<< Предыдущая

стр. 79
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?yj k**




причем хотя бы одно неравенство строгое;
• потребление хотя бы одним потребителем i0 блага k* (xi k ) не порождает внешние
*
0

влияния, т.е. k* ? Ei .
0



Тогда следующие два утверждения не могут быть верными одновременно:
1) Существуют цены p и распределение собственности, такие что (p, x, y) — рыночное
равновесие этой экономики.
2) Состояние (x, y) — Парето-оптимум этой экономики.

347
348

Доказательство.
Пусть рассматриваемое состояние является Парето-оптимальным. Тогда для k = k* и j = j*
выполняется соотношение (8). Поскольку мы предположили, что экстерналии, связанные
с yj k , положительные, и, кроме того, производные, связанные с благом k0, ?ui/?xik и
**
0


?gj/?yjk положительны и отрицательны соответственно, то сумма «экстернальных слагае-
0

мых» в левой части уравнения (8) больше нуля. Это означает, что
?gj (y, x)/?yj k ?k
* ** *

<.
?gj (y, x)/?yj k ?k
* *
0 0



Кроме того, для k = k* и i = i0 в уравнении (7) по предположению нет слагаемых, связанных
с экстерналиями, т.е. его можно записать в виде
?ui (x, y)/?xi k ?k * *

=
0 0


?ui (x, y)/?xi k ?k
0 00 0



Окончательно получаем
?gj (y, x)/?yj k ?ui (x, y)/?xi k
* ** *

.
< 0 0


?gj (y, x)/?yj k ?ui (x, y)/?xi k
* *
0 0 00



С другой стороны, если бы рассматриваемое состояние было равновесием, то в нем то же
самое соотношение должно было бы выполняться как равенство:
?gj (y, x)/?yj k ?ui (x, y)/?xi k
* ** *

.
= 0 0


?gj (y, x)/?yj k ?ui (x, y)/?xi k
* *
0 0 00



Отсюда следует доказываемое утверждение о том, что (x, y) не может быть одновременно
равновесием и Парето-оптимумом.
*

Замечание.
В данной теореме мы предположили, что экстерналии положительны, связаны с произ-
водством, и существует потребитель, потребление которым того же блага не создает
экстерналий. Все эти три предположения можно изменить, то есть рассмотреть отрица-
тельные экстерналии и/или экстерналии, связанные с потреблением, и/или предполо-
жить существование производителя, производство которым того же блага не создает
экстерналий. Теорема при этом остается верной. Доказательство проводится аналогично.


Замечание.
Хотя теорема одна, но она противоположна обеим теоремам благосостояния. Ее можно
переформулировать двумя способами:
1) Равновесие в экономике с экстерналиями не может быть Парето-оптимальным.
2) Парето-оптимум в экономике с экстерналиями нельзя реализовать как рыночное рав-
новесие (ни при каких ценах и распределении доходов).


---
Неоптимальность равновесия (p, x, y) в условиях Теоремы 1 можно подтвердить также,
˜˜
подобрав Парето-улучшение — другое допустимое состояние экономики, (x, y), которое
-- ˜˜
доминирует по Парето состояние (x, y). При этом Парето-улучшение (x, y) мы можем
подобрать так, что в нем производство положительных экстерналий yj k строго больше,
**



чем в рассматриваемом равновесии.

348
349
Если же все экстерналии связанные с некоторой переменной yj k отрицательные, то анало-
**



гичным образом можно подобрать Парето-улучшение так, что в нем производство экстер-
налий строго меньше, чем в рассматриваемом равновесии. Верны и аналогичные утвер-
ждение для благ, вызывающих экстерналии в потреблении. Доказательство этих утвер-
ждений мы опускаем, проиллюстрировав их для конкретных примеров экономик с экстер-
налиями.
Проиллюстрируем проведенный анализ частным случаем экономики с экстерналиями.
Пример 2. [Маленво]( Общее равновесие; экстерналии в производстве)
Рассмотрим экономику с 3 товарами, 1 (репрезентативным) потребителем и 2 производи-
телями. Производитель j = 1, 2 производит только j-ый продукт, используя единственный
производственный фактор — труд. Будем обозначать объемы производства y1 и y2, а за-
траты труда — a1 и a2 соответственно.115 Будем предполагать также, что технологии пред-
ставимы явными производственными функциями следующего вида:
y1 < f1(a1, y2),
y2 < f2(a2, y1).
то есть выпуск каждого блага при тех же затратах труда зависят от выпуска другого блага,
что означают имеют место экстерналии.
Предпочтения потребителя заданы функцией полезности u(x1, x2, x3), зависящей от объе-
мов потребления двух производимых в данной экономике благ, x1 > 0 и x2 > 0, и досуга x3 >
0. Потребитель обладает только запасом ? 3-го блага (времени).
Функция полезности и производственные функции в дифференцируемы. Кроме того, про-
изводные этих функций везде имеют «естественные» знаки, а именно:
?f2 ?f ?u ?u ?u
> 0, 1 > 0, > 0, > 0, > 0.
?a2 ?a1 ?x1 ?x2 ?x3
Балансовые ограничения в рассматриваемой экономике имеют вид:
y1 = x1,
y2 = x2,
a1 + a2 + x3 = ?.
Парето-оптимальные состояния данной экономики116,
^^^^^^^
(x1, x2, x3, y1, y2, a1, a2),
должны быть решениями следующей задачи:117
u(y1, y2, ? – a1 – a2) > max(y , y , a , a )
1 2 1 2



y1 < f1(a1, y2),
y2 < f2(a2, y1),


115
Заметим, что мы здесь отошли от стандартного представления производства в терминах чистых выпусков
и несколько упростили обозначения, т.е. перешли к новым переменным: yj = yjj (j = 1, 2), aj = –yj3.
116
Скорее всего, для конкретных функций в рассматриваемой экономике будет только одно Парето-опти-
мальное состояние. Но это нам в данном случае не важно.
117
Данная задача получена на основе конкретизации для данной экономики характеристики Парето-
оптимума и замены переменных.

349
350
y1 > 0, y2 > 0,
a1 + a2 < ?.
Задача, характеризующая Парето-оптимум, здесь одна, т.к. потребитель один. Лагранжиан
этой задачи имеет вид:
L(y1, y2, a1, a2, µ1, µ2) =
= u(y1, y2, ? – a1 – a2) + µ1(f1(a1, y2) – y1) + µ2(f2(a2, y1) – y2)
Будем предполагать, что решения этой задачи внутренние. Тогда Парето-оптимальное
состояние можно охарактеризовать следующими соотношениями:
?u ?f
– µ1 + µ2 2 = 0
?x1 ?y1
?u ?f
+ µ1 1 – µ2 = 0
?x2 ?y2
?u ?f
+ µ1 1 = 0

?x3 ?a1
?u ?f
+ µ2 2 = 0

?x3 ?a2
Поскольку предельный продукт труда положителен, можно записать множители Лагранжа
как
?u/?x3 ?u/?x3
µ1 = , µ2 =
?f1/?a1 ?f2/?a2
и получить следующую характеристику Парето-оптимума:
?u ?u/?x3 ?u/?x3 ?f2
– + =0
?x1 ?f1/?a1 ?f2/?a2 ?y1
?u ?u/?x3 ?f1 ?u/?x3
+ – =0
?x2 ?f1/?a1 ?y2 ?f2/?a2
Или, разделив на положительную предельную полезность досуга ?u/?x3,
?u/?x1 ?f /?y
1
– 2 1,
=
?u/?x3 ?f1/?a1 ?f2/?a2
?u/?x2 ?f /?y
1
– 1 2.
=
?u/?x3 ?f2/?a2 ?f1/?a1
Теперь охарактеризуем рыночные равновесия в данной экономике, при которых все блага
потребляются в положительных количествах (внутренние равновесия). Пусть
-------
(p1, p2, p3, x1, x2, x3, y1, y2, a1, a2) —
равновесие. Выпуск -j и затраты труда aj являются решением следующей задачи (макси-
-
y
мизации прибыли j-го производителя):
?j = pjfj(aj, y–j) – p3aj > maxa .
- j




Поэтому в равновесии
1 p 1 p
= p1 и = p2,
?f1/?a1 ?f2/?a2
3 3

350
351
то есть предельные нормы трансформации равны отношениям цен.
С другой стороны, функция Лагранжа для задачи потребителя имеет вид
L = u(x1, x2, x3) + ?(? – (p1x1 + p2x2 + p3x3)).
Дифференцируя ее по x1, x2 и x3 и упрощая полученные условия первого порядка, полу-
---
чим обычную характеристику потребительского набора (x1, x2, x3) — равенство отноше-
ния предельных полезностей отношению цен:
?u/?x1 p1 ?u/?x2 p2
=и =.
?u/?x3 p3 ?u/?x3 p3
Поэтому в равновесии
?u/?x1 1
,
=
?u/?x3 ?f1/?a1
?u/?x2 1
.
=
?u/?x3 ?f2/?a2
Если хотя бы одна из производных ?f1/?y2 и ?f2/?y1, характеризующих предельный эф-
фект внешнего влияния, в состоянии равновесия, не равна нулю, то сравнивая дифферен-
циальные характеристики, мы можем сделать вывод, что равновесие не может быть Паре-

<< Предыдущая

стр. 79
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>