<< Предыдущая

стр. 90
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


а технологии — функциями издержек cj(yj, aj).
Предположим, что для каждого производителя установлена квота на производство экс-
˜
терналий в размере aj. При этом задача производителя имеет следующий вид:
pyj – cj(yj, aj) > max y >0
˜ j



Покажем, что если распределение квот произвольно, то равновесие с квотами не Парето-
оптимально.
Предположим, что (p, (x, z), (y, r, a), a) — равновесие с квотами, aj ? int(Aj), причем
-- --- ˜ -
существуют по крайней мере два производителя, таких что
?cj ?cj
? .
1 2


?aj ?aj
1 2



-- ---
Тогда состояние ((x, z), (y, r, a)) не является Парето-оптимальным. Мы покажем это, по-
строив строгое Парето-улучшение в дифференциалах. Пусть daj — дифференциально ма-
лые изменения объемов экстерналий. Тогда при условии, что объемы выпуска первых l
благ остаются неизменными, суммарные затраты (l+1)-го блага изменяются на величину
?c
¤ j daj.
j ?aj

Несовпадение предельных издержек производства экстерналий означает, что можно
уменьшить суммарные затраты (l+1)-го блага, не изменяя общий объем экстерналий, т.е.
выбрав daj так, что ¤j daj = 0. Строгое Парето-улучшение можно получить, распределив
эту величину, например, поровну между всеми потребителями.
Таким образом, можно увеличить общественное благосостояние, перераспределяя квоты.
Покажем, что такое (увеличивающее благосостояние) перераспределение можно получить
на основе рыночной торговли квотами.
Будем предполагать, что производители могут продавать и покупать квоты по рыночной
цене pa. Задача производителя приобретает следующий вид:
pyj – cj(yj, aj) + pa( aj – aj) > max y >0,a ?A .
˜ j j j




-- --- ˜
Более формально определим равновесие с торговлей квотами (p, pa, (x, z), (y, r, a), a) в
данной экономике следующим образом:
¦ Набор (xi, -i) является решением задачи потребителя при ценах p и экстерналиях a.
-z -
¦ Технология (yj, -j, aj) является решением задачи производителя при ценах p, pa.
-r-
¦ Выполнены балансы по обычным благам.
¦ Суммарное «производство» экстерналий равно общей квоте:

¤aj = ¤ a j .
˜
j j

391
392

Докажем сначала, что состояние равновесие с торговлей квотами приводит к состоянию
-- ˜
экономики (x, y, a), для которого не существует Парето-улучшения при условии, что об-
щий объем производства экстерналий остается постоянным, т.е. при условии, что

¤aj = ¤aj.
˜
j j

-- ˜
Такое состояние называют оптимумом второго ранга. Заметим, что (x, y, a) при этом явля-
ется решением следующей задачи на условный максимум:

W(x, y, a) = ¤vi(xi, ¤aj) – ¤cj(yj, aj) > max x,y,a
i j j


¤xi = ¤yj. (WC)
i j


¤aj = ¤ a j
˜
j j

xi > 0,
yj > 0, aj ? Aj


Другими словами, верна следующая теорема:

Теорема 9.
-- --- ˜
Пусть (p, pa, (x, z), (y, r, a), a) — равновесие с торговлей квотами в рассматриваемой
-- ˜
квазилинейной экономике с однородными экстерналиями. Тогда (x, y, a) является ре-
шением задачи (WC).


Доказательство.
Пусть (x?, y?, a?) — допустимое решение задачи (WC).
Поскольку xi — решение задачи потребителя, то набор x? не может дать потребителю
- i
более высокую полезность при тех же ценах, т.е.

vi(xi, ¤aj) – pxi > vi(x?, ¤aj) – px?.
- ˜ - ˜ (*)
i i
j j

С другой стороны (yj, aj) — решение задачи производителя, поэтому (y?, a?) не может дать
-- j j
производителю более высокую прибыль при тех же ценах, т.е.
pyj – cj(yj, aj) + pa( aj – aj) > py? – cj(y?, a?) + pa( aj – a?).
- -- ˜- ˜ (**)
j j j j

Суммируя неравенства (*) и (**) получим, с учетом балансов по обычным благам и огра-
ничения ¤aj = ¤aj, что
˜
j j


¤vi(xi, ¤aj) – ¤cj(yj, aj) > ¤vi(x?, ¤aj) – ¤cj(y?, aj).
- ˜ -- ˜ j^
i
i j j i j j

Это означает, что W(x, y, a) > W(x?, y?, a?), т.е. (x, y, a) является решением задачи (WC).
--- ---
*
Укажем на два следствия этой теоремы.
392
393
Теорема 10.
- -- --- ˜
Пусть (p, (x, z), (y, r, a), a) — равновесие с квотами в рассматриваемой квазилинейной
`` `` ``` ˜
экономике с однородными экстерналиями, а (p, pa, (x, z), (y, r, a), a) — равновесие с
торговлей квотами в той же экономике. Тогда W(x, y, a) < W(x, y, a).
--- ```
Если, кроме того, aj ? int(Aj), и хотя бы для двух производителей выполнено
-
?cj (yj , aj ) ?cj (yj , aj )
-- --
? , (¦)
1 1 1 2 2 2


?aj ?aj
1 2



--- ```
то W(x, y, a) < W(x, y, a).


Доказательство.
Нестрогое неравенство W(x, y, a) > W(x, y, a) является прямым следствием предыдущей
``` ---
теоремы.
Если выполнены дополнительные условия (¦), то, как было показано ранее, для равнове-
сия с квотами существует Парето-улучшение, при котором суммарный объем экстерналий
не меняется. Как известно, в квазилинейной экономике Парето-улучшение приводит к
``` --
росту индекса благосостояния W(x, y, a). Таким образом, равенство W(x, y, a) = W(x, y,
- ```
a) невозможно, поскольку (x, y, a) — решение задачи (WC), а указанное Парето-
улучшение приводит к допустимому решению задачи (WC). Значит, неравенство строгое.
*
Мы показали, что, даже если торговля квотами не приводит к Парето-оптимальному со-
стоянию, то по крайней мере, она приводит к росту общественного благосостояния. Сле-
дующая теорема говорит о том, что при правильном выборе общего размера квот на экс-
терналии торговля квотами обеспечивает достижение Парето-оптимального состояния.

Теорема 11 («теорема Мида»)124
-- --- ˜
Пусть (p, pa, (x, z), (y, r, a), a) — равновесие с торговлей квотами в рассматриваемой
^^ ^^^
квазилинейной экономике с однородными экстерналиями, а ((x, z), (y, r, a)) — некото-
рый Парето-оптимум этой экономики.
Если

¤ a j = ¤aj ,
˜ ^
j j

-- ---
то ((x, z), (y, r, a)) — Парето-оптимальное состояние экономики.


Доказательство.
--- ^^^
Состояние (x, y, a) является решением задачи (WC), а (x, y, a) — допустимое решение
этой же задачи. Поэтому
W(x, y, a) < W(x, y, a).
^^^ ---
^^ ^^^
С другой стороны, поскольку ((x, z), (y, r, a)) — Парето-оптимум, то
W(x, y, a) >W(x, y, a).
^^^ ---


124
Meade, J. "External Economies and Diseconomies in a Competitive Situation," Economic Journal, 62 (1952), 54-
67.

393
394
--- ^^^ --
Значит, (x, y, a), как и (x, y, a), является решением задачи (W), и, следовательно, ((x, z),
---
(y, r, a)) — Парето-оптимальное состояние экономики.
*

Замечание.
-- --- ˜
Если ( p, pa, (x, z), (y, r, a), a) — Парето-оптимальное равновесие с торговлей квотами в
рассматриваемой квазилинейной экономике с однородными экстерналиями. Тогда если
-- -
налоги на экстерналии tj для всех производителей выбрать равными pa, то (p, (x, z), (y,
--
r, a), {tj}) — равновесие с налогами. Верно и обратное утверждение:
-- ---
Предположим, что (p, (x, z), (y, r, a), {tj}) — равновесие с налогами Пигу, причем, tj =
t0., т.е. ставки налога одинаковы для всех производителей.125 Тогда ( p, t0, (x, z), (y, r, a),
-- ---
˜ ˜
a) — равновесие с торговлей квотами при любых квотах a, таких что.

¤ a j = ¤aj .
˜ -
j j

Аналогичная связь существует и между равновесием с торговлей квотами и равновесием
с торговлей экстерналиями. Читателю предлагается самостоятельно сформулировать со-
ответствующие утверждения.



Задачи
24. Рассмотрим квазилинейную экономику с двумя благами и однородными экстерналия-
ми. Первое благо производится из второго по технологиям, описываемым функциями из-
держек вида
j+n 2
cj(yj, aj) = yj + ?aj – 2n ? (j = 1, ..., n),
2
? ?
где yj — объем производства первого блага, aj — объем производства экстерналий. Функ-
ция полезности репрезентативного потребителя имеет вид
n n
u(x, ¤aj) = ln(x) – ¤aj + z,
j=1 j=1

где x — объем потребления первого блага, z — объем потребления второго блага.
(1) Найдите равновесие без регулирования.
(2) Найдите Парето-оптимум.
˜
(3) Пусть на объемы производства экстерналий установлены одинаковые квоты a. При
каких квотах благосостояние будет максимальным?
˜
(4) Найдите равновесие с торговлей квотами в зависимости от квот a. При каких квотах
будет достигаться Парето-оптимум?

<< Предыдущая

стр. 90
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>