<< Предыдущая

стр. 99
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



¤ ?ik(xk)pkxk + ¤ pkxik < ?i, (28)
k?K1 k?K2
(x , xi ) = xi ? Xi,
(1) (2)

(2) (1)
где полезность максимизируется по xi при заданной величине x . На основе этих задач
˜
предпочтения можно задать с помощью функции полезности ui(?), сопоставляющей каж-
(1)
дому набору общественных благ x максимально достижимое значение полезности в
данной задаче.
Одна из самых распространенных процедур — голосовании по правилу простого боль-
шинства.

Определение 6.
Пусть A — множество альтернатив и {}i}i — набор предпочтений i = 1, ..., m на A. Аль-
_
тернатива a ? A называется равновесием при голосовании по правилу простого боль-
-
шинства если не существует такой альтернативы a ? A, что она лучше a по большинству
-
предпочтений.

На основе этой процедуры можно предложить концепцию равновесия для экономики с
общественными благами.

Определение 7.
Равновесие с долевым финансированием и голосованием на основе правила простого
142
---
большинства есть набор (p, x, y), такой что

--
# (x, y) — допустимое состояние экономики с общественными благами;
(2)
-
# для каждого потребителя xi является решением задачи (28) при ценах p, доходах

?i = p?i + ¤ ?ij pyj + Si
- --
j?J
(1) (1)
-
и объемах потребления общественных благ x = x ;


142
По-видимому, впервые голосование по поводу выбора объема общественного блага было проанализиро-
вано Говардом Боуэном в статье Howard R. Bowen, "The Interpretation of Voting in the Allocation of Economic
Resources," Quarterly Journal of Economics, 58 (1943), 27-48

427
428
(1)
-
# x — равновесие при голосовании по правилу простого большинства для альтернатив,
(1)
заданных множеством наборов общественных благ X , и набора предпочтений, задан-
˜
ных функциями ui(?);
-
# каждая технология yj является решением соответствующей задачи производителя (26)
-
при ценах p.


Выбор количества общественных благ с помощью голосования простым большинством
сталкивается с двумя серьезными проблемами:
(1) Такое равновесие существует только при довольно ограничительных предположениях.
Известный парадокс Кондорсе143 показывает, что, вообще говоря, при числе участников не
менее трех (> 3) равновесие при голосовании может не существовать даже при конечном
числе альтернатив.
(2) Даже если равновесие существует, оно обычно не Парето-оптимально.
Существование равновесия при голосовании можно гарантировать в случае, когда пред-
почтения потребителей однопиковые.
Приведем определение понятия однопиковых предпочтений для частного случая, когда
множество альтернатив A является подмножеством действительных чисел (этот случай
соответствует экономике, в которой существует только одно общественное благо). Отно-
шение предпочтения }i потребителя (на множестве альтернатив A) однопиковое, если вы-
_
полняются следующие условия:
^ ^
(a) существует оптимальная с точки зрения потребителя i альтернатива ai (альтернатива ai
такая, что ai }i a для всех a?A);
^_
(b) если a1 < a2 < ai, то a2 }i a1;
^ _
(c) если a1 > a2 > ai, то a2 }i a1.
^ _
Проиллюстрируем сказанное на примере квазилинейной экономики. Пусть доля ?i каждо-
го потребителя в финансировании общественного блага постоянна и положительна. Тогда
предпочтения потребителя i на множестве возможных вариантов потребления обществен-
ного блага задаются функцией
ui(x) = vi(x) – ?ipx.
˜
˜
Будем считать, что для любого i функция ui(x) достигает максимума на множестве неот-
рицательных чисел при любом положительном p. Обозначим это оптимальное с точки
зрения потребителя i количество общественного блага xi144. Тогда соответствующие пред-
^
почтения являются однопиковыми (при ai = xi) на множестве альтернатив A = [0, ?).
^^


143
Жан Антуан Кондорсе (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat marquis de Condorcet), 1743-1794 — француз-
ский математик и социолог.
В примере Кондорсе рассматриваются 3 участника, выбирающие из 3 альтернатив. Парадокс возникает,
когда предпочтения заданы следующим образом:

a1 }1 a2 }1 a3,
a3 }2 a1 }2 a2,
a2 }3 a3 }3 a1.
Условие v?(xi) > 0 при xi > ? гарантирует существование такого количества.
144
i


428
429
Действительно, по построению величина xi — максимум функции ui(x) на множестве A.
^ ˜
Несложно также проверить, что, поскольку v?(x), не убывает, эти предпочтения удовле-
i
творяют условиям (b) и (c).
Заметим, что величину ui(xi) = vi(xi) – ?ipxi можно интерпретировать как потребительский
˜^ ^ ^
излишек, соответствующий индивидуализированной цене общественного блага ?ip.
Заметим, что если предельные издержки v?(?) являются непрерывной функцией, то xi
^
i
удовлетворяет соотношениям
v?(xi) < ?ip,
i^

^
причем, если xi > 0, то
v?(xi) = ?ip .
i^

Эти уравнения задают равновесие.
˜
Возможное поведение оценок ui(xi) объемов общественного блага для случая, когда m = 3,
приведено на диаграмме:

˜
u1(x)
˜
u3(x)


˜
u2(x)


^ ^ ^ x
x1 x2 x3
Заметим, что в случае, когда m — нечетное число (m = 2s + 1), равновесие при голосова-
нии имеет особо простую структуру. В этом случае равновесной является медиана из объ-
^ ^
емов xi, то есть (s + 1)-й по порядку возрастания объем. (Если все величины xi разные,
ровно s = (m – 1)/2 потребителей предпочитает увеличить потребление общественного
блага, а другие s потребителей желали бы его уменьшить). В приведенном на диаграмме
^
примере это альтернатива x2. Таким образом, равновесие при голосовании определяется
предпочтениями медианного потребителя. Обозначим индекс такого потребителя через i*.
Заметим, что i*, вообще говоря, зависит от цены общественного блага p, поскольку от p
˜
зависят функции ui(x).
Учитывая сказанное, (внутреннее) равновесие на рынке общественного блага в состоянии
равновесия с долевым финансированием и голосованием на основе правила простого
-
большинства характеризуется следующим образом. Если y — равновесный объем, а p —
равновесная цена общественного блага, то
- ^-
p = c?(y) и xi = y,
*




где i* — медианный потребитель при цене p.
В общем случае при нахождении равновесия для нахождения медианного потребителя
нужно знать равновесную цену, которая, в свою очередь, зависит от медианного потреби-
теля (желаемого им объема потребления общественного блага).
Но если предельные издержки производства общественного блага постоянны, то (во внут-
реннем равновесии) равновесная цена известна заранее — она равна предельным издерж-
кам и i* — медианный потребитель при этой цене.


429
430
В общем случае найти медианного потребителя при «правильной» цене можно на основе
следующего приема.
^ ^
Заметим сначала, что поскольку p = c?(xi ), то величина xi является решением одного из
* *



следующих m уравнений
v?(xi) = ?ic?(xi).
i

- -
Предположим, что xi — медиана из рассматриваемых величин {xi} — решений таких
*



-
уравнений. Тогда xi является предпочитаемым медианным потребителем объемом по-
*



^ - - -
требления общественного блага (то есть xi = xi ), а величина p = c?(xi ) — равновесной це-
* * *



ной общественного блага.
- -
Для доказательства этого факта достаточно показать, что при цене p = c?(xi ) потребитель *



i является медианным потребителем. Покажем это. Для каждого потребителя i, такого,
*

что xi< xi , величина c?(xi ) не превышает величину равновесной цены p = c?(xi ). Поэтому
-- - - -
* *



^
предпочитаемое при цене p потребителем i количество общественного блага xi — реше- *



ние уравнения v?(xi) = ?i- — не превышает величину xi. Таким образом xi < xi . Аналогич-
- ^^
p *
i

ным образом показывается, что если xi > xi*, то xi > xi . А это и означает, что потребитель i*
-- ^^ *



является медианным при ценах p = c?(xi )145.
- - *




С другой стороны, если предельные полезности, деленные на доли, v?(xi)/?i, упорядочены
i
одинаково вне зависимости от уровня общественного блага, то медианный потребитель не
зависит от цены.
Сравним оптимальное количество общественного блага и его объем в равновесии при го-
лосовании с долевым участием.
В особой ситуации, когда доли расходов равны предельным полезностям, соответствую-
щим его оптимальному количеству, т.е. ?i = v?(x), для всех участников выполнено соот-
i^

<< Предыдущая

стр. 99
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>