<< Предыдущая

стр. 80
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

то-оптимальным, и, наоборот, Парето-оптимум невозможно реализовать как равновесие.
?fj/?y–j
Величины , на которые отличаются характеристики равновесия и Парето-опти-
?fj/?aj
мума, показывают (в случае положительных экстерналий), сколько труда можно «сэконо-
мить» при производстве данного блага при увеличении на «малую единицу» производства
другого блага. Рассчитывая оптимальный объем затрат труда, производитель не учитывает
этот эффект.
Из сопоставления ее с характеристикой равновесия можно заключить:
При выполнении условия ?fj/?y–j = 0 в состоянии рыночного равновесия характеристика
равновесия будет иметь такой же вид, как и характеристика Парето-оптимального состоя-
ния. Но поскольку обе эти характеристики представляют необходимые условия, из этого
факта нельзя заключить без дополнительных предположений, что равновесие Парето-
оптимально. Стандартный подход в доказательстве оптимальности рыночного равновесия
опирается предположение о вогнутости производственных функций и функции полезно-
сти. Однако предположение о вогнутости производственных функций по «чужой» пере-
менной (экстерналиям) представляется произвольным и ему нельзя дать столь же естест-
венной интерпретации, как вогнутости по «своей» переменной.
Проиллюстрируем утверждение о неоптимальности производства благ в данном примере,
указав в явном виде Парето-улучшение для равновесного состояния. Построим это в диф-
ференциалах — малый допустимый сдвиг
(dx1, dx2, dx3, dy1, dy2, da1, da2).
из точки равновесия, который бы повышал полезность потребителя.
Чтобы искомый сдвиг был допустимым, он не должен нарушать балансовые и производ-
ственные ограничения. Соответствующие условия получаем дифференцированием этих
ограничений:
dy1 = dx1,
dy2 = dx2,

351
352
da1 + da2 + dx3 = 0.
?f1 ?f
da1 + 1 dy2,
dy1 =
?a1 ?y2
?f2 ?f
da2 + 2 dy1.
dy2 =
?a2 ?y1
Отсюда получаем
dx3 = – da1 – da2 =
?f1 ? ?f2 ?
1? 1?
?dy1 – dy2? – ?dy2 – dy ?,
=–
?f1/?a1 ? ?y2 ? ?f2/?a2 ? ?y1 1?
Полезность потребителя изменится на величину
?u ?u ?u
- - -
du = (x) dx1 + (x) dx2 + (x) dx3.
?x1 ?x2 ?x3
Подставим dxk, выраженные через dyj:
?u ?u
- -
du = (x) dy1 + (x) dy2 –
?x1 ?x2
?u ?f ?f
?1? ? 1? ??
-
(x) ? ? dy1 – 1 dy2? + ? dy2 – 2 dy1?? =

?x3 ??f1/?a1 ? ?y2 ? ?f2/?a2 ? ?y1 ??
?u ???u/?x1 ?f /?y ?
1
?? + 2 1? dy1 +
= –
?x3 ???u/?x3 ?f1/?a1 ?f2/?a2?
??u/?x2 ?f /?y ? ?
1
+? + 1 2? dy2?.

??u/?x3 ?f2/?a2 ?f1/?a1? ?
Учитывая дифференциальную характеристику равновесия, получим, что
?u ??f2/?y1 ?f /?y ?
? dy1+ 1 2 dy2?.
du =
?x3 ??f2/?a2 ?f1/?a1 ?
Если хотя бы одна из производных ?f1/?y2 и ?f2/?y1 не равна нулю, то можно подобрать
изменения объемов производства dy1 и dy2 так, что полезность потребителя увеличится
(du > 0). Это означает, что соответствующее изменение объемов производства определяет
Парето-улучшение. Так, если, например, ?f1/?y2 = 0 (случай одностороннего внешнего
влияния), то если ?f2/?y1 > 0 (случай положительных внешних влияний), то следует dy1 >
0, т.е. локальное Парето-улучшение связано с увеличением производства блага, вызы-
вающего положительные экстерналии в производстве другого блага. Это можно интер-
претировать как локально недостаточное производство положительных экстерналий.
Остается открытым вопрос: является ли производство в равновесии недостаточным по
-^
сравнению также и с Парето-оптимальным состоянием экономики, т.е. верно ли y 1 < y1?
Ответить на этот вопрос можно только при дополнительных предположениях относитель-
но рассматриваемой экономики.
Покажем, что предположение о том, что равновесие внутреннее, существенно для истин-
ности утверждения Теоремы 1.
-
Пусть в равновесии x3 = 0. Тогда в равновесии выполнено следующее соотношение
?u/?x1 ?f2/?a2
.
=
?u/?x2 ?f1/?a1

352
353
В оптимальном состоянии
?f /?y
1
–21
?u/?x1 ?f1/?a1 ?f2/?a2
.
=
?u/?x2 ?f1/?y2
1

?f2/?a2 ?f1/?a1
Эти две характеристики совпадут, если
??f1? ?f2 ??f2? ?f1
2 2

?? =? ?
??a1? ?y1 ??a2? ?y2
Нетрудно придумать конкретные функции, для которых данная характеристика будет дос-
таточным условием Парето-оптимальности, так что равновесие окажется Парето-опти-
мальным.
?
Подчеркнем, что и условие дифференцируемости функций полезности и производствен-
ных функций существенны для справедливости Теоремы 1.
Существуют также и опровергающие примеры с взаимокомпенсацией экстерналий, когда
часть экстерналий, связанных с некоторой переменной положительные, а часть отрица-
тельные.
Возможная неэффективность рыночного равновесия в экономике с экстерналиями часто
служит обоснованием государственного регулирования экономики. Существуют два ос-
новных способа такого регулирования: прямое — количественные ограничения на произ-
водство и потребление благ, вызывающих экстерналии, и непрямое — налогообложение
таких благ. Рассмотрим эти способы подробнее.

Задачи
6. При доказательстве неоптимальности нерегулируемого равновесия в экономике с экс-
терналиями условие внутренности равновесия используется для того, чтобы ...


7. Пусть в экономике обмена есть два потребителя и два блага. Функция полезности вто-
рого потребителя зависит от уровня собственного потребления, а также от уровня полез-
ности первого потребителя. Найдите и сопоставьте дифференциальные характеристики
внутреннего равновесия и внутреннего Парето-оптимума.


8. Для следующих трех экономик
- запишите дифференциальную характеристику Парето-оптимума,
- запишите дифференциальную характеристику равновесия,
- предложите Парето-улучшение в дифференциалах.
(A) [Маленво] В экономике с 2 благами, 2 потребителями и 1 фирмой потребление перво-
го блага является престижным и вызывает зависть у другого потребителя (т.е. имеют ме-
сто отрицательные экстерналии, связанные с потреблением этого блага). Таким образом,
функции полезности имеют вид u(x11, x12, x12) и u(x21, x22, x11). Технология фирмы позволя-
ет производить из единицы второго блага единицу первого блага.
(B) В экономике с двумя благами, предпочтения потребителей i = 1, ..., m заданы функ-
циями полезности

353
354
m
ui(xi, ¤xs, yi).
s=1

Имеется технология, по которой из единицы блага x можно произвести единицу блага y, и
наоборот.
(C) В экономике с двумя благами, 1 потребителем и n фирмами технологии фирм описы-
ваются неявными производственными функциями: gj(yj1, yj2) > 0. Полезность потребителя
зависит от суммарного объема производства 1-го блага:
n
ui(x1, x2, ¤yi1).
j=1



Равновесие с квотами на экстерналии
Определение 2.
Назовем квотой ограничение на производство блага каким-либо производителем или по-
˜ ˜
требление блага каким-либо потребителем вида xik = xik или yjk = yjk.


В дальнейшем будем обозначать через Qi множество благ k, таких что на величину xik их
потребления i-м потребителем установлена квота. Аналогично будем обозначать через Qj
множество благ k, таких что на величину yjk их производства j-м производителем уста-
новлена квота.
При наличии квот задача потребителя i модифицируется следующим образом:
ui(xi, x–i, y) > max x (11)
i


pxi < ?i.
xik = xik ?k ? Qi
˜
xi ? Xi.
Соответственно при наличии квот задача производителя j имеет вид:
pyj > max y (12)
j


yjk = yjk ?k ? Qj
˜
g(yj, y–j, x) > 0.
Введем также обозначение x = {xik | k ? Qi} и y = {yjk | k ? Qj}.
˜˜ ˜˜

Определение 3.
--- ˜ ˜
Назовем (p, x, y) равновесием с квотами (x, {Qi}i, y,{Qj}j) и трансфертами S (¤i Si = 0),
если
- - - -
2 xi — решение задачи потребителя (11) при x–i = x–i, y = y, ценах p, доходах

?i = p?i + ¤ ?ij pyj + Si
- --
j?J

˜
и квотах, определяемых x и Qi;
- - - -
2 yj — решение задачи производителя (12) при x = x, y–j = y–j, ценах p и квотах, опреде-
˜
ляемых y и Qj;
--
2 (x, y) — допустимое состояние, т.е.

¤(xik – ?ik) = ¤ yjk ?k ? K.
- -
i?I j?J

354
355

Для этого равновесия верен аналог второй теоремы благосостояния, т.е. утверждение о
том, что Парето-оптимум экономики с экстерналиями можно реализовать как равновесие.

Теорема 2.
Пусть (x, y) — Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями с Xi =  +.
l
^^
Предположим также, что
• xik > 0 ?i, ?k ? Ei;
^
• функции полезности ui(x, y) дифференцируемы по переменным xik, k ? Ei; производст-
венные функции gj(y, x) дифференцируемы по переменным yjk, k ? Ej;
• существует благо k0, для которого выполнены условия (1);
• функции ui(x, y) вогнуты по переменным xik, k ? Ei; функции gj(y, x) вогнуты по пере-
менным yjk, k ? Ej.
˜˜
Тогда существуют цены p, множества квотируемых благ Qi и Qj, квоты x, y, и трансфер-
^^
ты S, такие что (p, x, y) является равновесием с квотами. При этом множества квоти-
руемых благ можно выбрать так, что Qi = Ei и Qj = Ej.

Доказательство.
Ограничимся схемой доказательства. В предположениях теоремы выполнены условия ре-
гулярности, и можно воспользоваться теоремой Куна—Таккера того, чтобы охарактеризо-
^^
вать Парето-оптимум (x, y). В качестве цен благ возьмем множители Лагранжа для балан-
совых ограничений ?k. В качестве множеств Qi и Qj квотируемых благ выберем любые
множества благ, содержащие все блага из Ei и Ej соответственно. Квоты установим в со-
ответствии с рассматриваемым оптимальным состоянием, т.е. xik = xik ?k ? Qi и yjk = yjk
˜^ ˜^
?k ? Qj.
^
Далее доказывается, что xi является решением задачи (11) при данных ценах и квотах и
доходах ?i= pxi. Действительно, точка xi является допустимой в этой задачи и в ней вы-
^ ^
полнены условия первого порядка, что следует из выполнения условий первого порядка
для оптимума Парето:
?ui(x, y)

<< Предыдущая

стр. 80
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>