<< Предыдущая

стр. 81
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

^^
?i = ?k ?i ?k ? Ei.
?xik
Условия первого порядка в данном случае являются достаточными условиями оптималь-
^
ности. Аналогичным образом доказывается, что yj является решением задачи (12).
^^
Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S, такие что (p, x, y,
˜˜
x, y, S) является равновесием с квотами. Трансферты следует подобрать так, чтобы с их
учетом доходы потребителей были равны расходам, т.е. ?i= pxi. Требуемыми трансферта-
^
ми являются величины

Si = pxi – p ?i + ¤ ?ij pyj.
^ ^
j?J

Несложно проверить, что сумма этих величин равна нулю.
*

Замечание.

355
356
Включив в множество Qi (Qj) все блага, по которым функция полезности ui(x, y) (соот-
ветственно, производственная функция gj(y, x)) не является вогнутой, мы получим вари-
ант доказанной теоремы для случая невыпуклой экономики. Этот прием можно исполь-
зовать и для реализации Парето-оптимума как равновесия в экономике без экстерналий.


Замечание.
Теорема верна и без условия дифференцируемости (2). При этом условие (3) заменяется
на предположение о локальной ненасыщаемости по благам, которые не порождают экс-
терналий.



Равновесие с налогами на экстерналии
В дальнейшем будем рассматривать лишь налоги с единицы экстерналии, выраженные в
деньгах. Обозначим через Pi множество благ k, потребление которых i-м потребителем
облагается налогами. Аналогично через Pj обозначим множество благ k, производство
которых j-м производителем облагается налогами.
Пусть tik — ставка налога на потребление блага k потребителем i. Тогда задача i-го потре-
бителя модифицируется следующим образом:
ui(xi, x–i, y) > max x (13)
i




¤ pk xik + ¤ (pk+ tik)xik < ?i
k?Pi k?Pi
xi ? Xi.
-
Условия первого порядка для внутреннего решения xi данной задачи имеют вид
?ui(xi, x–i, y)
-- -
= ?i pk , ?k ? Pi, (14)
?xik
?ui(xi, x–i, y)
-- -
= ?i (pk+ tik) , ?k ? Pi, (15)
?xik
где ?i — множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению.
Соответственно если tjk — ставка налога на производство блага k производителем j, то
задача производителя j имеет вид:

¤ pk yjk + ¤ (pk– tjk)yjk > max y (16)
j

k?Pj k?Pj
g(yj, y–j, x) > 0.
-
Условия первого порядка для решения yj данной задачи имеют вид
?g(yj, y–j, x)
-- -
?j + pk = 0, ?k ? Pj , (17)
?yjk
?g(yj, y–j, x)
-- -
?j + pk– tjk = 0, ?k ? Pj , (18)
?yjk
где ?j — множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.
Введем обозначения для ставок всех налогов, существующих в экономике, tI ={tik | k ? Pi}
и tJ ={tjk | k ? Pj}, и рассмотрим общее равновесие с такими налогами.


356
357
Определение 4.
---
Назовем (p, x, y) равновесием с налогами (tI,{Pi}i, tJ,{Pj}j) и трансфертами S экономи-
ки с экстерналиями, если
¦ xi — решение задачи потребителя (13) при ценах p, доходах
- -

?i = p ?i + ¤ ?ij pyj + Si,
- --
j?J

налогах, определяемых tI, Pi и объемах потребления и производства других экономиче-
--
ских субъектов x–i, y.
¦ yj — решение задачи производителя (16) при ценах p, налогах, определяемых tj, Pj и
- -
--
объемах производства и потребления других экономических субъектов y–j, x.
¦ (x, y) — допустимое состояние, т.е.
--

¤(xik – ?ik) = ¤ yjk ?k.
- -
i?I j?J

¦ сумма налогов равняется сумме трансфертов

¤ ¤ tikxik + ¤ ¤ tjkyjk = ¤ Si.
- -
i?I k?Pi j?J k?Pj i?I



Приведенное ниже утверждение представляет собой аналог второй теоремы благосостоя-
ния для равновесия с налогами на экстерналии. Оно утверждает, что (при некоторых есте-
ственных условиях) для Парето-оптимального состояния этой экономики можно найти
цены благ и налоги такие, что данное Парето-оптимальное состояние окажется равновеси-
ем с налогами.

Теорема 3.
Пусть (x, y) — Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями с Xi =  +.
l
^^
Предположим также, что
• xik > 0 ?i ?k ? Ei;
^
• функции полезности ui(x, y) и производственные функции gj(y, x) дифференцируемы;
• существует благо k0, для которого выполнены условия (1);
• функции ui(x, y) вогнуты по xi; функции gj(y, x) вогнуты по переменным yj.
Тогда существуют цены p, множества налогооблагаемых благ Pi и Pj, налоги tI, tJ, и
^^
трансферты S, такие что (p, x, y) является равновесием с налогами. При этом множества
налогооблагаемых благ можно выбрать так, что Pi = Ei и Pj = Ej.

Доказательство.
Ограничимся также схемой доказательства. В качестве цены k-го блага pk можно взять
множитель Лагранжа ?k для балансового ограничения. В качестве множеств Pi и Pj обла-
гаемых налогами благ выберем любые множества благ, содержащие все блага из Ei и Ej
соответственно. В качестве ставки налога tik , k ? Pi выберем
?us(x, y) ?gj(y, x )
^^ ^^
tik = – ¤ ?s – ¤ µj ,
?xik ?xik
s?i j?J




357
358
где ?s и µj — множители Лагранжа для задачи, характеризующей рассматриваемый опти-
мум Парето. Ставка налога для блага, не принадлежащего Ps, принимается равной нулю.
^
Далее доказывается, что xi является решением задачи (13) при

?i= pxi + ¤ tikxik,
^ ^
k?Pi

^ ^ ^
x–i = x–i, y = y, данных ценах и введенных налогах. Действительно, точка xi является до-
пустимой в этой задаче. Поскольку задача каждого потребителя является выпуклой, то для
доказательства этого факта достаточно установить, что при этом выполняются условия
первого порядка. Условия первого порядка Парето-оптимума можно переписать следую-
щим образом:
?ui(x, y)
^^
?i = pk + tik , ?k ? Pi,
?xik
?ui(x, y)
^^
?i = pk , ?k ? Pi.
?xik
1
Но это и есть условия первого порядка в задаче потребителя при ?i, равном .
?i
Аналогично в качестве ставки налога tjk , k ? Pj выберем
?ui(x, y) ?gs(y, x )
^^ ^^
tjk = – ¤ ?i – ¤ µs ,
?yjk ?yjk
i?I s?j

а ставку налога для блага, не принадлежащего Ps, примем равной нулю. Далее доказыва-
^ ^ ^
ется, что yj является решением задачи (12) при данных ценах и x = x и y–j = y–j.
Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S. Легко видеть, что
требуемыми трансфертами являются величины

Si = pxi + ¤ tikxik – (p?i + ¤?ij(pyj – ¤ tjkyjk)).
^ ^ ^ ^
k?Pi j?J k?Pj

Их сумма равна, как и требуется, величине

¤ ¤ tikxik + ¤ ¤ tjkyjk ,
^ ^
i?I k?Pi j?J k?Pj

и с учетом этих трансфертов доходы потребителей равны

?i= pxi + ¤ tikxik,
^ ^
k?Pi

^
то есть ровно столько, сколько необходимо для покупки набора xi.
*

Замечание.
Ставка налога может оказаться величиной отрицательной. Это, в частности, будет иметь
место когда потребление (производство) данного блага вызывает только положительные
экстерналии. Содержательно это означает, что потребителю (производителю) выплачи-
вается дотации по соответствующей ставке.
Замечание.


358
359
Теорема верна и без условия дифференцируемости. При этом условие (1) заменяется на
предположение о локальной ненасыщаемости.

В следующем утверждении описаны условия, при которых равновесия с налогами Парето-
оптимальны. Таким образом, это утверждение представляет собой вариант первой теоре-
мы благосостояния для такой экономики. Условия оптимальности равновесия с налогами,
--
(x, y), имеют вид следующего правила Пигу:
?us(x, y)/?xik ?gj(y, x)/?xik
-- --
tik
= –¤ +¤ , ?i, ?k ? Pi , (T )
s?i ?us(x, y)/?xsk j?J ?gj(y, x)/?yjk
-- --
pk 0 0 0




?ui(x, y)/?yjk ?gs(y, x)/?yjk
-- --
tjk
= –¤ +¤ , ?j, ?k ? Pj.
i?I ?ui(x, y)/?xik s?j ?gs(y, x)/?ysk
-- --
pk0 0 0




Если равновесие с налогами на экстерналии Парето-оптимально и удовлетворяет правилу
Пигу, то соответствующие налоги называют налогами Пигу118.

Теорема 4.
---
Предположим, что (p, x, y) — равновесие с налогами (tI, {Pi}i, tJ, {Pj}j) и трансфертами
S экономики с экстерналиями и, кроме того,
• xi ? int(Xi) (равновесие внутреннее)
-
• все блага, порождающие экстерналии, облагаются налогами, т.е. Ei ? Pi и Ej ? Pj.
• функции полезности и производственные функции дифференцируемы;

<< Предыдущая

стр. 81
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>