<< Предыдущая

стр. 82
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

• существует благо k0, для которого выполнены условия (1).
Тогда,
(i) если функции полезности и производственные функции вогнуты, то чтобы это равно-
весие с налогами было Парето-оптимальным, достаточно, чтобы налоги удовлетворяли
правилу Пигу (T );
(ii) если равновесие с налогами Парето-оптимально, и для каждого блага k существует
хотя бы один потребитель i (или производитель j), для которого потребление (или про-
изводство) данного блага не облагается налогом, т.е. k ? Pi (k ? Pj), то налоги должны
удовлетворять правилу Пигу (T ).

Доказательство.
(i) Нам нужно показать, что найдутся числа {?i}i, {µj}j, {?k}k , ?i > 0, µj > 0, такие что для
них выполнены соотношения (5)-(6) (дифференциальная характеристика Парето-
оптимума экономики с экстерналиями). По обратной теореме Куна—Таккера при вогну-
тости функций полезности и производственных функций выполнение этих соотношений
— достаточное условие максимума для каждой из задач, характеризующих Парето-
оптимальные состояния экономики с экстерналиями.
Воспользуемся дифференциальной характеристикой равновесия с налогами (14)-(15) и
(17)-(18). Множители Лагранжа выберем следующим образом:
?i = 1/?i, µj = ?j, ?k = pk.
-



118
Pigou, A. C. The economics of welfare, London: Macmillan, 1932 (рус. пер. А. Пигу, «Экономическая теория
благосостояния», М.: Прогресс, 1985).

359
360
Поскольку по предположению все блага, не облагаемые налогами, т.е. k ? Pi и k ? Pj, не
порождают экстерналий, то дифференциальные характеристики Парето-оптимума для них
имеют вид:
?ui ?g
?i = ?k, ?i, µj j + ?k = 0, ?j .
?xik ?yjk
Легко проверить, что они выполнены при выполнении соотношений (14) и (17).
Кроме того, из (14) и (17) при k = k0 имеем
-
pk
1
?i = =
0
> 0,
?i ?ui/?xik 0




-
pk
µj = ?j = –
0
> 0,
?gj/?yjk 0



откуда получаем следующие выражения для налогов, указанных в условии теоремы:
?us ?g
tik = – ¤ ?s – ¤ µj j .
?xik j?J ?xik
s?i

?ui ?g
tjk = – ¤ ?i – ¤ µs s .
?yjk s?j ?yjk
i?I

Подставляя их в дифференциальные характеристики равновесия с налогами (15) и (18),
убеждаемся в том, что дифференциальные характеристики Парето-оптимума (5)-(6) вы-
полнены.
(ii) Для любого k ? k0 существует экономический субъект, потребление (производство)
которым этого блага не облагается налогом. Предположим, например, что это потребитель
i. (Для случая, если таким экономическим субъектом является производитель, рассужде-
ния аналогичны, что читателю предлагается проверить самостоятельно.) Из условий пер-
вого порядка задачи потребителя i следует, что
-
?ui/?xik pk
=.
?ui/?xik pk
- 0
0



С другой стороны, потребление этим потребителем благ k и k0 не порождает экстерналий
и поэтому из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что
?ui/?xik ?k
=.
?ui/?xik ?k 0 0



Это означает, что pk/pk = ?k/?k , т.е. множители Лагранжа пропорциональны ценам.
-- 0 0



Для произвольного потребителя i и блага k, потребление которого данным потребителем
облагается налогом (k ? Pi), имеем из условия первого порядка задачи потребителя
-
?ui/?xik pk + tik
= .
?ui/?xik -
pk 0
0



С другой стороны, из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что
?ui/?xik ?u /?xik ?g /?xik ?k
+¤ s –¤ j =.
?ui/?xik s?i ?us/?xsk j?J ?gj/?yjk ?k
0 0 0 0



Производя соответствующие замены, получим требуемый результат:


360
361
?u /?xik ?g /?xik
tik
= –¤ s +¤ j
s?i ?us/?xsk j?J ?gj/?yjk
-
pk0 0 0



Аналогично, для произвольного производителя j и блага k, производство которого дан-
ным производителем облагается налогом (k ? Pj), имеем
-
?gj/?yjk pk – tjk
.
=
?gj/?yjk -
pk 0
0



и
?gj/?yjk ?u /?y ?g /?y ?
+ ¤ i jk – ¤ s jk = – k ,

?gj/?yjk i?I ?ui/?xik s?j ?gs/?ysk ?k
0 0 0 0



откуда следует, что
?u /?y ?g /?y
tjk
= – ¤ i jk + ¤ s jk , ?j, ?k ? Pj.
i?I ?ui/?xik s?j ?gs/?ysk
-
pk 0 0 0




*

Замечание.
Хотя по условиям теоремы множество благ, потребление (производство) которых обла-
гается налогами, не обязано совпадать с множеством благ, порождающих экстерналии,
ставки налога на блага, не порождающие экстерналии (блага из множеств Pi\Ei и Pj\Ej)
оказываются равными нулю. Из этого, фактически, следует, что множества налогообла-
гаемых благ должны включать блага, порождающие экстерналии, и только их.
Замечание.
Предположение о том, что для каждого блага k существует хотя бы один потребитель i
(или производитель j), для которого потребление (или производство) данного блага не
облагается налогом, т.е. k ? Pi (k ? Pj) фактически оказывается необходимым для спра-
ведливости второй части теоремы. В ситуациях, когда оно не выполняется, поведение
потребителя i, а следовательно и равновесие, не зависят от того, какую часть цены pk +
tik, с которой он сталкивается, данный потребитель выплачивает в качестве налога, а ка-
кую — в качестве рыночной цены.

Пример 3 (продолжение Примера 2)
Введем в экономику Примера 2 t1 и t2 — налоги на выпуски 1-го и 2-го предприятия соот-
ветственно. Охарактеризуем внутренние равновесия с налогами. Пусть
-------
(p1, p2, p3, x1, x2, x3, y1, y2, a1, a2, t1, t2) —
такое равновесие. Задача максимизации прибыли j-го производителя имеет следующий
вид:
?j = (pj – tj) fj(aj, y–j) – p3aj > maxa .
- j




Дифференцируя по aj, получаем условия первого порядка для решения этой задачи:
1 p –t 1 p –t
= 1p 1 и = 2p 2,
?f1/?a1 ?f2/?a2
3 3


то есть предельные нормы трансформации равны отношениям цен, с которыми сталкива-
ется производитель, т.е. цен с учетом налогов.
Вид условий первого порядка задачи потребителя не изменится, так как потребитель не
облагается налогом
361
362
?u/?x1 p1 ?u/?x2 p2
=и =.
?u/?x3 p3 ?u/?x3 p3
Из полученной дифференциальной характеристики равновесия имеем следующие соот-
ношения:
?u/?x1 1 t
+ p1 ,
=
?u/?x3 ?f1/?a1 3
?u/?x2 1 t
+ p2 .
=
?u/?x3 ?f2/?a2 3
Для того, чтобы равновесие было Парето-оптимальным, необходимо, чтобы
?u/?x1 ?f /?y
1
– 2 1,
=
?u/?x3 ?f1/?a1 ?f2/?a2
?u/?x2 ?f /?y
1
– 1 2,
=
?u/?x3 ?f2/?a2 ?f1/?a1
т.е.
?f /?y
t1
= – 2 1,
?f2/?a2
p3

?f /?y
t2
= – 1 2.
?f1/?a1
p3

Заметим, что если предпочтения потребителя выпуклы, то такие ставки налогов гаранти-
руют Парето-оптимальность равновесия с налогами.
?

Задачи
9. В квазилинейной экономике с экстерналиями функции полезности двух потребителей
имеют вид
u1 = 2 x1 + z1 и u2 = 2 x2 – x1 + z2,
а функция издержек единственного предприятия имеет вид c(y) = y. Начальные запасы
первого блага (блага x) равны нулю. Охарактеризуйте Парето-оптимальные состояния
данной экономики. Найдите равновесие и налоги Пигу.


10. В квазилинейной экономике с экстерналиями функции полезности двух потребителей
имеют вид
u1 = 2 x1 + z1 и u2 = 2 x2 + z2,
а функция издержек единственного предприятия имеет вид
c(y, x1, x2) = y + 2x1 + x2.
Начальные запасы первого блага (блага x) равны нулю. Охарактеризуйте Парето-опти-
мальные состояния данной экономики. Найдите равновесие и налоги Пигу.


11. В квазилинейной экономике с экстерналиями функции полезности двух потребителей
имеют вид

362

<< Предыдущая

стр. 82
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>