<< Предыдущая

стр. 8
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Как видно из приведенных выше вариантов теоремы существования функции полезности,
требование непрерывности достаточно сильно, так как помимо существования функции
полезности мы получаем еще и дополнительное свойство ее непрерывность. Но, с другой
стороны, непрерывность функции полезности свойство, значение которого трудно пере-



36
37

оценить. Его наличие автоматически21 дает нам существование функции спроса потреби-
теля в большинстве задач, которые будут нас интересовать.
В заключение данного раздела остановимся на вопросе о нетранзитивных предпочтениях.
Как обсуждалось выше, условие транзитивности является ограничительным при модели-
ровании поведения потребителя. Поэтому, вполне естественным задаваться вопросом о
свойствах предпочтений и о существовании функции полезности в случае, если строгое
отношение предпочтения } не обладает свойством отрицательной транзитивности, или,
что эквивалентно, что отношение нестрогого отношения предпочтения } не обладает
_
свойством транзитивности. Естественно, как показывает приведенная выше Теорема 4,
при отсутствии предположения транзитивности функции полезности в смысле Определе-
ния 4 не существует, но, тем не менее, даже в этом случае, можно построить некоторый
индикатор полезности заданный на парах альтернатив упорядочивающий потребитель-
ские наборы тем же образом, что и отношение предпочтения.


Теорема 9.
Пусть на X? K задано полное отношение предпочтения } и, кроме того, } замкнуто в  
_ _
?  K. Тогда существует непрерывная функция k: X? X>  такая, что
K


(1) k(x, y) > 0 тогда и только тогда, когда x } y;
(2) k(x, y) < 0 тогда и только тогда, когда y } x;
(3) k(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x ˜ y;
(4) k(x, y) = – k(y,x).


Доказательство:
Пусть }–1 – множество, задаваемое по правилу
_
}–1={(x, y)? X? X | (y, x)? }}.
_ _
Определим множество безразличия I = } ] }–1 на X. Отметим, что в силу полноты отно-
__
шения } это множество непусто (Почему?). Далее, для любой пары (x, y)? X? X опре-
_
делим функцию
d?(x, y)=inf(x?, y?)?I d((x, y), (x?, y?)),
где d(x, y) – евклидово расстояние на  K?  K. Теперь покажем, что так определенная
функция является непрерывной. Для любой пары x, y ? X? X и z?I в силу неравенства
˜˜ ˜
треугольника имеем d(x,z) < d(x,y) + d(y,z). Следовательно,
˜˜ ˜˜ ˜˜
inf z?I d(x,z) < d(x,y) + d(y,z).
˜˜ ˜˜ ˜˜
˜

˜
Так как сейчас левая часть выражения не зависит от z, то
inf z?I d(x,z) < d(x,y) + inf z?I d(y,z).
˜˜ ˜˜ ˜˜
˜ ˜

Аналогично получаем
inf z?I d(y,z) < d(x,y) + inf z?I d(x,z).
˜˜ ˜˜ ˜˜
˜ ˜

Комбинируя два последних неравенства, находим

21
Вспомните о теореме Вейерштрасса.

37
38

| inf z?I d(y,z) – inf z?I d(x,z)| < d(x,y),
˜˜ ˜˜ ˜˜
˜ ˜

что и означает непрерывность функции d?(x, y).
Далее положим k(x, y) = d?(x, y), если x } y и k(x, y) = - d?(y, x), если y } x. Теперь
_ _
покажем, что так определенная функция удовлетворяет условиям теоремы.
(1?) Пусть k(x, y) > 0. Тогда в силу d?(x, y)>0 и определения величины k(x, y) имеем,
что x } y. Очевидно, что x˜y (т.е. (x,y)?I) быть не может, так как в этом случае d?(x,
_
y)=0, а значит и k(x, y)=0. Таким образом, x } y.
(1?) Пусть нашлись x, y? X такие, что x } y. В силу замкнутости отношения } в  K?  K
_
, имеем, что I замкнутое множество в  K?  K. Следовательно, дополнение к I множест-
во открытое, и, значит, найдется ?–окрестность точки (x, y), содержащаяся в этом допол-
нении. По определению k(.,.) это означает, что k(x, y) > ? > 0.
(2) Доказательство пункта 2 аналогично приведенному выше.
(3) Доказательство данного пункта оставляется читателю в качестве упражнения.
(4) Свойство k(x, y) = – k(y,x) выполнено по построению функции k(. , .).
*
Так построенная функция может считаться обобщенной функцией полезности представ-
ляющей отношение предпочтения }. В отличие от ранее определенной функции полезно-
_
сти u(.), функция k(.,.) не сопоставляет числовое значение альтернативе из X, а лишь ука-
зывает для каждой пары альтернатив из X наиболее предпочтительную. Отметим, однако,
что если предпочтения представимы функцией полезности u(.), то в качестве k(x, y)
можно взять функцию u(x) – u(y). Очевидно, что если в качестве базового индикатора
полезности взять функцию k(x, y), то возможно систематическое построение микроэко-
номической теории на основе нетранзитивных предпочтений.22
В дальнейших параграфах мы больше не будем касаться случая нетранзитивных предпоч-
тений и рассмотрим вариант теории, где за основу взята система неоклассических пред-
почтений, т.е. тех, где строгое отношение удовлетворяет свойствам асимметричности и
отрицательной транзитивности, а нестрогое отношение предпочтения свойствам полноты
и транзитивности.

Задачи
22. Алина Александровна Алексашенко предложила следующее определение функции
полезности: Будем называть u(.): X>  функцией полезности потребителя, соответствую-
щей системе неоклассических предпочтения {}, }, ˜}, если для всякой пары альтернатив
_
x, y ? X отношение x}y верно тогда и только тогда, когда u(x) > u(y). Будет ли оно эк-
вивалентно определению, приведенному в тексте? Ответ аргументируйте.


23. Покажите, что суперпозиция строго возрастающей функции и функции полезности,
представляющей некоторое отношение предпочтения }, также является функцией полез-
_
ности, представляющей это отношение предпочтения. Какие из нижеприведенных функ-
ций могут выступать в качестве такого преобразования?
a) f(x)=x2; b) f(x) = x3+x; c) f(x)= x; d) f(x)= ex.

22
Смотри, например, Wayne J. Shafer, The Nontransitive Consumer, Econometrica, 42(5), 1974

38
39

Приведите пример, показывающий, что требование строгого возрастания не может быть
ослаблено до возрастания.


24. Пусть } — полное и транзитивное бинарное отношение, заданное на множестве X.
_
Для каких из нижеприведенных множеств X это отношение может быть представлено
некоторой функцией полезности?
n
a) X={x?  | xi — целые числа};
b) X={x?  | 0 <xi<1};
n


n
c) X=  ;
n
d) X= + ;
n
e) X={x?  | xi — иррациональные числа};
n
f) X={x?  | xi =a 2 + b 3, где a и b любые рациональные числа}.


25. Покажите, что если система неоклассических предпочтений задана на конечном мно-
жестве альтернатив, то в этом множестве существует, как наименьший, так и наибольший
элемент.


26. В теореме 5 докажите, что построенная функция является функцией полезности.


27. Пусть допустимое множество альтернатив состоит из 4 альтернатив X={a, b, c, d}. На
этом множестве задано следующее отношение предпочтения: }={( a, d), (b, d), (d, c), (b,
_
a), (a, c), (b, c)}. Можете ли вы построить функцию полезности представляющую данные
предпочтения? Если нет, то почему? Если да, то постройте.


28. Борис Бенедиктович Бахвалин на основании полного, транзитивного и непрерывного
отношения предпочтения построил следующую функцию полезности:
x1x2, если x1+x2< 1
2
?
?
.
x2)=?
u(x1, 2
x1x2+15, иначе
?
?

Покажите, что эта функция не является непрерывной. Нет ли здесь противоречия с непре-
рывностью предпочтений? Возможно ли на основании этих же предпочтений построить
непрерывную функцию? Если да, то постройте ее, если нет, то поясните, почему построе-
ние невозможно.


29. Пусть X– множество альтернатив, на котором задано полное и транзитивное бинарное
отношение }. Докажите, что если множество кривых безразличия счетно, то существует
_
функция полезности представляющая }._


30. Покажите, что если функция полезности u(x) непрерывна, то нестрогое отношение
предпочтения }, породившее эту функцию, также является непрерывным.
_



39
40

31. Закончите доказательство теоремы 6, показав, что для построенных окрестностей Vx и
Vy, справедливо, что для любых a?Vx и b?Vy выполнено a } b.


32. Пусть X= X1? X2, где X1={1, 2,...}, а X2 — множество всех рациональных чисел меж-
ду 0 и 1. Пусть на парах из X введено лексикографическое упорядочение. Докажите, что
существует функция полезности, отвечающая этому упорядочению. Запишите ее явную
формулу.


33. Рассмотрите следующие отношения R, заданные на  ++:
2


a) (x1,x2) R (y1, y2) ? (x1 – x2)(y1 – y2) > 0;
xx
b) (x1,x2) R (y1, y2) ? y1 > y2;
1 2

c) (x1,x2) R (y1, y2) ? x1x2 > y1 y2;
d) (x1,x2) R (y1, y2) ? min{x1 + x2, y1 + y2} >0;
e) (x1,x2) R (y1, y2) ? min{x1, x2}– min{y1, y2}>0;
f) (x1,x2) R (y1, y2) ? x1x2> min{ y1, y2}.
Какие из них представимы функцией полезности? Попытайтесь записать явную форму
этой функции полезности.


34. Пусть X состоит из n-мерных векторов с неотрицательными компонентами, а отноше-
ние задано следующим образом: x}y, если все компоненты вектора x не меньше соответ-
_
ствующих компонент вектора y. Существует ли функция полезности, представляющая это
предпочтение?


35. Покажите, что функция полезности монотонна тогда и только тогда, когда монотонно
представляемое ею отношение предпочтения.


36. Дайте графическую иллюстрацию идеи доказательства Теоремы 9.


37. Докажите пункт 3 Теоремы 9.

Свойства предпочтений и функции полезности
При анализе конкретных микроэкономических задач часто возникает необходимость де-
лать дополнительные предположения о предпочтениях или о функциях полезности. В
данном параграфе мы обсудим наиболее часто используемые предположения о свойствах
предпочтений и покажем их связь с соответствующими свойствами функции полезности,
которую эти предпочтения порождают.
В предыдущем параграфе мы уже дали определение ряда важных свойств предпочтений,
а именно, монотонности и строгой монотонности. Иногда, в ситуациях, когда выполнение
этих свойств выглядит ограничительным, предполагается выполнение более слабого свой-
ства – локальной ненасыщаемости. Выполнение этого свойства часто оказывается доста-


40
41

точным для доказательства тех свойств выбора, которые следуют из строгой монотонно-
сти предпочтений.

<< Предыдущая

стр. 8
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>