<< Предыдущая

стр. 95
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


vi((ti + ¤ -s)/p) – ti > max t >0.
t- i
s?i

4 Суммарная величина взносов совпадает с суммой, требуемой для финансирования об-
- -
щественного блага в объеме x по цене p:

¤ -i = px.
t --
i?I

- -
4 При цене p величина y является решением задачи производителя
py – c(y) > max y>0.
--
4 Спрос на общественное благо равен предложению: x = y
В равновесии выполняются соотношения:
v?(x) < p, причем v?(x) = p, если ti > 0;
i- - i- -
p < c?(x), причем p = c?(x), если x > 0.
- - - - -



410
411
-
Предположим, что x > 0 (равновесие внутреннее). Тогда существует потребитель i1 такой,
что ti > 0 и, следовательно, v? (x) = c?(x).
i- -
1



Если v?(x) > 0, и существует не совпадающий с i1 потребитель, для которого это неравен-
i-

ство строгое, то ¤i v?(x) > c?(x).
i- -
Предположим, что предельные полезности v?(x) неотрицательны и не возрастают, причем
i
хотя бы у одного потребителя они убывают, а предельные издержки c?(y) всюду положи-
-^ ^
тельны и не убывают. Тогда x > x, где x — Парето-оптимальный объем производства (и
потребления) общественного блага. Это следует из того, что W?(x) = ¤i v?(x) – c?(x) —
i
убывающая функция, W?(x) > 0, и W?(x) < 0.
- ^
Появление этого эффекта недопроизводства общественных благ легко понять в контексте
проводившегося нами анализа экстерналий, когда каждый потребитель, планируя приоб-
ретение общественного блага, не учитывает влияния своих действий (поскольку не заин-
тересован при таком механизме его финансирования учитывать это влияние) на рост бла-
госостояния других потребителей, а поэтому планирует приобрести его слишком мало.
Эта незаинтересованность учитывать влияние своих действий на благосостояние других
участников составляет суть проблемы безбилетника: каждый потребитель заинтересован в
увеличении вклада в финансирование общественного блага другими, но не заинтересован
сам в увеличении своего.
Кто именно из потребителей будет безбилетником в квазилинейной экономике можно в
ситуации, когда потребители ранжированы по их предельной оценке общественного блага
безотносительно объема его потребления, т.е. в случае, если выполняется соотношение
? ? ?
v1(x) < v2(x) < ... < vm(x) ?x > 0.
Проанализируем свойства равновесий с добровольным финансированием в этой ситуации.
----
Пусть (p, t , x, y) — такое равновесие. Тогда
?- -
vm(x) < p.
Поскольку v?(x) < vm(x) ?i ? m, то v?(x) < p. Это влечет за собой то, что -i = 0, ?i ? m, т.е.
?-
i- i- - t
все потребители, кроме m не участвуют в финансировании общественного блага.
(Аналогичный результат имеет место и в дискретном случае, когда
v1 < v2 < ... < vm.
А именно, в равновесии общественное благо может финансировать только m-й потреби-
тель).
Таким образом, x = -m/p, и возможны равновесия двух типов:
-t-
(1) -m = 0 и y = 0,
-
t
(2) -m > 0 и y > 0.
-
t
? ?
В первом случае vm(0) < p < c?(0).137 Поскольку предельная полезность vm(x) не возрастает,
-
а предельные издержки не убывают, то любое такое состояние будет соответствовать рав-
новесию.



?
137
Если величины vm(0) и c?(0) не определены, то эти величины в неравенстве следует заменить соответст-
вующими пределами.

411
412
?- - -
Во втором случае vm(x) = p = c?(x). Как и в первом случае, поскольку предельная полез-
?
ность vm(x) не возрастает, а предельные издержки не убывают, то любое такое состояние
будет соответствовать равновесию. Данную ситуацию иллюстрирует Рис. 89.

¤i v?(y)
i
c?(y)



?
? vm(y)
v2(y)

-
p
?
v1(y)


- ^
y y

?enoiie 89. ?aaiiaanea n aia?iaieuiui oeiaine?iaaieai i?e oii?yai?aiiinoe
ioaiie
? ?
Если vm(0) < c?(0), то равновесие может быть только первого типа, а если vm(0) > c?(0), то
равновесие может быть только второго типа.
?
Предположим дополнительно, что функция vm(x) – c?(x) убывает. Тогда необходимые ус-
ловия равновесия являются достаточными. А именно, если
--
x=y
p ?-
- = vm(x) = c?(y),
-
-m = px,
t --
и
-i = 0, ?i ? m,
t
----
то (p, t , x, y) является равновесием с добровольным финансированием. Действительно,
необходимые условия решений задач потребителя и производителя выполнены, поскольку
v?(x) < vm(x) = p = c?(y) и -i = 0, ?i ? m.
?- -
i- - t
Сделанные выше предположения относительно поведения предельных полезностей и пре-
дельных издержек гарантируют, что необходимые условия решений задач потребителя и
производителя являются достаточными.
?
Аналогично, если vm(0) < p < c?(0), то (p, 0, 0, 0) является равновесием с добровольным фи-
- -
нансированием.
?
Отсюда следует, что (если функция vm(x) – c?(x) непрерывна) равновесие существует тогда
?
и только тогда, когда существует объем общественного блага x такой, что c?(x) > vm(x).
-
Поскольку равновесный объем x удовлетворяет этому условию, то это условие является
?
необходимым. Поэтому остается доказать достаточность. Действительно, если vm(0) <
?
-
c?(0), то существует равновесие с x = 0. Если же vm(0) > c?(0), то по непрерывности
?-
- -
существует x > 0, такой что vm(x) = c?(x), и на его основе можно сконструировать равнове-
сие. того, в рассматриваемых условиях равновесие единственно. Читатель может дока-
Кроме
зать это самостоятельно.
Пример 2.

412
413
Пусть
ui(x, zi) = 2?i ln x + zi, c(y) = y2.
^
Оптимальный объем производства общественного блага составляет тогда величину y,
удовлетворяющую соотношению Самуэльсона:

¤v?(x) = c?(x).
i^ ^
i?I

В данном примере это соотношение имеет вид

¤(2?i/x) = 2x или x2 = ¤?i.
^ ^ ^
i?I i?I

^^
Заметим попутно, что r = x2 — это как раз издержки производства общественного блага.
Таким образом, оптимальный объем общественных расходов составляет величину

r = ¤?i.
^
i?I

В случае же равновесия с добровольным финансированием
vi?(x) < c?(x) ?i,
- -
т.е.
2?i/x < 2x ?i или x2 > ?i ?i.
-- -
-
Поскольку x > 0, то существует по крайней мере один потребитель, который делает поло-
жительный взнос. Это означает, что x2 = maxi ?i. Объем расходов на общественное благо
-
составляет величину
- = maxi ?i.
r
- - -
Цена общественного блага равна p = c?(x) = 2x, а сумма взносов равна

¤ -i = px = 2x2 = 2r.
t -- - -
i?I

Пусть в экономике 3 участника, и ?i = i. Платить будет потребитель, который ценит обще-
ственное благо больше всех, а именно третий. Остальные предпочтут пользоваться благом
бесплатно. Отсюда
- = 3, x = y = 3 , p = 2 3 , -3 = 6, -1 = -2 =0.
--
r t tt
^
В Парето-оптимуме x = 6 , то есть равновесное количество общественного блага меньше
оптимального.
?

Задачи
4. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функ-
циями полезности вида:
u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b > 0).
Производная v?(x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функ-
цию издержек вида c(y) = 2y.


413
414
При каких a и b (внутреннее) равновесие с добровольным финансированием будет Парето-
оптимальным? Обоснуйте свое утверждение.


5. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функ-
циями полезности вида:
u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b > 0).
Производная v?(x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функ-
цию издержек вида c(y) = 2y.
(1) Какие условия на a и b гарантируют, что во (внутреннем) равновесии с добровольным
финансированием только у первого потребителя взнос будет положительным? Обоснуйте
свое утверждение.
(2) Какие условия на функцию v(x) гарантируют, что в равновесии с добровольным фи-
нансированием общественное благо будет производиться?


6. В экономике с общественным благом (s > 0) и частным благом (zi > 0) один потребитель
имеет функцию полезности u1 = ln s + z1, а другой — u2 = 2/3 ln s + z2. Начальные запасы
равны ?1 = (0; 0,5) и ?2 = (0; 0,5). Технология позволяет из единицы частного блага произ-
водить ? единиц общественного (? > 0,5). При каких значениях параметра ? равновесие с
добровольным финансированием окажется Парето-оптимальным? Объясните.


7. В экономике с общественным благом (G > 0) и частным благом (zi > 0) один потребитель
имеет функцию полезности u1 = 0,5 G + z1, а другой — u2 = ? G + z2 (? > 0). Начальные запа-
сы равны ?1 = (0; 40) и ?2 = (0; 20). Технология позволяет из единицы частного блага про-
изводить единицу общественного. При каких значениях параметра ? равновесие с добро-
вольным финансированием окажется Парето-оптимальным? Объясните.

<< Предыдущая

стр. 95
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>