
`
связанных с приобретением равновесного потребительского набора x, соответствующему
равновесию Эрроу—Дебре. То есть торговля в первом периоде представляет собой «пере-
распределение покупательной способности» потребителя между состояниями мира с из-
быточной и недостаточной покупательной способностью.
Доказательства следующих двух теорем, проводящих параллели между равновесием Рад-
нера и равновесием Эрроу—Дебре, демонстрируют правильность такой интерпретации
равновесия Раднера при C = {(1, s) | s ? S}.

Теорема 7.
Пусть в экономике Эрроу функции полезности строго возрастают по потреблению 1-го
``
блага в каждом состоянии мира, и (p, x) — равновесие Эрроу—Дебре в этой экономике.
-
Тогда существует портфель активов Эрроу z, выраженных в 1-м благе, а также цены ак-
тивов q такие, что (p, q, x, z) — равновесие Раднера с C = {(1, s) | s ? S}.
- `-`-


Доказательство.



91
Мы пропустили здесь часть рассуждений (строгое доказательство эквивалентности), но их легко восста-
новить, пользуясь как образцом доказательствами теорем, приведенных далее в этом параграфе.

304
305
Возрастание функции полезности по первому благу гарантирует положительность цен
этого блага в равновесии Эрроу—Дебре в каждом состоянии мира (p1s > 0 ?s ? S).
`
` `
Дефицит, связанный с потреблением в состоянии мира xis потребительского набора xis , в
ценах p составляет величину dis = ps(xis – ?is). Тогда величину дефицита dis потребитель i
` ``
d
может покрыть, выбирая величину -is равной is . Такой выбор -is гарантирует, что вы-
z z
`
p1s
полнены бюджетные ограничения второго периода задачи потребителя i в модели Радне-
ра:
psxis = ps?is + p1s-is,
`` ` `z

Заметим, что выполняется соотношение ¤dis = 0 (бюджетное ограничение потребителя i в
s?S
модели Эрроу в равновесных ценах). Если выбрать в качестве цены актива (1, s) цену пер-
вого блага в состоянии мира s, т.е. -s = p1s, то соотношение ¤dis = 0 гарантирует выполне-
q`
s?S
ние бюджетного ограничения первого периода задачи потребителя i в модели Раднера.
`- `-
Таким образом, (xi, zi) — допустимое решение в задаче (2) при ценах p и q. Покажем, что
оно также является оптимальным решением. Предположим, что есть другое допустимое
``
решение задачи (2), (xi, zi), которое дает i-му потребителю более высокую полезность.
``
Так как (xi, zi) допустимо, то

¤p1szis < 0,
``
s?S
psxis < ps?is + p1szis.
`` ` ``
Сложив, получим

¤psxis < ¤ps?is,
`` `
s?S s?S

`
что означает, что xi — допустимое решение задачи (1), которое более предпочтительно
`
для потребителя, чем xi. Противоречие.
Проверим, что ?s?S выполнены балансы активов:
ps(xis – ?is) ps
`` `
d
¤-is = ¤ is = ¤ = ¤(xis – ?is) = 0.
p1s i?I `
z
i?I ` 1s ` `
p i?I p1s
i?I

Последнее равенство следует из балансов благ.
*
-`
Для обратного утверждения нельзя в общем случае взять p = p, поскольку в равновесии
-
Раднера цены ps в каждом состоянии мира s можно умножить на произвольный положи-
тельный множитель, и при этом рассматриваемое состояние останется равновесием. Та-
ким образом, требуется взять ps = ?sps , где ?s — некоторый положительный множитель.
` -

Теорема 8.
Пусть в экономике Эрроу функции полезности строго возрастают по потреблению 1-го
----
блага в каждом состоянии мира, и (p, q, x, z) — равновесие Раднера в этой экономике с
C = {(1, s) | s ? S}. Тогда существует вектор цен p, такой что (p, x) — равновесие Эр-
` `-
роу—Дебре.

305
306

Доказательство.
Возрастание функции полезности по первому благу гарантирует положительность цен
этого блага в равновесии Раднера в каждом состоянии мира. Кроме того, для каждого по-
требителя i выполнены (как равенства) бюджетные ограничения 1-го и 2-го периодов:

¤-s-is = 0,
qz
s?S
psxis = ps?is + p1s-is.
-` - z
`
Выберем ps следующим образом,
-s
q
` p-
ps = ps.
-1s
Тогда
psxis = ps?is + qs-is.
`` ` z
Складывая эти соотношения для всех состояний мира с бюджетным ограничением 1-го
`
периода, убеждаемся, что при ценах p выполняется бюджетное ограничение в модели Эр-
роу:

¤psxis = ¤ps?is.
`` `
s?S s?S

`
Таким образом, xi — допустимое решение задачи потребителя (1). Покажем, что оно яв-
ляется оптимальным.
`
Пусть это не так, и xi — другое допустимое решение задачи (1), с более высоким значени-
`
ем полезности. Так как xi допустимо, то

¤psxi < ¤ps?is.
`` `
s?S s?S

` ``
Тогда можно подобрать портфель активов, zi, такой что (xi, zi) — допустимое решение
задачи потребителя (2) в модели Раднера при ценах p и q. Для этого, как и в доказательст-
`
ве предыдущей теоремы, можно выбрать zis так, чтобы покрыть бюджетный дефицит в
d
соответствующем состоянии мира, dis = ps(xis – ?is), т.е. zis = is . При этом
-` `p
-1s
-s
q
¤-szis = ¤ p (x – ? ) = ¤p (x – ? )< 0,
q`
p1s -s ` is is s?S ` s ` is is
-
s?S s?S

т.е. выполнено бюджетное ограничение 1-го периода. Бюджетное ограничение 2-го пе-
`
риода выполнено в силу определения zis. Получили противоречие.
*
Пример 4.
Рассмотрим модель Раднера с двумя состояниями мира, s = R, S, двумя благами, k = A, B
двумя потребителями и возможными активами Эрроу, отмеченными в таблице. Они вы-
ражены в благе A.




306
307
s=R s=S
? ?
k=A
k=B

Ожидания потребителей по поводу вероятностей состояний мира совпадают и равны
µR = µS = 1/2.
Предпочтения потребителей также одинаковы и элементарные функции полезности рав-
ны:
ui(xA, xB) = ln(xA) + ln(xB), i = 1, 2.
Начальные запасы указаны в нижеследующей таблице.
?1 ?2 ??
A B A B AB
2, 0 0, 2 2, 2
s=R
2, 2 0, 0 2, 2
s=S

С точки зрения начальных запасов в этом примере нет системного риска.
Задача потребителя i = 1, 2 равновесия Раднера этой экономики имеет следующий вид:
1 1
Ui = 2 (ln(xiAR) + ln(xiBR)) + 2 (ln(xiAS) + ln(xiBS)) > max x ,z i i



qRziR + qSziS < 0,
pARxiAR + pBRxiBR < pAR?iAR + pBR?iBR + pARziR ,
pASxiAS + pBSxiBS < pAS?iAS + pBS?iBS + pASziS .
Найдем равновесие Раднера в этом примере, пользуясь его взаимосвязью с равновесием
Эрроу—Дебре. Поскольку нет системного риска, то в равновесии потребление обоих по-
требителей не зависит от состояния мира:
xiAR = xiAS, xiBR = xiBS.
Отношение цен одного и того же блага в двух состояниях, должно быть равно отношению
вероятностей:
pAR µA 0,5 p
= = 0,5 = 1 = pBR.
pAS µB BS


Можно проверить, что в равновесии Эрроу—Дебре
x1AR = x1AS = x1BR = x1BS = 3/2.
x2AR = x2AS = x2BR = x2BS = 1/2.
pAR = pAS = pBR = pBS (можно выбрать = 1).
Положим qR = pAR = 1 , qS = pAS = 1. Для того, чтобы получить равновесие Раднера, нужно
еще вычислить zis:
13
d1R = pR(xiR – ?iR) = – 2 + 2 = 1.
d 1
z1R = p 1R = 1 = 1.
AR

Аналогично d1S = –1.
d –1
z1S = p 1S = 1 = –1.
AS


307
308
Для второго потребителя характеристика его портфеля активов определяется из баланса
активов:
z2R = –1, z2S = 1.

?S
?S
@

-
- xS
xR
3/2 3/2


s=R s=S

?R ?R
@
3/2 3 3/2
1

?enoiie 75. Eee?no?aoey e i?eia?o 4
?
Рассмотрим теперь модель Раднера, в которой активы не обязательно являются активами

<< Предыдущая

стр. 69
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>