<< Предыдущая

стр. 96
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



8. В экономике с общественным благом (Q > 0) и частным благом (zi > 0) один потребитель
имеет функцию полезности u1 = ln Q + z1, а другой — u2 = ? ln Q + z2. (? > 0). Начальные запа-
сы равны ?1 = (0; 0,5) и ?2 = (0; 0,5). Технология позволяет из единицы частного блага про-
изводить единицу общественного. При каких значениях параметра ? равновесие с добро-
вольным финансированием окажется Парето-оптимальным? Объясните.


9. В экономике с общественным благом (x > 0) и частным благом (zi > 0) один потребитель
имеет функцию полезности u1 = 2x + z1, а второй — u2 = ?x + z2 (? > 0). Начальные запасы
равны ?1 = (0; 10) и ?2 = (0; 10). Технология позволяет из единицы частного блага произво-
дить единицу общественного. При каких значениях параметра ? равновесие с доброволь-
ным финансированием окажется Парето-оптимальным? Объясните.


10. В экономике с общественным благом (x > 0) и частным благом первый потребитель
имеет функцию полезности u1 = ln (2 + x) + z1, а второй — u2 = ? ln (2 + x) + z2 (? > 0). Техно-
логия позволяет из единицы частного блага производить единицу общественного. При
каких значениях параметра ? равновесие с добровольным финансированием окажется Па-
рето-оптимальным? Объясните.

414
415


11. В экономике двух потребителей с двумя благами — общественным и частным —
функции полезности имеют вид
u1 = ln G + 4 ln x1 и u2 = ln G + 3 ln x2.
Оба потребителя имеют начальные запасы только частного блага — 5 и 8 соответственно.
Технология единственного предприятия позволяет из единицы частного блага произвести
единицу общественного блага.
(A) Запишите систему уравнений, задающую границу Парето.
(B) Найдите равновесие с добровольным финансированием общественного блага.


12. Функции полезности двух потребителей равны u1 = Gx1 и u2 = G2x2, где G и xi — по-
требление общественного и частного блага соответственно. Общественное благо произво-
дится единственным предприятием по технологии G3 = r, где r — производственные за-
траты частного блага. Начальные запасы потребителей состоят только из частного блага и
равны ?1 = 0,5, ?2 = 2,5. Прибыль предприятия целиком идет второму потребителю.
(A) Проверьте, что x1 = 0,5, x2 = 1,5, G = 1, r = 1, pG = 3, px = 1, t1 = 0, t2 = 3 — равновесие с
добровольным финансированием общественного блага. Ответ должен быть полным.
(B) Продемонстрируйте, что это состояние не оптимально по Парето.


13. Функции полезности двух потребителей равны u1 = z + x1 и u1 = 2 z + x2, где z и
xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Общественное благо
производится единственным предприятием по технологии 9z = a, где a — производствен-
ные затраты частного блага. Начальные запасы потребителей состоят только из частного
блага и равны ?1 = 4, ?2 = 117. Прибыль предприятия целиком идет первому потребителю.
(A) Проверьте, что x1 = 4, x2 = 81, z = 4, a = 36, pz = 9, px = 1, t1 = 0, t2 = 36 — равновесие с доб-
ровольным финансированием общественного блага. Ответ должен быть полным.
(B) Продемонстрируйте, что это состояние не оптимально по Парето.


Функции полезности двух потребителей равны u1 = –3/a – 1/x1 и u2 = –1/a – 1/x2, где a и
xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Общественное благо
производится единственным предприятием по технологии a = 3h, где h — производствен-
ные затраты частного блага. Начальные запасы потребителей состоят только из частного
блага и равны ?1 = 2/3, ?2 = 2/3. Прибыль предприятия делится пополам между потребите-
лями.
(A) Проверьте, что x1 = 2/3, x2 = 2/3, a = 2, h = 2/3, pa = 1, px = 3, t1 = 2, t2 = 0 — равновесие с
добровольным финансированием общественного блага. Ответ должен быть полным.
(B) Продемонстрируйте, что это состояние не оптимально по Парето.

4
14. Функции полезности двух потребителей равны u1 = xz1 и u2 = xz2, где x и zi — потреб-
ление общественного и частного блага соответственно. Общественное благо производится
единственным предприятием по технологии x2 = z0, где z0 — производственные затраты
частного блага. Начальные запасы потребителей состоят только из частного блага и равны
?1 = 9/4, ?2 = 3/4. Прибыль предприятия целиком идет первому потребителю.
415
416
(A) Проверьте, что z1 = 2, z2 = 3/4, x = 1/2, z0 = 1/4, px = 1, pz = 1, t1 = 1/2, t2 = 0 — равновесие
с добровольным финансированием общественного блага. Ответ должен быть полным.
(B) Продемонстрируйте, что это состояние не оптимально по Парето.


15. В квазилинейной экономике с двумя благами, одно из которых — общественное,
предпочтения потребителей i = 1, ..., m и заданы функциями полезности
ui(G, zi) = ?i f(G) + zi,
где G — общественное благо, zi — оставшиеся деньги, f(?) — функция с убывающей про-
изводной. При этом выполняются неравенства ?i < ?j при i < j. Технология задана функци-
ей издержек единственного предприятия, c(G). Охарактеризуйте равновесие с доброволь-
ным финансированием. Будут ли в этой ситуации безбилетники, и если будут, то кто?
Обоснуйте. Сравните с Парето-оптимумом.


16. Пусть в квазилинейной экономике предпочтения потребителей описываются функцией
полезности вида
ui(x, zi) = ?i ln x + zi,
а функция издержек имеет вид
c(y) = y2/2.
Начальные запасы частного блага у потребителей достаточно велики. Найдите равновесие
с добровольным финансированием общественного блага. При каких условиях в этой эко-
номике будет по крайней мере один «безбилетник»? Какие потребители окажутся «безби-
летниками»?


17. Предположим, что в экономике с тремя потребителями производство общественного
блага финансируется с помощью добровольных взносов частного блага ti > 0, причем еди-
ница общественного блага производится из единицы частного. Функции полезности рав-
ны ui = Gxi. Найдите равновесие и Парето-оптимум, если начальные запасы частного блага
равны а) ? = (2; 3; 7), б) ? = (2; 4; 6).


18. [Bergstrom] (Субсидирование добродетели)
Благосостояние Аристотеля и Платона зависит от двух благ — одного частного и одного
общественного. Их предпочтения совпадают и задаются вогнутой дважды дифференци-
руемой функцией полезности ui = u(x1, xi2). Аристотель и Платон располагают одинаковы-
ми запасами частного блага. Единицу общественного блага можно произвести из единицы
частного. Его производство финансируется за счет добровольных взносов, и каждый из
философов рассматривает взнос другого как данный. Добровольные взносы Аристотеля
субсидируются из расчета ? руб. субсидии за 1 руб. взносов (другими словами, Аристо-
тель фактически выплачивает (1 – ?) руб. на 1 руб. взносов). Субсидии финансируются за
счет аккордных налогов, бремя которых делится поровну между философами. Известно,
что в равновесии производство общественного блага положительно.
(1) Кто из философов может делать в равновесии положительные взносы?
(2) Выиграет ли Платон, если субсидию будут выплачивать ему, а не Аристотелю? Как
можно объяснить полученный результат?

416
417
(3) Предположим, что благовоспитанные философы получают моральное удовлетворение
от того, что часть общественного блага куплена за их средства, другими словами, функция
полезности зависит дополнительно от количества общественного блага, купленного за
счет чистого взноса данного философа (т.е. без учета субсидий). Поменяется ли от этого
ответ на предыдущий вопрос?

Равновесие (псевдоравновесие) Линдаля
Ранее в этой главе были выведены дифференциальные характеристики Парето-опти-
мальных состояний экономики. Можно ли, по аналогии с экономиками без общественных
благ, реализовать эти состояния экономики как рыночные равновесия, установив тем са-
мым вариант второй теоремы благосостояния для таких экономик?
Покажем, что это возможно сделать, модифицировав должным образом понятие равнове-
сия138. Сравнение дифференциальных характеристик Парето-оптимальных состояний эко-
номик с общественными благами и классических экономик указывает направление такой
модификации. Так, уравнения Самуэльсона, связывающие предельные нормы замещения
общественного на частное благо в потреблении и производстве, не влекут за собой равен-
ство предельных норм замещения общественного блага на частное для всех потребителей:
в общем случае в Парето-оптимальных состояниях эти предельные нормы замещения мо-
гут быть разными. А поскольку в рыночном равновесии отношение предельных норм за-
мещения благ равны отношению их цен, то возможная модификация рыночного равнове-
сия состоит в отказе от единой цены для общественных благ и введении индивидуализи-
рованных цен таких благ.
Другими словами, будем считать, что каждый потребитель сталкивается с индивидуали-
зированной ценой общественного блага, qik, (k ? K1). Далее, уравнение Самуэльсона под-
сказывает, что сумма индивидуализированных цен должна равняться цене, с которой
сталкиваются производители общественного блага, т.е.

¤qik = pk, ?k ? K1.
i?I

Такое равновесие с индивидуализированными ценами общественных благ называют рав-
новесием Линдаля.

Приведем точную формулировку модели Линдаля.
Задача потребителя в модели Линдаля имеет вид139
ui(xi) > max x i



¤ qikxk + ¤ pkxik < ?i , (25)
k?K1 k?K2
xi ? Xi.
Задача производителя имеет обычный вид
pyj > max y . (26)
j


gj(yj) > 0, ?j.



138
Заметим, что аналогичное исследование мы провели в общем случае экстерналий. Здесь мы его конкрети-
зируем для частного случая рассматриваемых в этой главе — общественных благ.
139
В случае частных благ все потребители сталкиваются с одинаковыми ценами и выбирают разные наборы,
в случае общественных благ все наоборот: потребители сталкиваются с разными ценами и потребляют оди-
наковые наборы.

417
418
Определение 4.
Назовем (p, q, x, y) равновесием (псевдоравновесием) Линдаля140, если
----
--
# (x, y) — допустимое состояние экономики с общественными благами;
-
# каждый набор xi является решением соответствующей задачи потребителя (25) при це-
- -
нах p, и индивидуализированных ценах общественных благ {qik}k?K и доходах; 2




?i = p?i + ¤ ?ij pyj + Si
- --
j?J

- -
# технология yj является решением задачи производителя (26) при ценах p;
# сумма индивидуализированных цен общественного блага равна цене производителя:

¤-ik = pk ?k ? K1.
q-
i?I



В равновесии Линдаля достигается консенсус в том смысле, что каждый потребитель при
равновесных ценах предъявляет спрос именно на существующий (произведенный) объем
общественного блага:

xik = xk = ¤ y jk, ?i, ?k ? K1.
-- -
j?J

Для случая дифференцируемых функций мы можем убедиться в совпадении дифференци-
альных характеристик внутренних Парето-оптимальных состояний и внутренних равнове-
сий Линдаля.
Действительно, при сделанных ранее предположениях дифференциальная характеристика
решения задачи потребителя (25) имеет вид:
?ui/?xk qik
= , ?i, ?k ? K1,
?ui/?xik pk 0
0



?ui/?xik pk
= , ?i, ?k ? K2.
?ui/?xik pk 0
0



где k0 ? K1 — частное благо, такое что pk ? 0. 0



Аналогично, дифференциальная характеристика решения задачи производителя (26) име-
ет вид:
?gj/?yjk pk
= , ?j, ?k?K.
?gj/?yjk pk 0
0



Учитывая, что для общественных благ ¤i qik = pk, исключим из этих характеристик цены и
получим уравнения, совпадающие с полученной ранее дифференциальной характеристи-
кой оптимума.


140
Lindahl, Erik, Die Gerechtigkeit der Besteuerung, диссертация, университет Лунда, 1919, ч. I, гл. 4, "Positiv
Losung" (англ. пер. Lindahl, E. "Just Taxation — a Positive Solution" in R.Musgrave and A.Peacock (eds.),
Classics in the Theory of Public Finance. London: Macmillan, 1958). Эрик Линдаль, развивая идеи Кнута Вик-
селя, предложил концепцию решения проблемы финансирования общественных благ, которую ниже мы
называем равновесием при консенсусе. Более поздние исследователи назвали рассматриваемое в этой главе
конкурентное псевдоравновесие «равновесием Линдаля», поскольку между двумя равновесными концеп-
циями существует близкая связь (см. напр. D. K. Foley, "Lindahl’s Solution and the Core of an Economy with
Public Goods," Econometrica, 38 (1970), 66-72).

418
419
Совпадение дифференциальных характеристик равновесия и Парето-оптимума при до-

<< Предыдущая

стр. 96
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>