<< Предыдущая

стр. 83
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

363
u1 = 2 x1 – y + z1 и u2 = 2 x2 + z2,
а функция издержек единственного предприятия имеет вид c(y) = 2y. Начальные запасы
первого блага (блага x) равны нулю. Охарактеризуйте Парето-оптимальные состояния
данной экономики. Найдите равновесие и налоги Пигу.


12. В экономике есть 2 потребителя с функциями полезности
u1 = –1/x1 + z1 – x2, u2 = –1/x2 – 2x1 + z2
и предприятие с функцией издержек c(y) = y.
(A) Сформулировать условия Парето-оптимума.
(B) Будет ли в нерегулируемом равновесии избыточным или недостаточным потребление
товара x (в смысле дифференциально-малого отклонения от равновесия)?
(C) Сформулировать задачи потребителей для налогов Пигу.


13. Экономика состоит из одного потребителя и одного предприятия. Технологическое
множество задается условиями yx + 2yz < 0 и yz < 0. Функция полезности имеет вид
2


u = ln x + z – yx, где yx — объем экстерналий. Начальные запасы равны (?x, ?z) = (0; 1000).
2


(1) Дайте определение общего равновесия применительно к данной модели. Найдите его.
(Используйте нормировку pz = 1).
(2) Найдите Парето-оптимум. Будет ли равновесный объем производства yx выше или ни-
же Парето-оптимального?
(3) Вычислите налоги Пигу.


14. Экономика состоит из трех человек, потребляющих два типа благ, x и z. Благо x — это
уровень «ухоженности» приусадебного участка, а благо z — все остальные блага. Двое из
потребителей соседи, так что красивый внешний вид участка одного соседа создает поло-
жительный внешний эффект для другого. Третий же человек живет вдалеке. Функции по-
лезности имеют вид
u1 = ln x1 + ln x2 + z1 , u2 = ln x1 + ln x2 + z2 ,
u3 = ln x3 + z3.
Каждый потребитель имеет запас по 5 единиц каждого из двух благ.
(а) Найдите вальрасовское равновесие в данной экономике.
(б) Найдите все Парето-эффективные распределения благ в этой экономике.
(в) Предложите налог (или субсидию) Пигу, корректирующий экстерналию. Точно опи-
шите, как, кем и за что он (она) платится.


15. Для экономик из задачи 7. Пусть в экономике обмена есть два потребителя и два блага.
Функция полезности второго потребителя зависит от уровня собственного потребления, а
также от уровня полезности первого потребителя. Найдите и сопоставьте дифференциаль-
ные характеристики внутреннего равновесия и внутреннего Парето-оптимума.


8 найдите соотношения для налогов Пигу.
363
364



Рынки экстерналий
В этом параграфе мы покажем, что неэффективность равновесия экономики с экстерна-
лиями — следствие отсутствия рынков экстерналий. Другими словами, если в дополнение
к рынкам обычных благ возникла бы полная система рынков экстерналий, для такой эко-
номики была бы справедливой первая теорема благосостояния, т.е. равновесие в такой
экономике оказалось бы Парето-оптимальным. Этот взгляд на проблему экстерналий свя-
зан с именем К. Эрроу119.
Предположим, что в дополнение к обычным рынкам, существует полная система конку-
рентных рынков экстерналий, т.е. существует рынок для каждой экстерналии из множеств
Ei, Ej.
Обозначим
! через qisk цену экстерналии, состоящей во влиянии потребления k-го блага i-м потре-
бителем на благосостояние s-го потребителя, xik>us;
! через qijk цену экстерналии, состоящей во влиянии потребления k-го блага i-м потре-
бителем на производственные возможности j-го производителя, xik>gj;
! через qjik цену экстерналии, состоящей во влиянии производства k-го блага j-м произ-
водителем на благосостояние i-го потребителя, yjk>ui;
! через qjsk цену экстерналии, состоящей во влиянии производства k-го блага j-м произ-
водителем на производственные возможности s-го производителя, yjk>gs;
! через q полный набор цен экстерналий.
В этой модели предполагается, что платит тот, кто создает экстерналию. Может оказаться
(например, в случае положительных экстерналий), что эта цена экстерналии отрицательна.
Это следует понимать в том смысле, что «потребитель» экстерналии платит за нее тому,
кто создает экстерналию.
В этой ситуации задача потребителя i модифицируется следующим образом:
ui(xi, x–i, y) > max (19)
¤ pk xik +
k?K

¤ qiskxik + ¤ qijkxik –
+
s,k: xik>us j,k: xik>gj


– ¤ ¤ qsikxsk – ¤ ¤ qjikyjk < ?i.
s?i k : xsk>ui k : yjk>ui
j

xi ? Xi.
Потребитель здесь выбирает объемы потребления благ xi и влияющих на него экстерна-
лий.
Хотя запись бюджетного ограничения выглядит довольно громоздкой, смысл ее достаточ-
но прост: первая сумма — расходы на оплату обычных благ из рассматриваемого потре-
бительского набора, следующие вторые суммы (вторая строчка бюджетного ограничения)
— оплата внешних влияний, оказываемых данным потребителем на всех других эконо-

119
Arrow, K. J. "The Organization of Economic Activity: Issues Pertinent to the Choice of Market versus Non-
market Allocation," in Collected Papers of K. J. Arrow, Vol. II, Harvard University Press, 1983.

364
365
мических субъектов. И наконец, последние две суммы — оплата другими экономически-
ми субъектами внешнего влияния на данного потребителя.
Условия первого порядка для решения этой задачи выглядят следующим образом:
?ui ? ?
= ?i ?pk + ¤ qisk + ¤ qijk? ?k, (20)
?xik ? ?
s: x >u j: x >g
ik s ik j



?ui ?ui
= –?i qsik ?s, k: xsk>ui, = –?i qjik ?j, k: yjk>ui. (21)
?xsk ?yjk
Прибыль j-го производителя задается функцией

?j(p, q, y, x) = ¤ pk yjk –
k?K

¤ qjikyjk – ¤ qjskyjk +

i,k: yjk>ui s,k: yjk>gs


+ ¤ ¤ qijkxik + ¤ ¤ qsjkysk
i k : xik>gj s?j k : ysk>gj

Задача j-го производителя модифицируется аналогичным образом:
?j(p, q, yj, y–j, x) > max (22)
g(yj, y–j, x) > 0.
Производитель выбирает объемы производства благ yj и влияющих на него экстерналий.

Определение 5.
----
Назовем (p, q, x, y) равновесием с торговлей экстерналиями и трансфертами S
(¤i Si = 0), если
-- - -
(i) (x, y) — решение задачи (19) при ценах обычных благ p, ценах экстерналий q, дохо-
дах
?i = p?i + ¤j ?ij ?j(p, q, y, x) + Si .
- ----
-- --
(ii) (y, x) — решение задачи (22) при ценах p и q.
--
(iii) (x, y) — допустимое состояние, т.е.
¤i(xik – ?ik) = ¤j yjk ?k.
- -


Заметим, что выполнение условий (i) и (ii) гарантирует совпадение при данных ценах p и
q спроса и предложения на рынках экстерналий. Поэтому соответствующее требование не
включено в определение равновесия.
Следующая теорема является аналогом второй теоремы благосостояния для равновесия с
торговлей экстерналиями.

Теорема 5.
^^
Пусть (x, y) — Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями.
Предположим также, что
• xi ? int(Xi) (равновесие внутреннее) ?i ;
• функции полезности ui(x, y) и производственные функции gj(y, x) дифференцируемы;
• существует благо k0, для которого выполнены условия (1);


365
366
• функции полезности ui(x, y) и производственные функции gj(y, x) вогнуты.
^^
Тогда существуют цены p и q и трансферты S, такие что (p, q, x, y) является равновеси-
ем с торговлей экстерналиями.

Доказательство.
^^
Как и в предыдущих теоремах, ограничимся схемой доказательства. Поскольку (x, y) —
Парето-оптимум, то по теореме Куна—Таккера он удовлетворяет уравнениям (5) и (6).
Цены выбираются следующим образом:
pk = ?k ,
?us(x, y) ?gj(y, x )
^^ ^^
, qijk = –µj ,
qisk = –?s
?xik ?xik
?ui(x, y) ?gs(y, x)
^^ ^^
, qjsk = –µs .
qjik = –?i
?yjk ?yjk
^^
Далее доказывается, что (x, y) является решением задачи (19) при данных ценах и таких
^^
доходах, которые в точности покрывают расходы на приобретение набора (x, y) обычных
благ и экстерналий, т.е.
?i = ¤k pk xik +
^
¤ qiskxik + ¤ qijkxik –
^ ^
+
s,k: xik>us j,k: xik>gj


– ¤ ¤ qsikxsk – ¤ ¤ qjikyjk.
^ ^
s?i k : xsk>ui k : yjk>ui
j

^^
Действительно, точка (x, y) является допустимой. Поскольку задача каждого потребителя
является выпуклой, то для доказательства этого факта достаточно установить, что при
этом выполняются условия первого порядка.
Условия первого порядка Парето-оптимума можно переписать следующим образом:
?ui(x, y)
^^
= pk + ¤ qisk + ¤ qijk, ?k.
?i
?xik s: x >u j: x >g
ik s ik j


1
Это есть условия первого порядка (20) в задаче потребителя при ?i, равном . При том же
?i
?i условия первого порядка (21) следуют из определения цен qsik, qjik.
^^
Аналогичным образом доказывается, что (y, x) является решением задачи (22) при дан-
ных ценах.
Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S. Легко видеть, что
требуемыми трансфертами являются величины
Si = ?i – p ?i – ¤j ?ij ?j(p, q, y, x),
^^
где ?i определены выше. Читатель может проверить, что их сумма равна нулю.
*

Замечание.
Теорема верна и без условия дифференцируемости. При этом условие (1) заменяется на
предположение о локальной ненасыщаемости.

366
367

Поскольку в модели с торговлей экстерналиями система рынков оказывается полной,
справедлива первая теорема благосостояния.

Теорема 6.
----
Пусть (p, q, x, y, S) — равновесие с торговлей экстерналиями и предпочтения потреби-
--
телей локально ненасыщаемы. Тогда состояние этой экономики ( x, y) Парето-
оптимально.

Доказательство.
Доказательство этой теоремы фактически повторяет доказательство первой теоремы эко-
номики благосостояния для «обычной» экономики.
*
Связь между ценами экстерналий и налогами на экстерналии устанавливают следующие
два утверждения, показывающие, что на основе любого равновесия с торговлей можно
построить равновесие с налогами с теми же ценами обычных благ и налогами, равными
сумме цен соответствующих экстерналий. Указанная связь задается следующим прави-
лом:

tik = ¤ qisk + ¤ qijk ?k ? Ei, (3)

<< Предыдущая

стр. 83
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>