<< Предыдущая

стр. 70
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Эрроу. Для упрощения анализа будем предполагать, что все активы выражены только в
первом благе. Поскольку доходности по остальным благам при этом равны нулю, то соот-
ветствующие коэффициенты можно не рассматривать. При этом будем использовать сле-
дующие обозначения: as = {asc}c — вектор, составленный из доходностей всех активов в
состоянии мира s, A = {as}s — матрица, составленная из доходностей всех активов во всех
состояниях мира.
Хотя в такой экономике могут быть довольно сложные активы, но они фактически сво-
дятся к набору элементарных активов (активов Эрроу). Соответственно, цену любого
(сколь угодно сложного) актива можно вычислить через цены активов Эрроу, даже если
таких активов в экономике нет. Для доказательства этого факта мы опять воспользуемся
тем, что в равновесии Раднера арбитраж невозможен.
Рассмотрим, что означает в такой экономике невозможность арбитража. Переформулируя
определение, арбитраж невозможен, если не существует такого плана арбитража ?z, что
q?z < 0, и для любого состояния мира s ? S выполнено p1sas?z > 0, причем хотя бы для
одного состояния мира неравенство строгое. Если p1s > 0 в любом состоянии мира, то по-
следнее неравенство эквивалентно as?z > 0. Такая переформулировка означает невозмож-
ность составить допустимый план арбитража (не требующий увеличения чистых расходов
на покупку активов), такой что он приводит к приросту доступного потребителю количе-
ства 1-го блага по крайней мере в одном состоянии мира и не уменьшает эту величину в
других состояниях мира. Формально возможность арбитража при ценах активов q запи-
сывается следующим образом:
??z: q?z < 0 и A?z >? 0.
Для доказательства того факта, что цены активов можно разложить по ценам активов Эр-
роу требуется также дополнительное предположение о том, что матрица доходностей ак-
тивов обладает следующим свойством:
??z: A?z >? 0. (/)
Это свойство означает, что арбитраж в принципе возможен, если не учитывать бюджетное
ограничение 1-го периода: можно подобрать план арбитража такой, что любом состоянии
мира as?z > 0 и хотя бы для одного состояния неравенство строгое. (Ясно, что при равно-
308
309
весных ценах активов такой план арбитража должен потребовать увеличения чистых рас-
ходов на приобретение активов: q?z > 0).

Теорема 992.
(i) Пусть A — матрица доходностей активов, удовлетворяющая предположению (/), а
q — цены активов, при которых арбитраж невозможен. Тогда существует вектор ? >? 0,
такой что q = ?A.
(ii) Пусть цены активов можно представить в виде q = ?A, где ? > 0. Тогда при ценах ак-
тивов q арбитраж невозможен.

Доказательство.
Предположим, что не существует вектора ? > 0, такого что q = ?A. Это означает, что вы-
пуклое замкнутое множество
V = {v | v = ?A, ? ?   ^ },
s


не содержит вектор q. Простроим на основе этого «прибыльный» план арбитража, и при-
дем к противоречию с предположением о том, что арбитраж невозможен.
По теореме о разделяющей гиперплоскости существует вектор ?z?, такой что q?z? < c и
v?z? > c, ?v ? V. Поскольку V — конус, то константу c можно положить равной нулю.
При этом уравнение v?z? = 0 задает опорную гиперплоскость к конусу V, проходящую
через его вершину. Поскольку as ? V, то as?z? > 0 ?s, т.е. A?z? > 0.
Вектор ?z? не обязательно дает требуемый план арбитража, поскольку не исключается
случай A?z? = 0, когда в любом состоянии мира план арбитража ?z? не приводит к изме-
нению дохода. Но может оказаться возможным несколько скорректировать ?z? и получить
выгодный план арбитража. Возьмем произвольный план арбитража ?z?, такой что A?z? >
? 0. (Должно выполняться q?z? > 0, то есть этот план потребует увеличения чистых рас-
ходов на приобретение активов, иначе мы сразу получим, что арбитраж возможен). На
основе ?z? и ?z? можно построить комбинированный план ?z = ?z? + ??z??, где ? — дос-
таточно малое положительное число, такой что q?z < 0 и A?z >? 0. Таким образом, полу-
чили противоречие с невозможностью арбитража, и доказали, что требуемый вектор ? > 0
существует.
Ясно, что ? ? 0, поскольку ? = 0 возможно только при q = ?A = 0, что противоречит невоз-
можности арбитража при ценах q.
(ii) Пусть q = ?A, где ? > 0, и пусть ?z — план арбитража, такой что A?z >? 0. Тогда
q?z = ?A?z > 0. Таким образом, одновременное выполнение условий q?z < 0 и A?z >? 0
невозможно.
*
Требуемое для доказательства условие (/) верно при многих достаточно естественных
предположениях на матрицу A. В частности, достаточно, чтобы матрица A имела ранг,
равный количеству состояний мира, другими словами, чтобы вектора as были линейно
независимы. Другой случай, когда можно легко построить ?z? — когда хотя бы один из
активов не приносит отрицательного дохода ни в одном состоянии мира, а по крайней


92
Фактически, это переформулировка в терминах рассматриваемой модели известной «леммы Фаркаша» из
теории линейных неравенств.

309
310
мере в одном приносит положительный доход (например, актив Эрроу). Тогда соответст-
вующий план арбитража может заключаться в том, чтобы приобрести единицу такого ак-
тива (все компоненты вектора ?z? равны нулю, кроме компоненты, соответствующей
данному активу, которая равна единице). В дальнейшем мы, как правило, будем предпо-
лагать, что матрица доходностей активов обладает свойством (/).
Поскольку при равновесных ценах q арбитраж невозможен, то из доказанной теоремы
следует, что можно представить равновесные цены активов в виде q = ?A. Отдельный
элемент вектора ?, ?s, можно интерпретировать как цену актива Эрроу (1, s).
Если матрица A имеет ранг, равный количеству состояний мира s, то такой вектор ? опре-
^
^
деляется однозначно. Можно выбрать s активов с линейно независимыми векторами до-
^ ^ –1
ходностей и сформировать из них матрицу A, при этом ? = qA . В противном случае
удовлетворяющих этому соотношению векторов ? может быть бесконечно много. Напри-
мер, если в экономике есть только активы Эрроу, выраженные в 1-м благе, но не для всех
состояний мира, то цены активов Эрроу для отсутствующих активов (1, s) можно выбрать
произвольным образом.
Для каждой матрицы доходностей активов A можно задать подпространство активов, как
подпространство, натянутое на вектора, соответствующие доходностям активов в разных
состояниях мира:
l(A) = {w | w = Az, z ?   ^}.
c


Вектор z здесь можно интерпретировать как портфель активов (поскольку речь идет об
объективной характеристике системы активов, то индекс потребителя не пишется), а от-
дельный элемент вектора w, ws , — как доход от этого портфеля в состоянии мира ws (вы-
раженный в количестве 1-го блага). Таким образом l(A) — это множество тех доходов,
которые можно получить при некотором выборе портфеля z.
Для равновесий Раднера существенным является именно это подпространство активов, а
не матрица A, по которой оно строится. Покажем это, доказав, что если l(A) = l(A?), то
из равновесия Раднера с матрицей доходностей активов A можно сконструировать равно-
весие Раднера с матрицей доходностей активов A?. В доказательстве мы воспользуемся
полученным выше представлением вектора цен активов в виде q = ?A.

Теорема 10.
Пусть в экономике Эрроу функции полезности строго возрастают по потреблению 1-го
блага в каждом состоянии мира, и (p, q, x, z) — равновесие Раднера в этой экономике,
где все активы выражены в 1-м благе, и A — матрица их доходностей, удовлетворяющая
предположению (/). Тогда если A? — другая матрица доходностей, такая что l(A) =
l(A?), то существует портфель активов z? и цены активов q? такие, что (p, q?, x, z?) —
равновесие Раднера с матрицей доходностей A?.

Доказательство.
Поскольку цены q соответствуют равновесию Раднера, и предпочтения локально ненасы-
щаемы, то при этих ценах невозможен арбитраж. Предположение (/) гарантирует при
этом, что существует вектор ? = {?s}s, такой что q = ?A.
В качестве цен активов q? в конструируемом равновесии возьмем ?A?.
Построим теперь z?. Поскольку Azi ? l(A) и l(A) = l(A?), то Azi ? l(A?). Другими сло-
вами, для любого zi существует вектор zi?, такой что A?z? = Azi. Для каждого набора zi, i =
i



310
311
1, ..., m – 1 возьмем такой z?. Кроме того, выберем zm так, чтобы выполнялся баланс акти-
?
i
вов:
m–1
zm = – ¤ z? .
? i
i=1


?
Поскольку ¤zi = 0, то A?zm = Azm.
i?I

Покажем теперь, что (p, q?, x, z?) — равновесие Раднера с матрицей доходностей A?. На-
бор (xi, z?) допустим в задаче i-го потребителя при ценах p, q? и матрице доходностей A?,
i
поскольку
q?z? = ?A?z? = ?Azi = qzi < 0.
i i

и
pxi < p ?i – p1saszi = p ?i – p1sa?z?.
si

Покажем, что (xi, z?) является оптимальным решением. Пусть это не так, и (xi, z?) — дру-
` `i
i

гое допустимое решение задачи i-го потребителя при ценах p, q? и матрице доходностей
A?, с более высоким значением полезности. Тогда, следуя рассмотренной выше схеме,
` ``
можно подобрать портфель активов, zi, такой что (xi, zi) — допустимое решение задачи
`
потребителя при ценах p и q и матрице доходностей A. Поскольку xi дает потребителю
более высокую полезность, чем xi, то это противоречит оптимальности (xi, zi) при ценах
p и q и матрице доходностей A.
*

Замечание. Таким образом, каждому равновесию Раднера в экономике с множеством ак-
тивов с матрицей доходностей A соответствует равновесие Раднера в экономике с мно-
жеством активов с матрицей доходностей A? с теми же планами потребления и ценами
благ. Верно и обратное, если матрица A? удовлетворяет предположению (/).


^
Если матрица доходностей A имеет ранг, равный количеству состояний мира s (т.е., если
структура доступных активов является достаточно «богатой»), то
l(A) = l(I),
где I — единичная матрица размерности s?s. Матрица доходностей I соответствует слу-
^^
чаю, когда C = {(1, s) | s ? S}, то есть когда все активы в экономике являются активами
Эрроу, выраженными в 1-м благе. Поэтому при выполнении этого условия — полного
ранга матрицы A — верны аналоги доказанных ранее для случая A = I теорем об эквива-
лентности равновесий Эрроу—Дебре и Раднера.

Теорема 11.
Предположим, что в экономике Эрроу функции полезности строго возрастают по по-
треблению 1-го блага в каждом состоянии мира. Кроме того, будем предполагать, что все
доступные потребителям в равновесиях Раднера активы выражены в 1-м благе, и матри-
ца их доходностей A имеет ранг, равный количеству состояний мира.
``
(i) Пусть (p, x) — равновесие Эрроу—Дебре в этой экономике. Тогда существует порт-
- ` `-
фель активов z и цены активов q такие, что (p, q, x, z) — равновесие Раднера.
--
(ii) Наоборот, пусть (p, q, x, z) — равновесие Раднера в этой экономике. Тогда сущест-
` `-
вует вектор цен p, такой что (p, x) — равновесие Эрроу—Дебре.

311
312

Доказательство.
Данное утверждение является следствием Теорем 7, 8 и 10.
На основании равновесия Эрроу—Дебре можно сконструировать равновесие Раднера с
матрицей доходностей активов I, а на основании последнего — равновесие Раднера с
матрицей доходностей активов A. Наоборот, на основании равновесия Раднера с матри-
цей доходностей активов A можно сконструировать равновесие Раднера с матрицей до-
ходностей активов I, а на основании последнего — равновесие Эрроу—Дебре.
*

Замечание. Пользуясь свойствами равновесия Эрроу—Дебре, получим важное следствие
из данной теоремы: если матрица активов в модели Раднера имеет полный ранг, то каж-
дое равновесие в такой модели Парето-оптимально. С другой стороны, если матрица ак-
тивов неполного ранга, то возникает проблема неполноты рынков, и в общем случае
равновесие Раднера неоптимально.



Задачи
5. Рассмотрим экономику с двумя потребителями (i = 1, 2), двумя состояниями мира (Sun,
Rain) и двумя (физическими) благами (Apples, Bananas) запасы которых в состоянии
мира S у 1-го потребителя — ?1S = (0; 0), у 2-го потребителя — ?2S = (3; 6), а в состоянии
мира R у 1-го потребителя — ?1R = (5; 1), у 2-го потребителя — ?2R = (1; 2). Предположим,
что предпочтения потребителей описываются функциями полезности Неймана—Морген-
штерна с элементарными функциями полезности
u1 = –1/x1a – 1/x1b u2 = x2a + 4x2b
Предположим, что вероятность состояния мира S равна 2/3, а вероятность состояния мира
R — 2/3.
(1) Покажите формально, что состояние x1S = (2; 1), x1R = (2; 1), x2S = (1; 5), x2R = (4; 2),
pa = (1; 2), pb = (4; 8) является равновесием Эрроу—Дебре.
(2) Как на основе равновесия Эрроу—Дебре сконструировать равновесие Раднера?


6. Рассмотрим экономику с двумя потребителями (i = 1, 2), двумя состояниями мира (Good,
Bad) и двумя (физическими) благами (Apples, Cucumbers) запасы которых в состоянии
мира G у 1-го потребителя — ?1G = (4; 4), у 2-го потребителя — ?2G = (2; 2), а в состоянии
мира B — ?1B = (1; 1) и ?2B = (5; 5) соответственно. Предположим, что предпочтения по-
требителей описываются функцией полезности Неймана—Моргенштерна с элементарной
функцией полезности вида
ui = ln xia + ln xic
Предположим, что вероятность состояния мира G равна 2/3, а вероятность состояния B —
2/3.
(1) Покажите формально, что состояние x1 = (3; 3; 3; 3), x2 = (3; 3; 3; 3), pG = (2; 2), pB = (1; 1),
является равновесием Эрроу—Дебре.
(2) Как на основе равновесия Эрроу—Дебре сконструировать равновесие Раднера?



312
313
7. Рассмотрим экономику с двумя потребителями (i = 1, 2), двумя состояниями мира (Sun,
Rain) и двумя (физическими) благами (Apples, Bananas) запасы которых в состоянии
мира S у 1-го потребителя — ?1S = (3; 3/2), у 2-го потребителя — ?2S = (3; 3/2), а в состоя-
нии мира R у 1-го потребителя — ?1R = (3; 3/2), у 2-го потребителя — ?2R = (3; 3/2). Пред-
положим, что предпочтения потребителей описываются функциями полезности Нейма-
на—Моргенштерна с элементарными функциями полезности
ui = ln xia + ln xib
Предположим, что субъективная вероятность состояния мира S для 1-го потребителя рав-

<< Предыдущая

стр. 70
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>