<< Предыдущая

стр. 85
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

определенного числа сигарет в день. Курить сверх этого «лимита» он может только с со-
гласия некурящего, который заинтересован дать такое разрешение лишь при компенсации
нанесенного ему при этом ущерба. При любой такой спецификации прав «начальное со-
стояние» рассматриваемой экономики представляется точкой отрезка, соединяющего точ-
ки А и В. Это начальное состояние (и предполагаемое им распределение прав собственно-
сти) оказывает влияние на состояние экономики, которое будет достигнуто в результате
соглашений между участниками сделки, и, в частности, на состояние рыночного равнове-
сия — результата обмена по равновесным рыночным ценам.
?
Пример 6 (экономика с однородными экстерналиями)
Рассмотрим экономику с одним типом экстерналий, которые «производят» только произ-
водители и «потребляют» только потребители. В этой экономике на уровень благосостоя-
ния потребителя не влияет источник экстерналии, а только совокупное производство этих
экстерналий, т.е.

ui(xi, a) = ui(xi, ¤aj)
j?J

gj(yj, a) = gj(yj, aj),
где aj ? Aj ?  . Охарактеризуем Парето-оптимальные состояния этой экономики, разные
типы равновесий, а также налоги Пигу {tj} и цены экстерналий {qji} (в равновесии с тор-
говлей экстерналиями).



371
372
Рассмотрим сначала, Парето-оптимальное состояние экономики (x, y, a), такое что xi ?
^^^ ^
int(Xi), aj ? int(Aj). Предположим, что существует благо k0, удовлетворяющее условиям,
^
аналогичным условиям (1). Дифференцируя функции Лагранжа задач, характеризующих
это состояние,

L = ¤?iui(xi, ¤aj) + ¤µj gj(yj, aj) + ¤ ?k (¤ yjk – ¤(xik – ?ik)),
i?I j?J j?J k?K j?J i?I

получаем следующие условия первого порядка:
?L ?u
= ?i i – ?k = 0 ?i, k,
?xik ?xik
?L ?g
= µj j + ?k = 0 ?j, k.
?yjk ?yjk
?L ?u ?g
= ¤?i i + µj j = 0 ?j.
?aj i?I ?a ?aj
Поскольку для соответствующих задач выполнены условия регулярности, то множители
Лагранжа ?i и µj положительны.
Из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что
?ui/?xik ?gj/?yjk ?k
= , ?i, ?j, ?k.
=
?ui/?xik ?gj/?yjk ?k
0 0 0



?ui/?a ?g /?a
= j j , ?j.120
¤
i?I ?ui/?xik ?gj/?yjk
0 0



Охарактеризуем теперь обычные рыночные равновесия в этой экономике. Пусть p — це-
ны благ. Тогда задача потребителя, располагающего доходом ?i, имеет вид:
ui(xi, a) > max x i


pxi < ?i,
xi ? Xi.
Дифференциальная характеристика внутреннего решения этой задачи имеет вид
?ui/?xik pk
= , ?k.
?ui/?xik pk 0
0



При тех же ценах задача производителя имеет вид:
pyj > max y ,a j j


gj(yj, aj) > 0,
a j ? Aj .
Дифференциальная характеристика внутреннего (по aj) решения этой задачи имеет вид
?gj/?yjk pk
= , ?k.
?gj/?yjk pk 0
0



?gj
= 0.
?aj

120
Это соотношение в теории общественных благ называют уравнением Самуэльсона (см. следующую гла-
ву).

372
373
----
Пусть (p, x, y, a) — равновесие. Тогда если экстерналии одного типа для всех потребите-
---
лей (только положительные или только отрицательные), то состояние экономики (x, y, a)
не оптимально по Парето. Например, если ?ui/?a < 0 ?i и неравенство строгое по крайней
мере для одного потребителя, то
?ui/?a ?g /?a
¤ ?0 = j j ,
i?I ?ui/?xik ?gj/?yjk
0 0



что не совпадает с дифференциальной характеристикой Парето-оптимальных состояний.
В равновесии с налогами должно быть выполнено
?g /?a
tj
= – j j , ?j.
?gj/?yjk
pk 0 0



Правило Пигу для оптимальных налогов имеет вид
?ui/?a
tj
=–¤ , ?j.
?ui/?xik
pk i?I
0 0



Отсюда видно, что налоги Пигу одинаковы для всех производителей. С другой стороны,
если в равновесии налоги определены этими соотношениями, то равновесие удовлетворя-
ет дифференциальной характеристике Парето-оптимума, что при вогнутости функций
полезности и производственных функций гарантирует Парето-оптимальность.
Цены экстерналий в равновесии с торговлей экстерналиями удовлетворяют соотношениям
?ui/?a
qij
, ?i, ?j,
=–
?ui/?xik
pk0 0



то есть не зависят от производителя, который создает экстерналии. Другими словами, мы
фактически имеем m рынков экстерналий по числу потребителей.
Если равновесие в экономике с налогами и равновесие в экономике с торговлей экстерна-
лиями соответствуют одному и тому же состоянию экономики, то налоги и цены экстер-
налий связаны соотношениями
tj q
= ¤ ij, ?j.
pk i?I pk
0 0




?

Задачи
17. («Курение») Из двух соседей по комнате первый — некурящий, второй — курильщик.
Функции полезности имеют вид:
u1 = ln(x1) – z2 ,
u2 = ln(x2) – 0.5z2 + 10z.
Здесь xi — количество денег на другие блага, z — количество выкуренных 2-м сигарет, ?i
— начальные запасы денег.
(1) Предположим, что сигареты «бесплатные», т.е. производятся из денег с нулевыми из-
держками. Найти равновесие. Построить Парето-улучшение из равновесия (в дифферен-
циалах). Найти Парето-границу.
(2) Пусть теперь сигареты стоят p (т.е. производятся по технологии с постоянной отдачей
от масштаба). Найти равновесие и Парето-границу в зависимости от p. При каких значе-
ниях p равновесие оптимально?
373
374
Экстерналии в квазилинейной экономике
В этом параграфе будем рассматривать квазилинейную экономику с экстерналиями. В
этой экономике имеется l + 1 обычных благ. Предпочтения потребителей и технологии
фирм описываются функциями следующего вида:121
ui(xi, zi, ai, a–i) = vi(xi, ai, a–i) + zi,
где xi > 0, ai ? Ai а объемы потребления (l + 1)-го (квазилинейного) блага, zi, могут быть
произвольными, и
gj(yj, rj, aj, a–j) = rj – cj(yj, aj, a–j),
где, как обычно cj(?) — функция издержек, которая показывает затраты (l + 1)-го блага на
производство обычных благ в количестве yj > 0 и экстерналий в количестве aj ? Aj.
Известно, что Парето-оптимальные состояния квазилинейной экономики характеризуются
следующей задачей:

W(x, y, a) = ¤vi(xi, a) – ¤ cj(yj, a) > max x,y,a
i?I j?J


¤xi = ¤ yj, (WE)
i?I j?J

xi > 0, ai ? Ai,
yj > 0, aj ? Aj.


^^ ^^ ^ ^^^
Если ((x, z), (y, r), a) — Парето-оптимальное состояние экономики, то (x, y, a) — реше-
^^^ ^
ние данной задачи. Обратно, если (x, y, a) — решение данной задачи, то найдутся числа zi
^ ^^ ^^ ^
и rj, такие что ((x, z), (y, r), a) — Парето-оптимум.
Функция W(x, y, a) является индикатором благосостояния данной экономики.
^
Воспользуемся приведенной характеристикой Парето-оптимальных состояний. Пусть ((x,
z), (y, r), a) — Парето-оптимум, такой что ai ? int(Ai) и aj ? int(Aj), а функции полезно-
^ ^^ ^ ^ ^
сти и издержек дифференцируемы. Дифференцируя функцию Лагранжа данной задачи,

L = ¤ vi(xi, a) – ¤ cj(yj, a) + ¤ ?k (¤ yjk – ¤xik),
i?I j?J k?K j?J i?I

получаем следующие условия первого порядка:
?vi ?v
< ?k и i = ?k, если xik > 0, ?i, k,
^
?xik ?xik
?cj ?c
< ?k и j = ?k, если yjk > 0, ?j, k,
^
?yjk ?yjk
?vi ?v ?c
+ ¤ s = ¤ j , ?e ? Ei.
?aie s?i ?aie j?J ?aie
?vi ?cj ?c
¤ + ¤ s , ?e ? Ej.
=
i?I ?aje ?aje s?j ?aje




121
См. главу, посвященную «классической» квазилинейной экономике.

374
375
Охарактеризуем теперь обычные рыночные равновесия в этой экономике. Пусть p — це-
ны первых l благ. Цену (l + 1)-го блага будем считать равной 1. При этих ценах потребле-
- -
ние первых l благ xi и создание экстерналий ai потребителем i определяется на основе
решения следующей задачи, которая получается из обычной модели поведения потреби-
теля подстановкой бюджетного ограничения с учетом вида функции полезности:
vi(xi, a) – pxi> max x >0,a ?A i i i



Дифференциальная характеристика внутреннего по ai решения этой задачи имеет вид
?vi ?v
< pk и i = pk, если xik > 0, ?k,
-
?xik ?xik
?vi
= 0 ?e ? Ei.
?aie
С учетом формы производственной функции задача производителя приобретает вид:
pyj – cj(yj, a) > max y >0,a ?A j j j



<< Предыдущая

стр. 85
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>