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. 12
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Geometrie in einem Raum mit n Dimensionen aufgebaut:
. . . Dadurch geschieht es nun, daß die S¨tze der Raumlehre eine Tendenz zur Allgemeinheit haben,
a
die in ihr verm¨ge ihrer Beschr¨nkung auf drei Dimensionen keine Befriedigung ¬ndet, sondern
o a
erst in der Ausdehnungslehre zur Ruhe kommt.
H. G., 1845


De¬nition 2.19
Eine Menge G ‚ IK n heißt Gerade genau dann, wenn es p, q ∈ IK n , q = θ, gibt mit

G = p + IK q := {p + tq|t ∈ IK } .

(G ist Gerade durch p mit Richtung q)
2

Satz 2.20
Sei G ‚ IK 2 . Dann sind ¨quivalent:
a

(a) G ist Gerade.

(b) Es gibt a ∈ IK 2 , a = θ, und b ∈ IK mit

G = {(x1, x2) ∈ IK 2 |a1x1 + a2 x2 = b} .
Beweis:
Zu (a) =’ (b)
Sei G = {p + tq|t ∈ IK } mit q = θ. Sei etwa q1 = 0.
Wir setzen a := (’q2, q1 ) , b := q1p2 ’ q2 p1 und rechnen damit (b) nach.
Ist x ∈ G, dann gilt
x1 = p1 + tq1 , x2 = p2 + tq2 ,
fur ein t ∈ IK , namlich fur t = (x1 ’ p1 )/q1, also
¨ ¨ ¨
a 1 x1 + a 2 x2 = b .
Ist a1x1 + a2x2 = b fur ein x = (x1 , x2) , dann gilt x = p + tq mit t := x1 a’1 .
¨ 2
Zu (b) =’ (a)
Sei etwa a2 = 0 .
Wir setzen p := (0, ba’1 ), q := (a2, ’a1) und haben q = θ . Damit rechnet man wie oben
2
nach, daß G Gerade durch p mit Richtung q ist.

De¬nition 2.21
Eine Menge E ‚ IK n heißt Ebene genau dann, wenn es p, u, v ∈ IK n gibt mit

E = p + IK u + IK v := {p + tu + sv|s, t ∈ IK } ,

wobei u = θ, v = tu f¨r alle t ∈ IK .
u
(E ist Ebene durch p mit Richtungsraum u, v).
2
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 44


Satz 2.22
Sei E ‚ IK 3 . Dann sind ¨quivalent:
a

(a) E ist Ebene.

(b) Es gibt a ∈ IK 3 , a = θ, und b ∈ IK mit

E = {(x1, x2, x3 ) ∈ IK 3 |a1x1 + a2x2 + a3x3 = b} .
Beweis:
Den Beweis dazu wollen wir hier noch nicht fuhren, denn er ist mit den hier bekannten
¨
Hilfsmitteln etwas muhsam. Spater fallt er wirklich sehr leicht.
¨ ¨ ¨

Damit ist nun klar, daß eine Ebene im Anschauungsraum als L¨sungsmenge einer (nicht-
o
trivialen) linearen Gleichung auftritt.
Die Forderung
u = θ, v = tv fur alle t ∈ IK
¨
” man uberlege sich, daß sie ¨quivalent ist zu v = θ, u = tv fur alle t ∈ IK ” in obiger
a
¨ ¨
De¬nition 2.21 besagt, daß die Ebene nicht zu einer Geraden in IK 3 entartet. Spater wird
¨
diese Forderung die aquivalente Formulierung “u, v sind linear unabhangig“ erhalten.
¨ ¨
Wir haben zwar die Charakterisierung der Geraden im “Anschauungsraum“ IK 3 nicht
behandelt, nach Satz 2.22 sollte aber klar sein, daß eine Gerade in IK 3 als Schnitt von
zwei Ebenen in IK 3 auftreten sollte, also eine Menge von folgender Form sein sollte:

G = {(x1, x2, x3) ∈ IK 3 |a1x1 + a2x2 + a3 x3 = b, a1x1 + a2x2 + a3x3 = b } .

Hier ist dann die Frage zu kl¨ren, wann sich zwei Ebenen schneiden und so eine Gerade
a
de¬nieren. Dieser Frage gehen wir unter dem Abschnitt “Gleichungssysteme“ im Kapitel
4 nach.

Auf die grundsatzlichen Fragen, die mit den Begri¬en Gerade und Ebene bei der axioma-
¨
tischen Fundierung auftreten, gehen wir im Kapitel uber Geometrie ein.
¨
Kapitel 3

Vektorr¨ume
a

Hier legen wir die Grundlagen fur die Theorie der Vektorraume. Von außerordentlicher
¨ ¨
Bedeutung wird der Begri¬ der Basis sein.


3.1 Gruppen
De¬nition 3.1
Eine Menge G zusammen mit einer Verkn¨pfung • : G — G (a, b) ’’ a • b ∈ G
u
heißt eine Gruppe genau dann, wenn gilt:

(N) Es gibt ein Element e ∈ G mit a • e = e • a = a fur alle a ∈ G .
¨
(I) Zu jedem a ∈ G gibt es ein Element a ∈ G mit a• a = ¯ • a = e.
¯ ¯a

(A) F¨r alle a, b, c ∈ G gilt a • (b • c) = (a • b) • c .
u

Ist zusatzlich noch
¨
(K) F¨r alle a, b ∈ G gilt a • b = b • a.
u

erfullt, so heißt die Gruppe kommutativ.
2
¨


Sei G eine Gruppe.
Die Bedingung (N) besagt, daß es ein bezuglich der Verknupfung “•“ neutrales Element
¨ ¨
e in G gibt. Ist e ein weiteres neutrales Element in G, so lesen wir aus

e =e •e=e

“ wir haben dabei (N) zweimal verwendet “ ab, daß das neutrale Element in einer Gruppe
eindeutig bestimmt ist.
Das in der Bedingung (I) eingefuhrte Element a heißt das zu a inverse Element. Es ist
¯
¨
ebenfalls eindeutig bestimmt, denn aus

a• a = ¯ • a = e, a• a = a • a = e,
¯a ¯ ¯


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Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 46


folgt
a = ¯ • e = a • (a • a) = (¯ • a) • a = e • a = a .
¯ a ¯ ¯ a ¯ ¯¯
Die Bedingung (A), die wir eben verwendet haben, nennt man das Assoziativgesetz.
Es besagt, daß Klammern bei der Reihenfolge der Verknupfungen beliebig gesetzt wer-
¨
den durfen und deshalb, soweit sie nicht fur die Lesbarkeit ben¨tigt werden, weggelassen
o
¨ ¨
werden durfen.
¨

Seit dem 17. Jahrhundert ist der Gruppenbegri¬ implizit bei Mathematikern zu ¬nden, zun¨chst
a
wohl nur bei konkreten Beispielen. Eine erste explizite De¬nition einer abstrakten kommutativen
Gruppe ¬ndet sich bei H. Grassmann (1809 “ 1877). Die Theorie der Gruppen ist nach wie vor
im Zentrum der Algebra sehr lebendig, die vollstandige Klassi¬zierung von speziellen Klassen von
¨
Gruppen ist ein Hauptziel der Untersuchungen.



Bemerkung 3.2
Die Forderungen (N) und (I) in De¬nition 3.1 kann man bei Beibehaltung von (A) auch
schw¨cher formulieren ohne etwas zu verlieren. Es reicht, statt (N) und (I) zu fordern:
a

(N™) ∃e ∈ G ∀a ∈ G (e • a = a) .

(I™) ∀a ∈ G ∃¯ ∈ G (¯ • a = e) .
a a

Den Beweis “ man folgert zun¨chst (I) aus (N™) und (I™) und dann (N) “ wollen wir
a
2
ubergehen.
¨
¨
Uber die Losbarkeit einer “linearen Gleichung“ in einer Gruppe gibt Auskunft
¨

Folgerung 3.3
Sei (G, •) eine Gruppe und seien a, b ∈ G . Dann gilt:

∃1 x, y ∈ G (a • x = b , y • a = b) .
Beweis:
Klar: x := ¯ • b , y := b • a sind Losungen; hierbei ist ¯ das Inverse zu a .
a ¯ a
¨
Die Eindeutigkeit folgt etwa im Fall a • x = b so:
Aus a • z = b , z ∈ G , folgt

x = a • b = a • (a • z) = (¯ • a) • z = e • z = z .
¯ ¯ a



Wir fuhren nun eine Reihe von Beispielen an. Dabei schreiben wir die Verknupfung dann
¨ ¨
immer mit dem Symbol, das wir in der speziellen Situation bereits kennen. Im Zusam-
menhang mit Vektorraumen lernen wir weitere Beispiele kennen.
¨
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 47


Beispiel 3.4
(G := Z , • := +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0 und Inversem
Z
2
’z fur z ∈ Z .
Z
¨

Wenn die Verknupfung eine Addition ist, nennt man das Inverse eines Elements meist das
¨
Negative. Ist die Verknupfung • in einer Gruppe einer Addition “verwandt“, so nennt
¨
man sie, wenn sie kommutativ ist, auch abelsch.
Der Begri¬ “abelsch“ ist vom Namen des norwegischen Mathematikers N.H. Abel (1802 “1829)
abgeleitet. Neben Arbeiten zur Konvergenz von Reihen und elliptischen Funktionen besch¨ftigte er
a
sich mit der L¨sbarkeit von Gleichungen funften Grades und bewies die Unm¨glichkeit der L¨sung
o o o
¨
einer allgemeinen Gleichung funften Grades mit Hilfe von Radikalen (“Wurzelausdrucken“). Seine
¨ ¨
Ideen hierzu sind eng mit denen des franzosischen Mathematikers E. Galois (1811 “ 1832), dessen
¨
Theorie in der Algebra eine uberragende Rolle spielt, verwandt. Mit ihm teilt er auch das Schicksal,
¨
sehr jung zu sterben, Abel starb an Schwindsucht, Galois in einem Duell. G. Peano (1858 “ 1932)
nahm den Gruppenbegri¬ auf; ihm standen dazu nun die mengentheoretischen Sprechweisen zur
Verfugung.
¨


Beispiel 3.5
(G := Q, • := +) , (G := IR, • := +) sind abelsche Gruppen. Das neutrale Element ist
2
jeweils 0, das Inverse (Negative) eines Elementes r ist ’r.

Beispiel 3.6
(G := IK — := IK \{0}, • := ·) ist fur IK ∈ {Q, IR} eine kommutative Gruppe. Die
¨
Rechenregeln einer Gruppe sind uns hier wohlvertraut, ebenso die Potenzregeln. Man
beachte, daß wir das Nullelement aus IK entfernen mußten, da dieses Element kein Inverses
2
bzgl. der Multiplikation besitzt.

My oral exam still threatened“one on geometric function theory with that redoubtable professor
Gustav Herglotz. I consulted my experienced friends: what to do? They reminded me that he loved
to lecture. This I bore in my mind during the exam:
Herglotz: What is the Erlanger Program?
Saunders Mac Lane: Everything depends on the group.
Herglotz: What is the group for complex analysis?

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