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Lineare Algebra und Analytische Geometrie

J. Baumeister1

Skript zur Vorlesung Lineare Algebra in den Semestern
Winter 1995/96, Sommer 1996
an der Johann Wolfgang Goethe“Universit¨t Frankfurt am Main
a




1
Dies sind noch unvollst¨ndige und ober¬‚¨chlich korrigierte Aufzeichnungen! Die mit * ge-
a a
kennzeichneten Abschnitte waren nicht Teil der Vorlesung.
Inhaltsverzeichnis

Einleitung I

1 Mengen und Abbildungen 1
1.1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Lineare Gleichungssysteme 26
2.1 Beispiele und Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
¨
2.2 Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Losungsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
¨
2.4 Das Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Vektorraume 45
¨
3.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Permutationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 K¨rper . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Vektorr¨ume . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6 Unterr¨ume und Dimensionsformel
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4 Lineare Abbildungen 78
4.1 De¬nition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Rang und Defekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5 Die allgemeine lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6 Linearformen und Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7 Fredholm“Alternative * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 Eigenwerte und Eigenvektoren 112
5.1 De¬nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2 Das Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3 Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

1
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: Januar 1996 2


5.4 Komplexi¬zierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.5 Einfuhrung der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
¨

6 Geometrie 136
6.1 Geometrie, Symmetrie, Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2 Der Euklidische Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 A¬ne R¨ume und a¬ne Abbildungen . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4 Projektive R¨ume und projektive Abbildungen
a . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7 Determinanten 159
7.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
¨
7.2 Multilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.3 Determinantenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.4 Determinante von Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.5 Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.6 Anwendung: Gleichungen der Mechanik * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8 Euklidische Vektorr¨ume
a 189
8.1 Normierte R¨ume . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.2 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.3 Skalarprodukte und Orthogonalit¨t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.4 Symmetrische Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.5 Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9 Konvexitat und lineare Optimierung 224
¨
9.1 Konvexit¨t . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9.2 Der Projektionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.3 Der Satz von Hahn “ Banach * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.4 Lineare Ungleichungen * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.5 Extremalpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.6 Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.7 Dualit¨t * . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Literatur
Einleitung

So eine Arbeit wird eigentlich nie fer-
tig, man muß sie f¨r fertig erkl¨ren,
u a
wenn man nach Zeit und Umst¨ndena
das m¨glichste getan hat.
o
J.W. von Goethe




Das Studium der Mathematik an der Universit¨t beginnt ublicherweise mit Vorlesun-
a ¨
gen zur Analysis (Studium von Funktionen) und zur Linearen Algebra (Studium von
linearen Strukturen und ihren Verknupfungen). W¨hrend Form und Inhalt einer Analy-
a
¨
sisvorlesung in den ersten beiden Semestern ziemlich unumstritten festgelegt sind “ fur¨
die fortsetzenden Vorlesungen zu Di¬erentialgleichungen, Funktionentheorie und Funk-
tionalanalysis gilt dies wohl schon nicht mehr “ sind die Inhalte und ihre Gewichte einer
Vorlesung uber lineare Algebra und analytische Geometrie nicht ganz so klar: Es besteht
¨
viel Spielraum bei der Ausgestaltung und Gewichtung der Aspekte

Strukturen: Gruppen konkret und/oder abstrakt, Korper, Vektorr¨ume, . . . ,
a
¨
Anschauung: Elementargeometrie, euklidische und/oder projektive Geometrie, . . . ,

Beschreibung: Basisfrei, Matrizenkalkul, . . . .
¨

Ziel unserer Darstellung ist eine Form, die klarmacht, woraus sich die Betrachtungsge-
genst¨nde entwickelt haben, wo ihre Untersuchung weitergetrieben wird und worin ihre
a
Bedeutung als mathematische Objekte liegt. Im Wechselspiel von geometrischer Anschau-
ung, Entwurf einer axiomatischen Begri¬swelt und Behandlung ganz konkreter Anwen-
dungen besteht ein ganz betr¨chtlicher Reiz dieser Vorlesung.
a
Diese Vorlesung soll nicht zuletzt eine Heranfuhrung an die Geometrie sein. Wir holen
¨
dabei etwas weit aus, indem wir das “Hilfsmittel“ Lineare Algebra entwickeln und wir
uns der linearen Algebra in der analytischen Beschreibung von geometrischen Objekten
bedienen (Analytische Geometrie).

Ordnen wir zun¨chst einige Begri¬e historisch ganz grob ein, etwas ausfuhrlichere histo-
a ¨
rische Bezuge wollen wir im Text an passender Stelle einstreuen.
¨
Geometrie, so wie sie in der Antike verstanden wurde und von Euklid (Euklid von Alex-
andria (365? “ 300? v.C.)) begrundet wurde, besch¨ftigt sich mit den Lagebeziehungen von
a
¨
Figuren in der Ebene (“Planimetrie“) und von K¨rpern im Raum (“Stereometrie“). Die
o

I
uberall in der Umwelt sichtbaren Lagebeziehungen waren Grundlage solcher Kunste wie
¨ ¨
Bau“ und Vermessungswesen. Im Zentrum stehen die Objekte Gerade, Lot, Ebene, Kegel,
Polyeder, . . . . Sie wurden ordnend gesichtet in dem mathematischen Zweig “Geometrie“.
Eine erste solche Sichtung war die Geometrie in der euklidischen Axiomatik, die sp¨ter a
unter die von R. Descartes (1596 “ 1650) ausgearbeitete Koordinatengeometrie (oder ana-
lytische Geometrie) subsummiert wurde. Descartes faßt Geometrie weiter: Er z¨hlt alle
a
Objekte zur Geometrie, die durch algebraische Gleichungen beschrieben werden k¨nnen, o
nicht nur die, die durch Konstruktionsverfahren zug¨nglich sind. Als eine weitere Sichtung
a
kann das sogenannte “Erlanger Programm“, formuliert von F. Klein (1849 “ 1925), ange-
sehen werden. In diesem Programm wird die Geometrie als Theorie von Invarianten unter
Transformationen aufgefaßt; die Gruppentheorie wird damit beim Studium geometrischer
Fragen von uberragender Bedeutung. Vorausgegeangen war die voneinander unabh¨ngige a
¨
Entdeckung nichteuklidischer Geometrien (Verzicht auf das “umstrittene“ Parallelenaxi-
om) durch W.F. Bolyai (1775 “ 1865), C.F. Gauß (1777 “ 1832) und N.I. Lobatschewski
(1792 “ 1856). Aufbauend auf Arbeiten von G. Desargues (1591 “ 1661) uber die Per-
¨
spektive entwickelte sich (vor allem im 19. Jahrhundert) die projektive Geometrie. Mit
dem Aufsatz “Grundlagen der Geometrie“ (1899) vollendet D. Hilbert (1862 “ 1943) die
Pr¨zisierung der Axiomatik der Geometrie.
a

Die Algebra, die fruher einmal die Kunst der Gleichungsau¬‚¨sung war, ist heute in die
o
¨
allgemeine Theorie der Verknupfungen eingemundet. Die lineare Algebra ist der Teil der
¨ ¨
Algebra, der sich mit linearen Verknupfungen besch¨ftigt und in der numerischen linea-
a
¨
ren Algebra seine Verbindung zur Angewandten Mathematik hat. Die Algebra wird im
allgemeinen sehr abstrakt, axiomatisch betrieben, ihr Fundament hat sie in der Grup-
pentheorie “ die systematische Untersuchung der Symmetrie f¨llt in diesen Bereich “,
a
ihre Verbindung zur Geometrie im Gebiet algebraische Geometrie (siehe Erlangener Pro-
gramm), Arithmetik kann als konkreter Hintergrund ausgemacht werden.

Hilfsmittel der Analysis in der Geometrie wurden interessant durch die Beschreibung
von Objekten durch Koordinaten. Die Diskussion von K¨rpern und Kurven in ihrer ur-
o
sprunglichen Ausrichtung (Kegelschnitte, Spiralen, . . . ) wird damit um analytische Mittel
¨
bereichert. Ein H¨hepunkt dieser Entwicklung ist mit C.F. Gauß verbunden: Er verknupf-
o ¨
te zur Untersuchung der “inneren“ Geometrie von Fl¨chen Algebra und Analysis in tiefer
a
und fruchtbarer Weise. Di¬erentialgeometrie und algebraische Topologie k¨nnen als die
o
Gebiete angesehen werden, in denen schließlich diese Verbindung von Analysis und Alge-
bra intensiv weiterverfolgt wurde und wird.

Geometrie hat sich von der Elementargeometrie der Antike uber die Einbeziehung von
¨
analytischen, algebraischen und topologischen Strukturen weiterentwickelt. Geometrische
Sichtweisen ¬nden sich in aktuellen Forschungsgebieten, etwa: Geometrische Maßtheorie,
geometrische Theorie dynamischer Systeme, Theorie der Fraktale, geometric aided design
(Graphikober¬‚¨che). Algebra hat Bedeutung uber die oben angesprochenen klassischen
a ¨
Gebiete hinaus etwa in der Verknupfung von Gruppentheorie mit der theoretischen Physik,
¨
in der die Rolle der Symmetrie eine uberragende ist, in der Gruppentheorie bei endlichen
¨
Strukturen, in der Computeralgebra.



II
Der Sto¬ der Vorlesung wird von Grund auf ohne inhaltliche Voraussetzungen aufgebaut,
allerdings werden wir bei den Themen Euklidische Vektorr¨ume, Konvexit¨t eine gewisse
a a
Vertrautheit mit den dann wohl schon vorliegenden Ergebnisse der Analysis voraussetzen.
Zun¨chst wollen wir im ersten Kapitel die Sprache entwickeln, mit der wir uber die The-
a ¨
men der Vorlesung reden wollen; sie ist in den Grundzugen aus der Schule bekannt. Im
¨
2. Kapitel besprechen wir die konstruktive L¨sung linearer Gleichungssysteme. Sie macht
o
uns auf viele interessante Fragen und erwunschte Abstraktionsschritte aufmerksam. Nach
¨
der Abstraktionsstufe “Vektor¨ume“, dem Kernstuck der Linearen Algebra, kommen wir
a ¨
in Kapitel 4 dann auf h¨herer Ebene zu den Gleichungssystemen zuruck. Das Kapitel
o ¨
uber Eigenwerte und Eigenvektoren beinhaltet Ergebnisse, die bereits viel Bedeutung fur
¨ ¨
Anwendungen (Di¬erentialgleichungen, Spektraltheorie) haben. Ferner fuhrt es auf De-
¨
terminanten hin, die im 7. Kapitel dann algebraisch abgehandelt werden. Im Kapitel uber
¨
Geometrie kommen wir zur ursprunglichen Intention von euklidischer und analytischer
¨
Geometrie zuruck. Die Kapitel uber euklidische Vektorr¨ume und Konvexit¨t machen er-
a a
¨ ¨
ste, uber die elementare L¨sung von Gleichungssystemen hinausgehende, Anwendungen
o
¨
m¨glich.

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