<< Предыдущая

стр. 78
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

лю. Эти усилия уменьшают его уровень полезности на величину hi /2. В то же время это
дает студенту добавку к стипендии, так что его полезность увеличивается на величину
- -
?(hi/h), где h — среднее количество часов, которое посвящают учебе студенты данной
группы, а ?(?) — дифференцируемая строго возрастающая вогнутая функция. Найдите
характеристику внутреннего равновесия (по Нэшу). Сравните с оптимальным по Парето
исходом. Дайте интерпретацию.


5. Каждый год n рыбаков ловят в озере рыбу. Ситуация начинается в году t = 1 и продол-
жается бесконечно. Количество рыбы на начало t-го года составляет yt. За год i-й рыбак
вылавливает xit/(¤ixit + 1) долю от общего количества рыбы yt, где xit — его издержки на
лов рыбы в году t. Цена на рыбу постоянна и равна p. Каждый рыбак максимизирует дис-
контированную прибыль
?
?i = ¤?it?t–1 (0 < ? < 1).
t=1

В начале года количество рыбы в два раза больше оставшегося к концу предыдущего года.
(1) Пусть каждый рыбак выбирает постоянную стратегию xi=xit. Покажите, что вылов ры-
бы будет больше оптимального.
(2) Как зависит выбор xi и динамика рыбных запасов от цены на рыбу и дисконтирующего
множителя ??
344
345
(3) Предположим, что рыбаки остаются на озере только по одному году, и каждый год
приезжают новые n рыбаков. Как это повлияет на ситуацию?

Свойства экономики с экстерналиями. Теорема о
неэффективности
Не представляет труда переформулировать для экономики с экстерналиями понятие Паре-
то-эффективности. По аналогии с классической моделью доказывается утверждение, ха-
рактеризующее Парето-оптимальные состояния экономики с экстерналиями: допустимое
^^
состояние (x, y) является Парето-оптимумом тогда и только тогда, когда оно является
решением следующих m задач (i0 = 1,...,m):
ui (x, y) > max(x, y)
0



ui(x, y) > ui = ui(x, y) ?i ? I, i ? i0,
^ ^^
xi ? Xi ?i ? I,
gj(y, x) > 0 ?j ? J,

¤(xik – ?ik) = ¤ yjk ?k ? K.
i?I j?J

На основе этого свойства Парето-оптимального состояния можно получить его диффе-
ренциальную характеристику. Лагранжиан этой задачи для некоторого i0 имеет вид:

L = ¤?iui(x, y) + ¤µj gj(y, x) + ¤ ?k (¤j yjk – ¤i(xik – ?ik))
i?I j?J k?K

Условия первого порядка для внутренних решений имеют вид:
?us(x, y) ?gj(y, x)
^^ ^^
?L
¤ ?s ¤ µj – ?k = 0 ?i, k, (5)
= +
?xik s?I ?xik ?xik
j?J

?ui(x, y) ?gs(y, x)
^^ ^^
?L
= ¤ ?i + ¤ µs + ?k = 0 ?j, k. (6)
?yjk i?I ?yjk ?yjk
s?J

Здесь и в дальнейшем мы будем предполагать, что существует благо k0, обладающее сле-
дующими свойствами:
- благо k0 не порождает внешние влияния, т.е.
k0 ? Ei ?i ? I и k0 ? Ej ?j ? J,
- в рассматриваемом состоянии экономики (1)
?ui ?gj
> 0 ?i ? I и < 0 ?j ? J.
?xik ?yjk
0 0



Такое благо может играть роль естественной единицы счета для экономики114.
Если в рассматриваемом оптимуме Парето существует подобное благо, то, как можно
проверить, выполнены условия регулярности теоремы Куна—Таккера, и можно считать,
что ?i = 1 (для всех i0 = 1, ..., m). Это позволяет исключить из полученных соотношений
0

множители Лагранжа и представить дифференциальную характеристику в терминах пре-
дельных норм замещения.

114
Естественно интерпретировать это благо как время потребителей, которое они могут использовать как
рабочее время и как досуг.

345
346
Из условий первого порядка для блага k0 получим
?k
?i = ?i ? I,
0


?ui(x, y)/?xik
^^ 0




?k
µj = – ?j ? J.
0


?gj(y, x)/?yjk
^^ 0




Кроме того, для потребителя i0 соотношение ?L/?xi k = 0 можно записать в виде 00



?ui (x, y)
^^
= ?k .
0


?xi k 0
00



Следовательно, ?k > 0. (Таким образом, множители Лагранжа ?i и µj все положительны).
0

Произведя подстановку, получим следующую дифференциальную характеристику Паре-
то-границы в экономике с экстерналиями:
?ui/?xik ?u /?xik ?g /?xik ?k
+¤ s –¤ j (7)
=,
?ui/?xik s?i ?us/?xsk j?J ?gj/?yjk ?k
0 0 0 0




?gj/?yjk ?u /?y ?g /?y ?
– ¤ i jk + ¤ s jk = k . (8)
?gj/?yjk i?I ?ui/?xik s?j ?gs/?ysk ?k
0 0 0 0



Из (7) в частности, для каждой пары потребителей, i1 и i2, и любого блага k выполнено
?ui/?xi k ?g /?xi k ?u /?xi k ?g /?xi k
¤ –¤ j =¤ i –¤ j . (9)
1 1 2 2


i?I ?ui/?xik j?J ?gj/?yjk i?I ?ui/?xik j?J ?gj/?yjk
0 0 0 0



Аналогичное соотношение справедливо для любой пары экономических субъектов, по-
требителей или производителей.
Сравним полученную дифференциальную характеристику Парето-оптимальных состоя-
ний для экономики с экстерналиями с дифференциальной характеристикой рыночного
равновесия
---
(p, x, y)
в этой экономике (в предположении, что такое равновесие существует). Как и выше, бу-
дем предполагать, что существует благо k0, такое что выполнены условия (1).
Здесь мы делаем обычное для моделей с экстерналиями предположение, что экономиче-
ские субъекты считают экстерналии, которые на них влияют, фиксированными (экзоген-
ными, величина которых не зависит от их решений). Таким образом, экономический субъ-
ект максимизирует свою целевую функцию только по «своим» переменным.
Так, i-й потребитель максимизирует полезность по своему потребительскому набору xi.
Задача потребителя имеет вид:
ui(xi, x–i, y) > max x i


pxi < ?i,
xi ? Xi.
А j-й производитель максимизирует прибыль, выбирая объем производства yj, т.е. решает
следующую задачу:
pyj > max y j


gj(yj, y–j, x) > 0.
Как несложно показать, цена блага k0 во внутреннем равновесии положительна. Диффе-
ренциальная характеристика рыночного равновесия имеет привычный вид:
346
347
?ui(x, y)/?xik pk
-- -
= , ?i ? I,
?ui(x, y)/?xik pk
-
-- 0
0




?gj(x, y)/?yjk pk
-- -
= , ?j ? J,
?gj(x, y)/?yjk pk
-
-- 0
0




где k — произвольное благо.
Отсюда следует, что для любой пары потребителей, i1 и i2, выполнено
?ui /?xi k ?ui /?xi k
(10)
= .
1 1 2 2


?ui /?xi k ?ui /?xi k
1 10 2 20



Сравнивая дифференциальные характеристики равновесия и Парето оптимума, мы видим,
что левая часть соотношения (10) является одним из слагаемых левой части соотношения
(9). То же самое можно сказать про правые части. Из общих соображений трудно ожидать,
что одно из этих соотношений влечет за собой другое. Вполне может оказаться, что эти
две дифференциальные характеристики несовместны. Несовместность дифференциальных
характеристик означала бы, что справедливо утверждение, противоположное по смыслу
теоремам благосостояния, то есть аналоги теорем благосостояния для такой экономики
были бы неверны.
С другой стороны, сложно выявить достаточно общие условия, которые гарантировали
бы, что дифференциальные характеристики рыночного равновесия и Парето-оптимума
несовместны в экономике с экстерналиями. Это связано с тем, что деятельность любого
экономического субъекта в общем случае может влиять на любого другого экономическо-
го субъекта, и структура взаимосвязей в экономике с экстерналиями может быть слишком
сложной, чтобы позволить делать однозначные выводы. По-видимому, нельзя обойтись
без того, чтобы предположить некоторого рода «регулярное» поведение производных по
экстерналиям. Следующая теорема использует один из возможных наборов таких предпо-
ложений (несомненно, эти предположения можно было бы ослабить).

Теорема 1.
Пусть (x, y) — допустимое состояние экономики с экстерналиями такое, что xi ? int(Xi)
?i, функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Пусть, кроме
того,
• существует благо k0, для которого выполнены условия (1);
• все экстерналии, связанные с объемом производства производителем j* блага k* (yj k ),
**


неотрицательные в том смысле, что
?ui(x, y)
> 0, ?i,
?yj k **




?gj(x, y)
> 0, ?j ? j*,

<< Предыдущая

стр. 78
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>