<< Предыдущая

стр. 9
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Определение 7.
Предпочтения называются локально ненасыщаемыми, если для любого допустимого на-
бора x?X в любой его окрестности найдется другой допустимый набор x?X, такой что
^
x } x.
^


Отметим, что выполнение свойства локальной ненасыщаемости запрещает два типа пред-
почтений:
• предпочтений c точкой насыщения, т.е. с точкой, для которой потребитель-
ский набор ей отвечающий является наилучшим выбором потребителя среди
всех ближайших наборов;
• предпочтений с «толстой» кривой безразличия, т.е. ситуации в которой суще-
ствует окрестность некоторой точки, в которой все наборы одинаково желае-
мы для потребителя (смотри рисунок 5).
Связь между понятиями строгой монотонности и локальной ненасыщаемости, в принципе,
очевидна. Если предпочтение является строго монотонным, то оно локально ненасыщае-
мо. Обратное, вообще говоря, неверно.
x2




x1

?enoiie 5. «Oienoay» e?eaay aac?acee?ey
Рисунок 6 показывает разницу между понятиями строгой монотонности и локальной не-
насыщаемости. Заштрихованная область на первой части рисунка показывает ту зону, в
которой могут находиться лучшие наборы при выполнении свойства локальной ненасы-
щаемости. Аналогично, заштрихованная область на второй части рисунка показывает зо-
ну, где находятся лучшие наборы для предпочтений, обладающих свойством строгой мо-
нотонности.
x2
x2


x x


x1 x1

Для строгой монотонности
Для локальной ненасыщаемости




41
42

?enoiie 6 No?iaay iiiioiiiinou e eieaeuiay iaianuuaaiinou
Следующая группа свойств предпочтений, которую мы рассмотрим, важна для демонст-
рации «хороших» свойств функции выбора/спроса и доказательства существования рав-
новесия.
Здесь и далее мы будем предполагать, что множество X выпукло.

Определение 8.
Предпочтения называются выпуклыми в X, если ? x,y?X: x }y и 0<?<1 выполнено
_
?x + (1 – ?)y }y.
_
Предпочтения называются строго выпуклыми в X, если ?x,y?X: x }y, x ? y и 0 < ? <
_
1 выполнено ?x + (1 – ?)y } y.


Как не сложно понять определение выпуклости (строгой выпуклости) означает выпук-
лость верхнего лебеговского множества введенного нами в предыдущем параграфе. Оста-
новимся теперь на различии понятия строгой выпуклости от «просто» выпуклости. Грубо
говоря, различие между этими понятиями состоит в том, что при выполнении свойства
строгой выпуклости запрещена ситуация, когда граница верхнего лебеговского множества
(или, что тоже самое, кривая безразличия) имеет «линейные» части. На Рисунке 7 изобра-
жен пример выпуклого, но не строго выпуклого отношения предпочтения.


x2




x1

?enoiie 7. I?eia? auioeeuo, ii ia no?iai auioeeuo i?aaii?oaiee
С понятием выпуклости предпочтений, в случае их представимости функцией полезности,
тесно связаны свойства вогнутости23 и квазивогнутости функции полезности. Оказывается,
что для вогнутой функции полезности справедлив следующий результат:

Теорема 10.
Если функция полезности вогнута, то представляемые ею предпочтения выпуклы.


Доказательство:
По определению вогнутости u(.) имеем, что ? x,y ?X
u(?x + (1 – ?)y) > ?u(x) + (1– ?)u(y) ? 0 <? <1,


23
Напомним, что функция u(.) — вогнута, если u(?x+(1–?)y)> ?u(x) +(1– ?) u(y) ? 0<?<1. Классический
результат математического анализа говорит, что дважды непрерывно дифференцируемая функция u(.) во-
гнута тогда и только тогда, когда ее матрица вторых производных (матрица Гессе) H отрицательно полуоп-
ределена на внутренности ее области определения, т.е. z?Hz<0 ?z. (См. например, Рокафеллар, Р., Выпук-
лый Анализ, Москва, Мир, 1973, Гл. 1, §4)

42
43

Без потери общности считаем, что x}y. Тогда в силу определения функции полезности
_
имеем: u(x) > u (y), откуда
u(?x + (1–?)y) > u(y),
или
?x + (1 – ?)y}y ? 0<?<1.
_
Что и означает выпуклость предпочтений.
*
Обратное, вообще говоря, не всегда верно. Выпуклость предпочтений эквивалентна квази-
вогнутости функции полезности.

Определение 9.
Функция u : X>  называется квазивогнутой, если
u(?x + (1 – ?)y) > min(u (x), u(y)) ? 0<? <1.
Функция u : X>  называется строго квазивогнутой, если
u(?x + (1 – ?)y) > min(u (x), u(y)) ? 0<?<1.


Отметим также, что дважды непрерывно дифференцируемая функция u : X>  квазивог-
нута тогда и только тогда, когда ее матрица H вторых производных отрицательно полу-
определена на ?u(x)z = 0, где x принадлежит внутренности области определения X.
Другими словами, для каждого z, такого что ?u(x)z = 0 выполнено z?H(x)z<0, где x
принадлежит внутренности X24.

Теорема 11.
Функция полезности квазивогнута тогда и только тогда, когда представляемые ею пред-
почтения выпуклы.


Доказательство:
Доказательство этого факта несложно и оставляется читателю в качестве упражнения.
*
Из двух предыдущих теорем ясно видно, что каждая вогнутая функция является квазивог-
нутой. Следующий пример показывает, что обратное не верно и класс квазивогнутых
функций шире класса вогнутых функций, а заодно и проиллюстрирует технику проверки
квазивогнутости.
Пример 4.
Рассмотрим функцию u(x)=x1x2, заданную на неотрицательном ортанте  + . Покажем, что
2

эта функция квазивогнута, но не является вогнутой.
Способ 1 (По определению)
Возьмем два произвольных вектора x,y? + . Тогда для любого 0<? <1 имеем
2




24
Более подробно о дифференциальных свойствах квазивогнутой функции полезности смотри: Barten, A.P.,
Bohm, V., Consumer Theory, in Handbook of Mathematical Economics, V.2, K.J. Arrow, M.D. Intriligator, eds.,
North-Holland, 1982 (pp. 403-09), и содержащиеся там ссылки.

43
44

(?x1 + (1 – ?)y1)( ?x2 + (1 – ?)y2) =
?2x1x2+(1 – ?)2y1y2+?(1 – ?)x1y2+? (1 – ?)x2y1
Без потери общности будем считать, что y1y 2> x1x2. Если компоненты вектора x не равны
y y yy
0, то x1 + x2 >2 x1 x2 >2, или x1y2+x2y1>2x1x2. Справедливость этого неравенства, если
1 2 12
хотя бы одна из компонент вектора x равна 0, очевидна. Таким образом, для любых
x,y? + таких, что y1y 2> x1x2, имеем x1y2+x2y1>2x1x2. С учетом изложенного, получаем
2


?2x1x2+(1 – ?)2y1y2+?(1 – ?)x1y2+? (1 – ?)x2y1>
(?2+(1 – ?)2+2?(1 – ?)) x1x2 = x1x2=min{x1x2, y1y 2 }
Таким образом, квазивогнутость функции x1x2 доказана.
Покажем теперь, что эта функция не является вогнутой. Возьмем два вектора x=(1, 1),
1 9 5 59
y=(2, 2) и ? = 2. Но тогда u(?x +(1 – ?)y)= 4 и ?u(x)+ (1 – ?)u(y)= 2. Поскольку 2 > 4, то
функция не является вогнутой.
Способ 2 (С использованием матрицы Гессе)
Несложно проверить, что матрица H вторых частных производных функции u(x)=x1x2
имеет вид
01
H= ? 1 0 ? .
? ?
Однако данная матрица не является отрицательно полуопределенной. Действительно, для
вектора z?=(1, 1) имеем z?Hz= 2 > 0. Таким образом, функция не является вогнутой.
Покажем, что она квазивогнута. Несложно увидеть, что z?Hz=2z1z2. Рассмотрим знак
этой квадратичной формы при всех z таких, что ?u(x)z = 0, т.е. при всех z таких, что x2z1
+ x1z2=0. Умножив это равенство на z1, получим x2(z1)2 + x1z1z2=0. На внутренности поло-
x
жительного ортанта имеем z?Hz=2z1z2= – 2 x2 (z1)2<0. Таким образом, получили квази-
1
вогнутость функции u(x)=x1x2.
Как не сложно заметить, монотонно возрастающее преобразование ln(.) данной квазивог-
нутой функции переводит ее в вогнутую. Действительно матрица Гессе, для таким обра-
зом преобразованной функции, будет равна
? - 12 0 ?
H= ? x 1 ? .
? 0 - 2?
? x?
Подобная ситуация достаточно типична и прорешав достаточно много типовых задач мо-
жет сложиться мнение, что каждая квазивогнутая функция переводится монотонно воз-
растающим преобразованием в вогнутую функцию и, в этом смысле, два эти класса функ-
ций эквивалентны. Отметим, однако, что это не так. Например, функция f(x1, x2)=(x1 – 1)
+ (1 – x1)2 + 4(x1 + x2) квазивогнутая. Её линии уровня – непараллельные, прямые линии.
Можно показать, что эта функция не может быть трансформирована в вогнутую функцию
монотонным возрастающим преобразованием. Следует оговориться, что большинство
подобных примеров достаточно причудливы и их построение требует достаточной изо-
бретательности.
?



44
45

Как мы выяснили в предыдущем параграфе, функции переводящиеся друг в друга моно-
тонно возрастающим преобразованием эквивалентны с точки зрения упорядочивания по-
требительских наборов. В связи с этим, естественно возникает вопрос о том, какие свой-
ства функции полезности, помимо ранжировки потребительских наборов, сохраняются
при трансформации функции полезности. Естественно ожидать, в силу того, что мы дей-
ствуем на функцию полезности монотонно возрастающим преобразованием, сохранения
свойств монотонности, строгой монотонности и локальной ненасыщаемости. Вопрос же о
сохранении свойств вогнутости и квазивогнутости функции полезности не так очевиден.

Теорема 12.
Пусть f: >  – монотонно возрастающая функция, а u:X>  – некоторая квазивогнутая
функция, заданная на выпуклом множестве X, тогда их суперпозиция также будет ква-
зивогнутой функцией.


Доказательство:
Доказательство этого факта несложно, следует напрямую из определений квазивогнутости
и монотонности и оставляется читателю в качестве упражнения.
*
Стоит отметить, что, вообще говоря, в отличие от свойства квазивогнутости, свойство во-
гнутости не сохраняется при монотонно возрастающем преобразовании, что показывает
следующий пример.
Пример 5.
Рассмотрим функцию u(x)=ln(x), заданную на положительной полуоси  ++ . Непосредст-
венной проверкой легко установить, что она является вогнутой на своей области опреде-
?2u(x) 1
= – x2 отрицательна на  
ления. Действительно, вторая производная этой функции
?x2


++ . Подвергнем u(.) монотонно возрастающему преобразованию f(y)= y и покажем, что
3

^
функция u(x)=f(u(x))= (ln(x))3 не является вогнутой. Найдем вторую производную дан-
ной функции
?u(x) 3(ln(x))2
^
;
=
?x x

?2u(x) 6 ln(x)–3(ln(x))2
^
.
= x2
?x2
^
Нетрудно заметить, что вторая производная функции u(.) может быть как положительной,

<< Предыдущая

стр. 9
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>