<< Предыдущая

стр. 75
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

7. Рассмотрим экономику обмена с двумя потребителями и двумя благами (A и B). Функ-
ции полезности потребителей: u1=2lna1+b1 u2=lna2+b2, где ai — потребление блага A, а bi —
потребление блага B i-м потребителем. Начальные запасы благ: ?1=(2; 3), ?2=(3; 2). Вво-
дится натуральный налог на потребление блага A, так что i-й потребитель потребляет по-
сле уплаты налога ai(1 – ?i) блага A, где ?i — ставка налога. Соответственно. государство
собирает в форме налога a1?1+a2?2 блага A.
(А) Найти равновесие, которое возникнет после введения налога (ai, bi и отношение цен
pA/pB).
(В) Найти Парето-оптимум, учитывая, что заданное количество (a0) блага A должно уйти
государству. При каком распределении налога равновесие будет Парето-оптимальным?


8. В квазилинейной экономике есть 2 потребителя с функциями полезности
u1 = x1 + z1, u2 = x2 + z2
и предприятие с функцией издержек c(y) = 2y.
(A) Вводится адвалорный налог на потребление 1-го блага со ставкой ?. Найдите конку-
рентное равновесие в экономике (p, x1, x2, y) как функцию величины ?.
331
332
(B) Пользуясь результатами пункта (A), найдите чистые потери благосостояния от налога
при ставке ? = 1, (т.е. 100%).


9. В экономике производится один предмет потребления, y, спрос на который образуется в
результате максимизации следующей функции полезности репрезентативного потребите-
ля: u(y, x) = 2 y + 1 + x , где x — потребление свободного времени. Потребитель владеет
единичным запасом времени, который он распределяет между рабочим временем L и сво-
бодным временем x. Рабочее время предлагается единственной фирме, которая произво-
дит y по технологии y = ln(2L) + 3. Вычислите чистые потери от введения 50%-го налога на
продажу предмета потребления (продажная цена производителя равна половине цены,
которую платит покупатель). Заработную плату примите за 1.


10. Рассмотрите модель оптимального налогообложения Рамсея в ситуации двух незави-
симых рынков. На первом рынке спрос равен D = 10 – p, а предложение равно S = 1 + p. На
втором рынке спрос равен D = 10 – p/2, а предложение равно S = 1 + p/2.
(А) Запишите условия первого порядка для оптимальных налогов (не исключая множи-
тель Лагранжа)
(В) Во сколько раз отличается налог на одном рынке от налога на другом.


11. В ситуации частного конкурентного равновесия государству требуется собрать налоги
общей величины R с n независимых рынков. Оно использует налог с единицы товара со
ставкой ti (i = 1, ..., n). Функции спроса и предложения линейны: Si = ai + bi p и Di = ci – di p.
Задача состоит в том, чтобы распределить налоги по рынкам так, чтобы общие потери
благосостояния были минимальными.
Как ставка налога на данном рынке зависит от наклона кривых спроса и предложения?
(Подсказка: не следует исключать из соответствующих условий первого порядка множи-
тель Лагранжа).


12. Задача Рамсея выбора ставок налогов состоит в том, чтобы при сохранении величины
налоговых сборов ...
а) минимизировать чистые потери,
б) минимизировать потери потребителя,
в) максимизировать объем продаж,
в) максимизировать прибыль.
Ее решение предписывает установить большие ставки налогов в тех отраслях (допишите)
... ... ... ... ...


13. Рассмотрите квазилинейную сепарабельную экономику. Пусть эластичность спроса в
точке равновесия |?| = 3, предельные издержки у всех производителей постоянны и одина-
ковы и правительство устанавливает налог в размере $6 с единицы товара. Если спрос —
линейная функция, то насколько поднимется цена? А в случае спроса с постоянной эла-
стичностью |?| = 3?


332
333
14. Рассмотрите квазилинейную сепарабельную экономику. Спрос имеет вид D = 8 – p,
предложение имеет вид S = 3 + p. На этом рынке вводится налог на потребление в размере
50% цены. Найдите чистые потери благосостояния от введения налога.


15. Рассмотрите квазилинейную сепарабельную экономику. Спрос имеет вид D = 8 – p,
предложение бесконечно эластично. На этом рынке вводится налог в размере 2 ед. на еди-
ницу товара. Найдите потери потребителей от введения налога, если до введения налога
объем торговли на рынке был равен 4 ед.

Правило оптимального налогообложения для «малых»
потребителей
Пусть в экономике имеется большое число потребителей, предпочтения которых задаются
строго вогнутыми функциями полезности ui(xi). Предположим, что последнее (l-е) бла-
го — это время потребителя, так что xil — это досуг потребителя, а ?i – xil — предложение
труда, где ?i — запас времени потребителя. Допустимые потребительские наборы задают-
ся ограничениями xik > 0, ?k и xil < ?i.
Потребители могут получать доход от продажи труда, а также из прибылей принадлежа-
щих им фирм и от государства в виде трансфертов. Не специфицируя остальную часть
экономики (производство, поведение государства), охарактеризуем внутреннее равнове-
сие с индивидуальными налогами ti на покупку благ потребителями, являющееся опти-
мумом второго ранга. Пусть при данной системе налогов t = {ti} равновесные цены равны
p(t).
Будем предполагать, что каждый потребитель мал в том смысле, что влиянием величины
его индивидуальных налогов ti на равновесные цены p(t) можно пренебречь. Это предпо-
ложение позволяет вывести условия оптимальности налогов t на основе анализа отдель-
ного потребителя при фиксированных рыночных ценах p и фиксированной величине
суммы налогов, выплачиваемой этим потребителем107.
Напомним, что в модели с налогами на покупку благ бюджетное ограничение потребителя
i имеет вид (если есть доходы от фирм, то они добавляются к Si)

¤ (pk + tik)[xik – ?ik]+ + pk[xik – ?ik]–) < Si,
k?K

Предположим, что потребитель продает труд (l-е благо). Поскольку все блага, кроме l-го,
покупаются на рынке, то они облагаются налогами. Труд, соответственно, не облагается
налогом. Бюджетное ограничение в данном случае записывается в виде
l–1 l
¤(pk + tik)xik + plxil = ¤(pk + tik)xik < pl?i + Si.
k=1 k=1

т.е. оно имеет такой же вид, как и с налогами на потребление, с тем исключением, что
ставка налога на досуг равна нулю. В дальнейшем мы абстрагируемся от того, что рас-

107
Эта модель впервые была проанализирована Полом Самуэльсоном в 1951 г. в его докладе Министерству
финансов США (перепечатан в Samuelson, P. A. “Theory of Optimal Taxation,” Journal of Public Economics, 30
(1986), 137-143). В литературе по оптимальному налогообложению полученные Самуэльсоном результаты
принято называть «правилом Рамсея». При изложении модели обычно делается предположение, что все
потребители одинаковы, хотя, как очевидно из нашего анализа, важна только неизменность цен. Анализ
Самуэльсона был распространен на случай экономики с производством и меняющимися ценами в статье
Diamond, P. A. and J. A. Mirrlees, “Optimal taxation and public production I: Production efficiency and II: Tax
rules,” American Economic Review, 61 (1971), 8-27 and 261-278.

333
334
сматривается налог на покупки, и будем действовать так, как если бы это был налог на
потребление.
Прежде, чем анализировать этот случай, рассмотрим гипотетическую ситуацию, в которой
можно устанавливать налоги на потребление всех благ, включая досуг.
Рассмотрим задачу максимизации полезности потребителя при дополнительных ограни-
чениях, что потребительский набор представляет собой спрос потребителя при данных
-
ставках налогов (xi = xi(ti)), и что требуется собрать фиксированную сумму налогов Ri
(она равна фактически собираемому в равновесии налоговому доходу). Если налоги опти-
мальны, то они являются решением указанной задачи. В противном случае на основе ре-
шения данной задачи можно построить Парето-улучшение для экономики в целом (в
смысле оптимума второго ранга).
Выпишем эту задачу формально, опуская для упрощения записи индекс потребителя:
u(x(t)) > max t
- (0)
tx(t) > R,
-
-
где x(t) является решением задачи потребителя при ценах p и налогах t:
u(x) > max x
(p + t)x < ? = pl? + Si.
- -
Функция x(t) связана с обычной функцией потребительского спроса соотношением x(t) =
x(p + t, ?).
Условия первого порядка для внутреннего решения задачи потребителя имеют вид
?u(x(t))
-
= ?(pk + tk)
?xk
или, в векторных обозначениях,
?u(x(t)) = ?(p + t),
-
где ? — множитель Лагранжа бюджетного ограничения.
-
В равновесии бюджетное ограничение выполняется как равенство, т.е. x(t) удовлетворяет
тождеству
l
(p + t)x(t) = ¤(ps + ts)xs(t) = ?.
- -
s=1

Дифференцируя это тождество по tk, получим соотношение
?xs(t)
-
l
¤(ps + ts) = – xk(t).
?tk
s=1

Подставляя условия первого порядка, получим соотношение, которое характеризует из-
менение полезности потребителя при малом изменении ставки налога на k–е благо:
?u ?xs
-
l
= – ?xk.
¤ -
?xk ?tk
s=1

Используя полученные соотношения, охарактеризуем теперь решение задачи (0), и, тем
самым, оптимальные ставки налогов. Функция Лагранжа для задачи (0) имеет вид
L = u(x(t)) + ?(tx(t) – R).
- -

334
335
Условия первого порядка для решения
?L l ?u ?xs ?xs
- -
l
+ ?(¤ts + xk) = 0.
=¤ -
?tk s=1 ?xk ?tk s=1 ?tk

Подставляя полученные выше характеристики решения задачи потребителя, преобразуем
эти условия к виду:
?u ?xs ?xs
- -
l l
= ?¤ps .
¤
s=1 ?xk ?tk ?tk
s=1

Запишем эти соотношения в матричном виде:
?x(t)?u = ??x(t)p,
- -
где ?x(t) — матрица частных производных {?xs/?tk}. Если это невырожденная матрица,
- -
то можно записать условия оптимальности налогов как
?u = ?p.
Поскольку
?u = ?(p + t),
то
?p = ?(p + t)
или
?–?
t= p.
?
Таким образом, оптимальные налоги на потребление должны быть униформными. Этот
вывод совпадает с полученным выше в посвященном таким налогам параграфе.
Пусть теперь tl = 0. Ясно, что с этим ограничением (при «гладкой» функции полезности)
налоги не могут быть оптимальными, поскольку не являются униформными. Этот факт
иллюстрирует Рис. 82.
x2




-
x
x?
-
x?
-
I

I?
B*
B? B
?/(p1+t1) ?/p1 x1

?enoiie 82. Iaiioeiaeuiinou iaoieoi?iiiai iaeiaa
Введение налога на благо 1 вызывает поворот бюджетной прямой (B > B?) и переход по-
требителя к новому равновесию (x > x?). Рассмотрим «бюджетную прямую» B*, парал-
--
лельную первоначальной (B) и проходящую через точку равновесия, как если бы ввели
эквивалентный аккордный налог (или униформные налоги на потребление). Поскольку
вспомогательная бюджетная прямая пересекает кривую безразличия, то соответствующее
решение задачи потребителя x? обеспечивает потребителю более высокую полезность,
-
чем x? без снижения величины налога. На рисунке направление такого «Парето-
-
улучшения» показано стрелкой.
335
336
При tl = 0 в задаче (0) появляется дополнительное ограничение. Условия первого порядка
?u ?xs ?xs
- -
l l
+ ?(¤ts
¤ -
+ x ) = 0,
s=1 ?xk ?tk ?tk k

<< Предыдущая

стр. 75
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>