<< Предыдущая

стр. 74
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

циями полезности. Обе цены и все налоги положительны. Пусть в этом равновесии один
из потребителей получает положительный трансферт и покупает оба блага, а другой по-
требитель получает отрицательный трансферт, продает первое благо и покупает второе.
Может ли в такой ситуации равновесие быть оптимальным по Парето? Объясните.

Оптимум второго ранга. Налог Рамсея104
Предположим, что для неких целей государству требуется собрать определенную сумму
налогов. Например, это может быть требование собрать столько налогов, чтобы на эту
сумму можно было приобрести некоторый заданный набор благ105. Коль скоро Парето-
оптимум в равновесии с налогами недостижим, то естественно поставить задачу умень-
шить в каком-то смысле «бремя», связанное с налогами.
Обычные Парето-оптимальные состояния определяются на множестве всех (физически)
допустимых состояний экономики. Поскольку при ограничении на сумму собранных на-
логов не все допустимые состояния могут быть реализованы как равновесие с налогами,
то естественно рассматривать только состояния, которые могут быть реализованы как та-
кое равновесие, и изменить соответствующим образом понятие оптимальности.
Обычный Парето-оптимум принято называть оптимумом первого ранга, а Парето-оптимум,
который определяется на множестве всех тех состояний, которые могут быть реализованы
с помощью равновесий из определенного класса — оптимумом второго ранга.

104
См. F. P. Ramsey, “A Contribution to the Theory of Taxation,” The Economic Journal, 37 (1927), 47-61. Хотя в
статье Ф. Рамсея это не оговаривается в явном виде, но речь там фактически идет о квазилинейной экономи-
ке. В этом параграфе анализ проводится на той же модели, но при упрощающем предположении о сепара-
бельности функции полезности и функции издержек (т.е. в терминологии Рамсея в предположении, что
«товары независимы»).
105
Как известно, в модели общего равновесия цены определены с только точностью до положительного
множителя, поэтому не имеет смысла рассматривать чисто номинальное задание по сбору налогов. Необхо-
димо каким-то образом связать денежную сумму с реальными величинами.

327
328
Определение 2.
— это такое состояние экономики из заданного множества со-
Оптимум второго ранга
стояний, для которого не существует другого состояния экономики из того же множест-
ва состояний, которое доминировало бы его по Парето.

Таким образом, можно сформулировать следующую задачу оптимального налогообложе-
ния: подобрать такие налоги, чтобы равновесие с этими налогами являлось оптимумом
второго ранга при некотором заданном ограничении на сумму налогов.
Рассмотрим квазилинейную сепарабельную экономику.
Нам достаточно рассмотреть одного репрезентативного потребителя с функцией полезно-
сти

u(x, z) = v(x) + z = ¤ vk(xk) + z
k?K

и одного репрезентативного производителя с функцией издержек

c(y) = ¤ ck(yk).
k?K

Предполагаем, что запасы обычных благ равны нулю, поэтому материальные балансы для
них имеют вид:
xk = yk.
Если в эту экономику вводятся налоги с единицы товара (unit taxes) на все блага, кроме
последнего (по которому квазилинейна функция полезности)106, то на каждом рынке суще-
L H
ствует две цены — цена производителя (pk ) и цена потребителя (pk ), которые связаны ме-
жду собой соотношением
H L
pk = pk + tk.
Из задачи потребителя получаем, что в равновесии (внутреннем в смысле xk > 0) выполне-
но условие первого порядка
?
H
pk = vk(xk).
Аналогично для репрезентативного производителя
?
L
pk = ck(yk).
Таким образом, дифференциальная характеристика равновесия с налогами в рассматри-
ваемой квазилинейной сепарабельной экономике имеет вид
? ?
vk(xk) = ck(yk) + tk.
Задача оптимального налогообложения состоит в том, чтобы собрать с рынков обычных
благ определенную сумму налогов таким образом, чтобы благосостояние было макси-
мальным, где благосостояние измеряется функцией (индикатором благосостояния)
W = v(x) – c(y).
Эквивалентная формулировка состоит в том, чтобы минимизировать чистые потери от
налогов
^
DL = W – W,

106
Это благо в теории оптимального налогообложения обычно интерпретируется как время потребителя,
которое он может делить между досугом и трудом.

328
329
^
где W— максимально возможный уровень благосостояния, достигаемый в Парето-
оптимуме.
Из сепарабельности следует, что общие чистые потери есть сумма чистых потерь по от-
дельным рынкам. Это означает (графически), что мы должны минимизировать сумму
«заштрихованных треугольников», измеряющих чистые потери на отдельных рынках.


H
pk
tk
L
pk



?enoiie 81. ?enoua iioa?e aeaaininoiyiey ia ?uiea k-ai aeaaa
Таким образом, ставится задача нахождения оптимума второго ранга путем выбора нало-
говых ставок tk, максимизирующих благосостояние при следующих ограничениях:
1) Состояние экономики должно быть равновесием с налогами.
2) Сбор налогов не должен быть меньше заданной величины R.
(Можно, наоборот, рассматривать максимизацию сбора налогов при ограничении на вели-
чину потерь благосостояния).
В результате приходим к следующей задаче

W = ¤ vk(xk) – ¤ ck(xk) > max x ,t k k

k?K k?K
? ?
vk(xk) = ck(xk) + tk, ?k,
¤ tkxk > R.
k?K

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
? ? ? ?
L = ¤ vk(xk) – ¤ ck(xk) + ?? ¤ tkxk – R? + ¤ ?k[vk(xk) – ck(xk) – tk].
?k?K ? k?K
k?K k?K

Приравняем производные к нулю:
?L
= v?(x ) – ck(xk) + ?tk + ?k (v?(xk) – c?(xk)) = 0,
?
?xk k k k k


?L
= ?xk – ?k = 0.
?tk
? ?
Отсюда, учитывая, что vk(xk) – ck(xk) = tk, и исключая множители Лагранжа ?k получаем,
что искомое состояние должно описываться соотношением
tk + ?tk + ?xk (v?(xk) – c?(xk)) = 0,
k k

или
?
x (–v?(xk) + c?(xk)),
tk =
1+? k k k




329
330
? ?
Учтем, что vk(?) — обратная функция спроса, а ck(?) — обратная функция предложения.
Это позволяет записать формулу через эластичности спроса и предложения:
?
1 vk(xk)
?k (xk) =
D
(<0),
v?(xk) xk
k

?
1 ck(xk)
?k (xk) =
S
.
c?(xk) xk
k

Кроме того, поскольку мы рассматриваем состояние равновесия с налогами, то можно
? ?
H L
заменить vk(xk) на pk и ck(xk) на pk .
Окончательно, получаем формулу (формулу Рамсея)
? ? pk
H L
pk ?
? ? D + S ?.
tk =
1 + ? ? |?k | ?k ?
H L L
Подставив в эту формулу pk = pk + tk, выразим из нее tk и разделим на pk :
1 1
D+ S
|?k | ?k
tk
L=?
1.
pk 1+?+? S
?k
При малой величине собираемых налогов, R, множитель Лагранжа, ?, мал. Действитель-
но, можно доказать, что при R = 0 множитель Лагранжа ? равен нулю. Пусть это не так и
? > 0. Воспользуемся тем, что
?
x (–v?(xk) + c?(xk)).
tk =
1+? k k k


При ? > 0 из условий Куна-Таккера ограничение на сбор налогов должно выполняться как
равенство, т.е. ¤tkxk = R = 0. Подставим в это ограничение tk:
k

?
¤ x2 (–v?(xk) + c?(xk)) = 0.
1 + ? k?K k k k


В предположении убывающей предельной полезности и убывающей отдачи от масштаба
выражение слева должно быть положительным. Мы пришли к противоречию. Значит, при
R = 0 множитель Лагранжа ? должен быть равен нулю. При этом все ставки налогов долж-
ны быть нулевые. (Этим мы попутно доказали, что перераспределение между рынками с
помощью налогов, т.е. субсидирование одних рынков за счет других, неэффективно.)
В первом приближении при R близком к нулю мы можем записать
tk ? ? xk (–v?(xk) + c?(xk)),
k k

кроме того, дифференцируя условия равновесия, получаем
dtk = dxk (–v?(xk) + c?(xk)),
k k

При малых налогах (dtk ? tk) из этого следует, что
dxk
xk ? ?.
Таким образом, в первом приближении оптимальные налоги снижают объемы потребле-
ния (и производства) всех благ в равной пропорции.

330
331
Кроме того, малые оптимальные налоги (налоги при R близком к нулю) можно выразить
через эластичности спроса и предложения в равновесии без налогов:
tk ?1 1?
L ? ? ? D + S?.
? |?k | ?k ?
pk
Таким образом, правило оптимального налогообложения Рамсея заключается в том, что от-
носительные ставки налогов должны быть (в первом приближении) пропорциональны
сумме обратных эластичностей спроса и предложения на соответствующих рынках:
tk 1 1
D + S.

pk |?k | ?k
Существенным ограничением данного правила является то, что предполагается независи-
мость рынков (формально — сепарабельность). Если отказаться от этого предположения,
то в формуле появятся перекрестные эластичности.
Другое существенное предположение изложенной модели — квазилинейность предпочте-
ний. Различные правила налогообложения Рамсея получаются в рамках модели общего
равновесия и при других упрощающих предположениях. В следующем параграфе мы рас-
смотрим одну из таких моделей.

Задачи
6. Рассмотрите экономику обмена с двумя видами благ (x и y) и двумя потребителями (1 и
2), где каждый потребитель имеет функцию полезности ui = ln(xi) + ln(yi) и начальные за-
пасы ?i = (?ix, ?iy). Государство собирает адвалорный налог на продажу благ. Цель госу-
дарства состоит в том, чтобы на собранные средства приобрести по рыночным ценам бла-
го x в количестве x0 и благо y в количестве y0. Предполагаем, что с собственных закупок
государство налог не взимает.
(А) Всегда ли государство может добиться своей цели?
(В) Может ли случиться так, что равновесие с налогами будет Парето-оптимальным (Па-
рето-оптимальным с учетом того, что государство должно получить x0 и y0 благ x и y)?


<< Предыдущая

стр. 74
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>