<< Предыдущая

стр. 94
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



?ui ?ui
dxi k .
= (–dyjk + dxi k ) = –
1 1


?xi k ?xi k
0 10 20
10 10



Поскольку ?ui /?xi k > 0, то при dxi k < 0 прирост полезности dui положителен.
1 10 20 1



Аналогичные преобразования можно провести и для изменения полезности потребителя
i2:
406
407
?ui ?ui ?ui ?ui
dui = dxk + dxi k = dyjk + dxi k =
2 2 2 2
* *

?xk ?xi k ?xk ?xi k
2 20 20
* *
20 20



?ui ?ui /?xk *

= ( dyjk + dxi k ) =
2 2
*

?xi k ?ui /?xi k 20
20 2 20



?ui ?ui /?xk ?gj/?yjk *

= (– dyjk + dxi k ) =
2 2 0


?xi k ?ui /?xi k ?gj/?yjk 0 20
*
20 2 20



Представим изменения потребления блага k0 в виде
dxi k = ? dyjk ,
20 0



где ? ? (0, 1) — доля потребителя i2 в уменьшении потребления блага k0. Тогда
?ui ?ui /?xk ?gj/?yjk *

dui = (? dyjk – dyjk ) =
2 2 0


?xi k ?ui /?xi k ?gj/?yjk
2 0 0
*
20 2 20


?ui ?ui /?xk ?gj/?yjk *

(?–
= )dyjk =
2 2 0


?xi k ?ui /?xi k ?gj/?yjk 0
*
20 2 20



Поскольку dyjk < 0, то dui > 0 тогда и только тогда, когда
0 2



?ui /?xk ?gj/?yjk *

?< . 2 0


?ui /?xi k ?gj/?yjk *
2 20



Мы можем всегда подобрать долю ? ? (0, 1), удовлетворяющую этому неравенству136. Та-
ким образом, существует строгое Парето-улучшение в дифференциалах.
*
Заметим, что при отказе от любого из условий теоремы ее утверждение, вообще говоря,
перестает быть справедливым. Так, равновесие при добровольной подписке может быть
Парето-оптимальным в перечисленных ниже ситуациях.
1) Потребитель всего один m = 1. (В этой ситуации, однако, едва ли уместно говорить об
общественном благе).
2) Общественное благо в рассматриваемой экономике единственно и его «ценит» только
один потребитель (сверх уровня, финансируемого этим потребителем), т.е. предельная
полезность общественного блага при данной величине его потребления положительна
только для одного потребителя (и равна нулю для остальных).
3) Предельные полезности всех общественных «благ» у одних участников положительны,
у других отрицательны, и происходит точное уравновешивание.
4) Частные и общественные блага комплементарны в потреблении. Заметим, что при этом
не выполнено условие дифференцируемости функций полезности.
5) Равновесие не является внутренним. Здесь полезно различать два возможных случая.
Случай (а): множество допустимых потребительных наборов обуславливают ограничение
вида xk > 0 по общественному благу k*, и в равновесии производство этого блага равно
*



нулю. Такое равновесие может быть Парето-оптимальным, если производство его оказы-
вается «слишком дорогим», экономически неоправданным.

?ui2/?xk* ?gj/?yjk*
136
, то ? можно выбрать произвольно, другими словами, Парето-
Заметим, что если =
?ui2/?xi2k0 ?gj/?yjk0
улучшение гарантируется при любых пропорциях уменьшения потребления первого блага. С другой сторо-
ны, если ?ui2/?xk* = 0, то мы не можем подобрать ? и построить Парето-улучшение рассматриваемого типа.

407
408
Случай (б): в равновесии потребление всех благ, за исключением одного (общественного)
блага равно нулю.
6) Равновесие может быть Парето-оптимальным и в случае, когда общественное благо
является неделимым.
Пример 1 (комплементарность частного и общественного блага).
В экономике имеется два потребителя с функциями полезности
ui(x1, xi2) = min(x1, xi2),
где x1 > 0 — потребление общественного блага, xi2 > 0 — потребление частного блага i-м
потребителем, и один производитель с неявной производственной функцией
g(y1, y2) = y1 + y2,
где y1 — производство общественного блага, y2 — чистое производство частного блага (–
y2 — затраты частного блага). Другими словами, имеющаяся технология позволяет произ-
вести единицу общественного блага из единицы частного.
Потребители имеют только запасы частного блага в размере ?i > 0. Баланс по обществен-
ному благу имеет вид x1 = y1, а по частному благу —
x12 + x22 = y2 + ?1 + ?2.
Покажем, что любое равновесие в этой модели Парето-оптимально и любой Парето-
оптимум можно реализовать как равновесие (при подходящем выборе трансфертов).
Опишем сначала Парето-оптимальные состояния данной экономики. Можно заметить
следующие факты:
! В Парето-оптимуме количество общественного блага не может быть ниже потребле-
ния частного блага любым потребителем. Пусть, это не так, например, x1 < x12. Тогда
можно немного уменьшить x12 и произвести за счет этого больше общественного блага
x1. При этом полезность обоих потребителей возрастет.
! В Парето-оптимуме количество общественного блага не может быть выше потребле-
ния частного блага каждым из потребителем. Пусть это не так, т.е. x1 > x12 и x1 > x22. То-
гда можно уменьшить немного производство общественного блага, произвести за счет
этого больше частного блага и увеличить x12 или x22. При этом полезность соответст-
вующего потребителя возрастет, а полезность другого потребителя не изменится.
! В любом Парето-оптимуме используются все ресурсы, т.е. выполнено
x1 + x12 + x22 = ?1 + ?2.
Отсюда следует, что Парето-оптимальные состояния в этой экономике могут быть трех
типов:
(i) x12 < x1 = x22, (ii) x22 < x1 = x12, (iii) x1 = x12 = x22.
Можно показать, что если в допустимом состоянии экономики выполнено одно из этих
трех условий и используются все ресурсы, то это Парето-оптимум.
Опишем теперь равновесия в этой модели. Заметим, что в любом равновесии цены обще-
ственного и частного блага совпадают. Можно выбрать их равными единице: p1 = p2 = 1.
Учитывая это, в равновесии задача потребителя имеет вид
min(x1, xi2) > max x ,t i i


xi2 + ti < ?i,
x1 = ti + t–i,

408
409
x1 > 0, xi2 > 0,
ti > 0.
Потребителю в равновесии выгодно полностью истратить свой доход ?i. Поэтому мы мо-
жем подставить xi2 = ?i – ti и x1 = ti + t–i в целевую функцию:
min(ti + t–i, ?i – ti) > max t i


0 < ti < ?i.
ui ui
?i
(B) (A)
t–i
?i
ui = min(x1, xi2)
ui = min(x1, xi2) t–i
ti ti
?i ?i
(?i – t–i)/2

?enoiie 88. Eiiieaiaioa?iinou ?anoiiai e iauanoaaiiiai aeaaa
Решение задачи потребителя будет зависеть от соотношения параметров t–i и ?i.
(A) Если t–i > ?i, то ti = 0, x1 = t–i и xi2 = ?i.
(B) Если t–i < ?i, то ti = (?i – t–i)/2, x1 = xi2 = (?i + t–i)/2.
Логически возможны 4 варианта равновесия: AA, AB, BA, BB. Вариант AA невозможен,
так как при этом t1 = t2 = 0, а это, поскольку доходы потребителей неотрицательны, проти-
воречит условиям t1 > ?2 и t2 > ?1. Все остальные варианты возможны. Охарактеризуем со-
ответствующие им состояния равновесия.
(AB) Несложно проверить, что в таком равновесии
t1 = 0, t2 = x1 = x22 = ?2/2, x12 = ?1.
Это равновесие возможно при условии, что ?2 > 2?1.
(BA) Этот вариант получается из предыдущего заменой индексов:
t2 = 0, t1 = x1 = xi1 = ?1/2, x22 = ?2.
Такое равновесие возможно при условии, что ?1 > 2?2.
(BB) Такое равновесие должно удовлетворять уравнениям
t1 = (?1 – t2)/2, x1 = x12 = (?1 + t2)/2,
t2 = (?2 – t1)/2, x1 = x22 = (?2 + t1)/2.
Откуда получаем
t1 = (2?1 – ?2)/3, t2 = (2?2 – ?1)/3,
x1 = x12 = x22 = (?1 + ?2)/3.
Это равновесие возможно при условиях t1 < ?2, t2 < ?1, т.е. ?1 < 2?2, ?2 < 2?1.
Заметим, что в любом равновесии
?1 + ?2 = p1?1 + S1 + p2?2 + S1 = ?1 + ?2.
Несложно проверить, что каждом из этих типов равновесий выполнено

409
410
x1 + x12 + x22 = ?1 + ?2.
Поскольку ?1 + ?2 = ?1 + ?2, то в любом равновесии ресурсы используются полностью. В
равновесиях типа (AB) выполнены условия (i), в равновесиях типа (BA) выполнены усло-
вия (ii), а в равновесиях типа (BB) выполнены условия (iii). Таким образом, любое равно-
весие Парето-оптимально.
Более того, в этой экономике любое Парето-оптимальное состояния можно реализовать
как равновесие с добровольным финансированием. Так, например, Парето-оптимуму,
удовлетворяющему условию (i), соответствует равновесие типа (AB), такое что
?1 = x12, ?2 = 2x1 = 2x22, t1 = 0, t2 = x1 = x22.
Парето-оптимуму, удовлетворяющему условию (iii), соответствуют равновесия типа (BB),
такие что
?1 + ?2 = 3x1 = 3x12 = 3x22, t1 = (2?1 – ?2)/3, t2 = (2?2 – ?1)/3.
?
Мы привели пример экономики, соответствующей ситуации (4). Читателю предлагается
привести примеры экономик, соответствующих ситуациям (2), (3), (5) и (6) самостоятель-
но.
Комментируя теорему, отметим, что при добровольном финансировании возможны си-
туации, когда некоторые потребители не делают взносы на финансирование общественно-
го блага. Таких потребителей называют «безбилетниками». В том случае, когда, напри-
?ui /?xk *

мер, предельные нормы замещения общественного блага k* частным благом k0
1


?ui /?xi k 1 10


различны, только один потребитель финансирует производство общественного блага. Ос-
тальные оказываются безбилетниками. Ниже, для случая квазилинейной экономики мы
покажем, что такая ситуация является типичной.
В случае квазилинейной экономики равновесие с добровольным финансированием обще-
----
ственного блага это набор (p, t , x, y) такой что
4 При цене p взнос -i является решением задачи потребителя
- t

<< Предыдущая

стр. 94
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>