<< Предыдущая

стр. 92
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


+ ¤ ?k(¤yjk – xk) + ¤ ?k(¤yjk + ¤?ik – ¤xik).
k?K1 j?J k?K2 j?J i?I i?I

Если функции полезности ui(?) и производственные функции gj(?) дифференцируемы, то,
дифференцируя лагранжиан, получим характеристику внутреннего Парето-оптимума (т.е.
при обычном предположении, что xi?int(Xi)).
^
Тогда для любой из указанных выше задач справедливо следующее утверждение (теорема
Джона Фрица): существуют (не все равные нулю) множители Лагранжа (?i, µj, ?k) такие,
что ?i > 0 ?i, µj > 0 ?j, и
?L ?L
= 0 ?i ? I, ?k ? K1, = 0 ?i ? I, ?k ? K2,
?xk ?xik
?L
= 0 ?j ? J, ?k ? K.
?yjk
Условие регулярности (линейная независимость градиентов ограничений соответствую-
щей задачи) гарантирует, что можно найти такой набор множителей Лагранжа, что ?i = 1. 0

В рассматриваемом случае выполнение условия регулярности можно гарантировать, на-
пример, в случае, если в любом допустимом состоянии экономики для каждого потреби-
теля i существует частное благо k ? K1, такое что ?ui(xi)/?xik > 0, а для каждого произво-
дителя j существует частное благо k ? K2, такое что ?gj(yj)/?yjk < 0.
В этом случае, исключив из необходимых условий экстремума множители Лагранжа131,
получим дифференциальную характеристику оптимума:
?ui(xi)/?xk ?gj(yj)/?yjk
^ ^
¤ , ?i ? I, ?j ? J, ?k?K1,
=
?ui(xi)/?xik ?gj(yj)/?yjk
^ ^
i?I 0 0




?ui(xi)/?xik ?gj(yj)/?yjk
^ ^
, ?i ? I, ?j ? J, ?k?K2, (23)
=
?ui(xi)/?xik ?gj(yj)/?yjk
^ ^
0 0




где k0 ? K1 — частное благо, такое что ?k ? 0. 0



Второе из полученных соотношений называют уравнением Самуэльсона132. Оно говорит,
что сумма предельных норм замещения общественного блага на частное в потреблении
равна предельной норме замещения общественного блага на частное в производстве.
Уравнение Самуэльсона иллюстрирует Рис. 87 («диаграмма Самуэльсона»)133. На трех
совмещенных графиках ось ординат соответствует производству и потреблению общест-
венного блага. Для того, чтобы найти Парето-оптимум, следует задаться некоторой кри-
вой безразличия одного из потребителей, например, 2-го. На третьем графике кривая про-
изводственных возможностей совмещена с выбранной кривой безразличия. Расстояние по
горизонтали между этими кривыми показано на первом графике в виде кривой. Точка ка-


131
Проверьте, что множители Лагранжа ?i > 0 ?i, µj > 0 ?j и существует по крайней мере одно благо k0 ? K1,
такое, что ?k0 > 0.
132
Samuelson, P.A. "The Pure Theory of Public Expenditure," Review of Economics and Statistics, 36 (1954) 387-
389. См. также статью Г. Боуэна, упомянутую в сноске 142.
133
Существуют и другие иллюстрации уравнения Самуэльсона. См. напр. Рис. 90 («диаграмму Кольма») и
комментарий к нему.

400
401
сания с кривой безразличия 1-го потребителя соответствует набору 1-го потребителя в
Парето-оптимуме. Задавшись другой кривой безразличия 2-го потребителя, мы нашли бы
другой оптимум.
x1 2-й потребитель y1 кривая
1-й потребитель
производственных
возможностей
^
^ y1
x1

^
u2 = u2
^
u2 = u2


^
^ ^ y2+?2?
y2+?2?
x21 x22
x21 x22

?enoiie 87. Eee?no?aoey oneiaee Ia?aoi-iioeiaeuiinoe aey yeiiiieee n
iauanoaaiiui aeaaii


Задачи
1. Уравнение Самуэльсона связывает...
а) сумму норм замены общественного блага на частное в потреблении с нормой их замены
в производстве;
б) норму замены общественного блага на частное в потреблении с суммой норм их замены
в производстве;
в) норму замены общественного блага на частное в потреблении с нормой их замены в
производстве;
г) сумму норм замены общественного блага на частное в потреблении с суммой норм их
замены в производстве.

Квазилинейная экономика с общественными благами
Особенно простым анализ экономики с общественными благами становится при квазили-
нейности функций полезности. Это соответствует анализу частного равновесия, который
проводится в начальных курсах микроэкономики.
Будем предполагать, что в экономике два блага, одно из которых общественное, а другое
— частное, причем
X ?  + и Xi =   ?i,
(1) (2)


а предпочтения потребителей описываются квазилинейными функциями полезности:
ui(x, zi) = vi(x) + zi ,
где x — объем потребления общественного блага (он равен объему производства y), а zi
— объем потребления частного блага (который можно интерпретировать как объем по-
требления всей совокупности частных благ). Поскольку предпочтения линейны по zi , по-
следнее удобно считать денежной стоимостью частных благ.
Производственные возможности экономики описываются функцией издержек c(y), (об-
ратной к производственной функции), которая показывает минимальное количество част-
ного блага, r, необходимое для производства y единиц общественного блага.
В дальнейшем будем различать два случая. Первый— ситуация, когда общественное бла-
го может производится и потребляться в любом количестве, является безгранично дели-
мым, («непрерывный» случай), функции полезности и издержек — дифференцируемы.
Второй — ситуация, когда производитель и (или) потребитель может выбирать лишь из
401
402
конечного числа вариантов, как правило двух («производить — не производить», «по-
треблять — не потреблять»). Этот случай будем называть «дискретным».
Рассмотрим сначала непрерывный случай. Для него уравнение Самуэльсона имеет вид:

¤v?(x) = c?(x).
i^ ^
i?I

Это соотношение можно установить независимо на основе характеристики Парето-
оптимальных состояний квазилинейной экономики. Действительно, как было установлено
ранее, Парето-оптимальное состояние квазилинейной экономики полностью характеризу-
ется задачей максимизации индикатора благосостояния. Для рассматриваемой экономики
эта задача имеет следующий вид:

W(x) = ¤vi(x) – c(x) > max x>0.
i?I

Таким образом, в этой экономике Парето-оптимальные состояния характеризуются объе-
^
мом производства общественного блага, максимизирующим благосостояние, x. Этот объ-
ем естественно назвать Парето-оптимальным объемом общественного блага. Если пре-
дельные полезности v?(x) неотрицательны и не возрастают, причем хотя бы у одного по-
i
требителя они убывают, а предельные издержки c?(y) положительны и не убывают, то та-
кой объем будет единственным.
Для Парето-оптимального объема общественного блага выполняется соотношение:

¤v?(x) < c?(x),
i^ ^
i?I

^
причем, если общественное благо производится, т.е. y > 0, то

¤v?(x) = c?(x),
i^ ^
i?I

^
В дальнейшем мы будем считать, что x > 0.
Заметим, что в случае, когда первое благо — частное, условия Парето-оптимальности его
производства и потребления имеют вид (случай, когда xi > 0, ?i):
v?(xi) = c?(y), ?i,
i^ ^
¤xi = y.
^^
i?I

Указанное различие можно проиллюстрировать следующим примером. Сравним, как при-
нимаются решения в случае приобретения одного и того же блага (например, телевизора)
в личное (частное благо) и коллективное пользование (общественное благо). В первом
случае телевизор приобретается только в том случае, если цена не выше оценки телевизо-
ра для покупателя. Если же телевизор устанавливается в холле студенческого общежития,
то решение о его приобретении должно приниматься уже на основе сравнения его цены и
суммы оценок этого блага всеми студентами, живущими в общежитии.
Это пример уместнее проанализировать в контексте второй ситуации, поскольку рассмат-
риваемое благо (телевизор) либо производится (и приобретается), т.е. x = 1 (при соответ-
ствующем выборе единиц измерения), либо нет, т.е. x = 0.
Будем предполагать без потери общности, что vi(0) = 0, c(0) = 0, и обозначим vi(1) = vi и
c(1) = c. Тогда


402
403

W(0) = 0 и W(1) = ¤vi – c.
i?I

Поэтому x = 0, если ¤i vi < c и x = 1, если ¤i vi > c. В случае, когда ¤i vi = c, задача имеет
^ ^
два решения, поэтому оптимальным является любое решение относительно объема произ-
водства общественного блага.

Задачи
2. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функ-
циями полезности вида:
u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b > 0).
Производная v?(x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функ-
цию издержек вида c(y) = 2y.
При a = a?, b = b? в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x?.
При a = ka?, b = kb? (k > 0) в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага
равен x?, где x? > x?. Предполагаем, что обе рассматриваемые Парето-оптимальные точки
внутренние.
Можно ли утверждать, что k > 1 или k < 1? Обоснуйте свое утверждение.


3. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функ-
циями полезности вида uj = vj(x) + zj. Производные v?(x) положительны и убывают. Един-
j
ственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = ?y.
При ? = ?? в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x?. При
? = ?? (?? > ??) в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x?.
Предполагаем, что обе рассматриваемые Парето-оптимальные точки внутренние.
Можно ли утверждать, что x? > x? или x? < x?? Обоснуйте свое утверждение.

Равновесие с добровольным финансированием
общественного блага (равновесие без координации)
Заметим предварительно, что рассматриваемому случаю однородных экстерналий соот-
ветствует рыночное равновесие, в котором, как правило, общественное благо не произво-
дится, так как в нем нет механизма возмещения производителям общественных благ их
затрат на такое производство134. Альтернативная возможность — механизм финансирова-
ния общественного блага на основе добровольных вкладов (пожертвований) потребителей
этого блага. Примерами служат добровольные взносы в благотворительные фонды, фи-
нансирующие какие-либо общественные блага, например, научные исследования.
Рассмотрим одну из возможных формализаций такого механизма. Обозначим доброволь-
ный взнос i-го участника на приобретение k-го общественного блага через tik > 0. Будем
предполагать также, что существуют рынки общественных благ. Поскольку благосостоя-
ние потребителя зависит от общего количества этих благ, то при определении своего
взноса tik потребитель i формирует ожидания (tisk, ?s ? i) относительно взносов других
e

участников.


134
Есть исключения, например ситуации, когда производство общественного блага по технологическим
причинам является побочным результатом производства частных (рыночных) благ.

403
404
Собранная сумма идет на приобретение общественного блага:
pkxk = pkyk = ¤i tik, ?k ? K1.
Таким образом, задача потребителя i имеет вид:
ui(xi) > max x ,t i i



¤ pkxik + ¤ tik < ?i, (24)
k?K1 k?K2


pkxk = tik+¤tisk, ?k ? K1,

<< Предыдущая

стр. 92
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>