<< Предыдущая

стр. 7
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

в  + . Под отношением }L мы, как и ранее, подразумеваем отношение, построенное на
_
основе }L по правилу x }Ly ? !(y }L x), или
_
x }Ly ? ( (x1 > y1) или ( x1 = y1, x2 > y2)).
_
Изобразим теперь верхнее лебеговское множество для данного отношения }L (Рисунок 2).
_




19
Иногда, свойство замкнутости верхнего (нижнего) лебеговского множества называют полунепрерывно-
стью предпочтений сверху (снизу).

32
33

x2


+
L (x)
x



x1

?enoiie 2. Aa?oiaa eaaaaianeia iii?anoai aey eaeneeia?aoe?aneiai oii?yai?aiey.
Очевидно, что изображенное на рисунке множество не является ни замкнутым, ни откры-
тым. И, таким образом, отношение }L не является непрерывным
_
?
Теперь сформулируем и частично докажем анонсированную выше теорему Ж. Дебре о
существовании функции полезности представляющей систему неоклассических предпоч-
тений.

Теорема 7.
Пусть на X?  K задана непрерывная система неоклассических предпочтений, тогда су-
ществует непрерывная функция полезности, представляющая эти предпочтения.


Доказательство:
Как уже говорилось, мы не будем полностью доказывать этот результат. А докажем толь-
ко часть его, а именно, существование функции полезности. За доказательством непре-
рывности заинтересованный читатель отсылается к оригинальной работе Троута Радера20,
чей вариант доказательства теоремы Дебре мы и приводим.
Рассмотрим систему открытых шаров в  Kс рациональными центрами и радиусами. Оче-
видно, что таких шаров счетное число. На основании этих шаров, построим систему от-
крытых множеств {On}+? по следующему принципу: в эту систему попадают непустые
n=1
––
пересечения исходной системы открытых шаров с множеством X. Обозначим через L (x)
––
множество потребительских наборов из X, которые строго хуже x, т.е. L (x)= {y? X| x}
y}. Введем в рассмотрение, множество N(x)= {n| On ? L (x)}.
––


Покажем, что [n?N(x)On= L (x). Так как для каждого n?N(x) выполнено On? L (x), то
–– ––


имеем, что [n?N(x)On? L (x).
––


–– ––
Докажем обратное включение: L (x)?[n?N(x)On. Возьмем некоторую точку y?L (x), в
–– ––
силу открытости L (x) она входит в L (x) с некоторой своей окрестностью, в которую
можно вписать пересечение открытого шара в  Kс рациональными центрами и радиусами
с множеством X, причем так, что это пересечение содержит точку y. Другими словами,
существует множество On, которое принадлежит этой окрестности и содержит y. Следо-
вательно, y?[n?N(x)On.


20
Rader, Trout, The Existence of a Utility Function to Represent Preferences, Review of Economic Studies, 30(3),
1963

33
34

Далее, каждой точке x?X сопоставим величину
1
u(x)= ¤ (2)n ,
n?N(x)

в случае если N(x)=?, то положим u(x)=0.
Покажем, что определенная таким образом функция u(.) представляет нашу систему
предпочтений.
Пусть x}y. Тогда по транзитивности нестрогого отношения имеем, что L (y) ? L (x).
–– ––
_
Откуда N(y) ?N(x) и соответственно u(x)> u(y).
Пусть теперь u(x)>u(y). В силу полноты отношения } заключаем, что, либо x}y, либо
_ _
–– –– ––
y}x. Предположим, что выполнено y}x. В этом случае L (x)? L (y), и при этом L
––
(x)? L (y). Отсюда заключаем, что N(x)?N(y) и N(x)?N(y), а значит, по определению
u(.), имеем u(x) < u(y). Получили противоречие с u(x)>u(y). Таким образом, доказано,
что u(x)>u(y) влечет x}y. Тем самым, построенная функция u(.), является функцией
_
полезности для исходной системы неоклассических предпочтений. *
Данный вариант доказательства имеет достаточно ясную графическую интерпретацию
(см. Рис 3). Мы заполняем нижнее лебеговское множество открытыми «шариками» с ра-
циональными радиусами и центрами, и, фактически, в качестве функции полезности бе-
рем нечто сходное по духу с площадь нижнего лебеговского множества.

x2


+
Li (x)




x1

?enoiie 3. Iino?iaiea ooieoee iieaciinoe ii noaia ?aaa?a.
Еще одно элегантное доказательство теоремы Дебре с выразительной графической интер-
претацией можно построить при довольно естественном предположении о монотонности
предпочтений.

Достаточно разумно потребовать, чтобы полезность индивидуума возрастала при росте
количества потребляемых благ, т.е. потребитель предпочитал большее количество блага
меньшему.

Определение 6.
(1) Отношение предпочтения } на X называется монотонным, если ? x, y? X из x > y
_
следует x } y.
_
(2) Отношение предпочтения называется строго монотонным, если из x >y и x ? y сле-
дует x } y.




34
35

При этом дополнительном предположении докажем следующий ослабленный вариант
теоремы Дебре.

Теорема 8.
Пусть на X= K заданы непрерывные, строго монотонные предпочтения. Тогда сущест-
+
вует непрерывная, строго монотонная функция полезности представляющая эти пред-
почтения.


Доказательство:
В качестве функции полезности можно взять соответствие, которое сопоставляет каждому
K
x? + такое число u(x), что x ? u(x)1, где 1 — K-мерный вектор, состоящий из единиц.
Покажем, что такое число u(x) всегда существует и единственно. (См. Рисунок 4 для ил-
люстрации идеи доказательства)

x2

x

u3
u(x)1
u2
u1
x1

?enoiie 4. Iino?iaiea ooieoee iieaciinoe i?e i?aaiiei?aiee iiiioiiiinoe
i?aaii?oaiee (u1< u2< u3).


Для этого мы должны найти для каждого набора x эквивалентный ему набор из множест-
ва U = {u1 | u? +}, которое является лучом, выходящим из начала координат. Сопоставим
рассматриваемому набору x множество чисел u, соответствующих не худшим наборам из
U
+
U (x) = {u ? + | u1}x}
_
и множество чисел u, соответствующих не лучшим наборам из U

U (x) = {u ? + | x } u1}.
_

Эти множества не пусты, так как из свойства строгой монотонности следует, что 0? U
+
(x) и max{xk}+1? U (x).
+ –
Множество U (x) лежит выше U (x) поскольку из строгой монотонности следует, что ?
– +
u1? U (x) и ?u2? U (x) выполнено u1< u2.
+ – –
Обозначим u+ = inf U (x) и u– = sup U (x). Эти величины конечны, так как множества U
+
(x) и U (x) ограничены сверху и снизу соответственно. По непрерывности предпочтений
+ –
u+? U (x) и u–?U (x). При этом u+ > u–. Покажем, что u+ =u–. Пусть это не так. Тогда су-
– +
ществует число u? такое, что u– < u? < u+, так что u??U (x) и u??U (x). Это противоречит

35
36

полноте предпочтений, так как, по свойству полноты мы должны иметь либо u? 1} x, либо
_
u?1 { x.
_
Полученная точка u = u+ = u– удовлетворяет требуемому условию x ? u1 и единственна.
Заданная таким образом функция u(x) является функцией полезности. Пусть x1 } x2. По
_
построению x1 ? u(x1)1 и x2 ? u(x2)1. Значит, x1 } x2 тогда и только тогда, когда u(x1)1 }
_ _
u(x2)1. Но из строгой монотонности u(x1)1 } u(x2)1 тогда и только тогда, когда u(x1)>
_
u(x2).
Функция полезности u(x) является строго монотонной. Пусть x1 > x2 и x1?x2. Тогда из
строгой монотонности предпочтений x1 } x2. Отсюда следует, что u(x1)1 } u(x2)1. По-
этому u(x1) > u(x2).
Докажем теперь непрерывность функции полезности u(x). Для доказательства непрерыв-
?
ности функции полезности рассмотрим последовательность {xn}n=1 такую, что limn > ? xn
= x. Нам надо показать, что limn > ? u(xn) = u(x). Зафиксируем некоторое число ? > 0. За-
метим, что можно выбрать u и u такие, что для любого вектора y из ?-окрестности точки x
-
(т.е. || y – x || < ?) выполнено
u1 ? y ? u 1.
-

-
Например, можно взять u = mink{xk} – 2? и u = maxk{xk} + 2?. Как нетрудно заметить, по
-
строгой монотонности мы имеем u < u(y) < u. Для любой сходящейся подпоследователь-
?
ности из {xn}n=1 найдется достаточно большое число N, такое, что при n > N имеем || xn –
x|| < ?, т.е. последовательность, начиная с номера N+1, попадает в ?-окрестность точки x.
-
Тогда, как мы показали выше, u(xn) попадает в интервал [u ,u ].
Покажем теперь, что любая сходящаяся подпоследовательность из последовательности
?
{u(xn)}n=N+1 сходится к одному и тому же числу u(x). (Отметим, что, так как бесконечная
?
-
последовательность {u(xn)}n=N+1 задана на компакте [u ,u ], то она должна иметь точки
сгущения. Мы хотим показать, что существует всего одна точка сгущения и это u(x).)
?
Рассмотрим теперь некоторую сходящуюся подпоследовательность {u(xnk)}k=1 из
?
{u(xn)}n=N+1. Пусть эта последовательность сходится к u и при этом u ? u(x). Предполо-
˜ ˜
˜ ^ ˜^
жим что u >u(x). Возьмем некоторое число u, такое что u > u > u(x). По свойству стро-
?
гой монотонности имеем, что u1 } u(x)1. Поскольку {u(xnk)}k=1 сходится к u, то сущест-
^ ˜
^
вует M такое, что при k > M выполнено u(xnk) > u. По определению функции полезности
xnk ˜ u(xnk)1 и, кроме того, по строгой монотонности u(xnk)1 } u1 (? k > M), т.е. xnk ˜
^
u(xnk)1} u1. Так как предпочтения непрерывны, то x } u1, но x ˜ u(x)1, поэтому u(x)1 }
^ _^ _
^ ^
u1. Однако выше было показано, что u1} u(x)1. Получили противоречие и тем самым
доказали непрерывность построенной функции полезности.
*

<< Предыдущая

стр. 7
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>