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( 63 .)



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Saunders Mac Lane: The conformal group.
That su¬ced to start Herglotz on a splendid lecture on geometric function theory in terms of the
conformal group.
My thesis was done, and I was through.
Aus: Saunders Mac Lane, Mathematics at G¨ttingen under the Nazis, Notices of the AMS 42
o
(1995)


Nun haben wir die Gruppenstrukturen in den Zahlen erkannt. Wir ¬nden sie auch beim
Rechnen mit Restklassen, wie folgendes Beispiel zeigt.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 48


Beispiel 3.7
Wir kennen
Z m = {[0], . . . , [m ’ 1]} , m ∈ IN ,
Z
aus Abschnitt 1.5 und wissen, daß durch

[k] • [l] := [k + l] , [k] [l] := [k · l] , k, l ∈ Z ,
Z

eine Addition und Multiplikation erkl¨rt ist.
a

(G := Z m , • := •) ist eine kommutative Gruppe ;
Z
das neutrale Element ist die Klasse [0] . Dieses Ergebnis gilt unabh¨ngig von m. Bei der
a
Multiplikation liegt die Situation etwa anders. Hier ben¨tigen wir fur die Aussage
o ¨

(G := Z m \{[0]}, • :=
Z ) ist eine Gruppe

die Tatsache, daß m eine Primzahl ist. Dies sieht man daran, daß etwa [2] [2] = [0]
in Z 4 gilt, d.h. die Verknupfung fuhrt dort aus G heraus. (Wenn wir [0] zu G wieder
Z ¨ ¨
hinzunehmen, hat [0] kein Inverses!) Klar, der Kandidat fur das neutrale Element dieser
¨
Verknupfung ist die Klasse [1].
¨
Die Gruppentafeln, so bezeichnen wir eine vollstandige Au¬‚istung der Verknupfungen
¨ ¨
der Gruppenelemente, zu m = 5 sehen so aus:

• [0] [1] [2] [3] [4]
[1] [2] [3] [4]
[0] [0] [1] [2] [3] [4]
[1] [1] [2] [3] [4]
[1] [1] [2] [3] [4] [0]
[2] [2] [4] [1] [3]
[2] [2] [3] [4] [0] [1]
[3] [3] [1] [4] [2]
[3] [3] [4] [0] [1] [2]
[4] [4] [3] [2] [1]
[4] [4] [0] [1] [2] [3]

Man beachte, daß sowohl in der Gruppentafel zur Addition als auch in der Gruppentafel
zur Multiplikation in jeder Zeile und Spalte jede Klasse genau einmal vertreten ist. 2


Beispiel 3.8
Sei q = (q1, . . . , qn ) ∈ IR n , q = θ. Wir de¬nieren in IRn eine Aquivalenzrelation durch
¨

x ∼ y : ⇐’ xi ’ yi = ki qi mit ki ∈ Z , 1 ¤ i ¤ n .
Z

Damit setzen wir
T n := IR n ∼ := {[x]|x ∈ IR n }
I /

und erklaren eine Addition in T n durch
I
¨

[x] • [y] := [x + y] , x, y ∈ IRn .
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 49


O¬enbar ist (G := T n, • := •) eine abelsche Gruppe.
I
Fur jedes ± ∈ IR k¨nnen wir durch
n
o
¨

[x] ’’ [x + ±] ∈ T n
T± : T n
I I

eine Abbildung erkl¨ren. Die Familie
a

T := {T±|± ∈ IRn }

ist nun selbst wieder eine abelsche Gruppe, wenn die Verknupfung so erkl¨rt ist:
a
¨

T± • Tβ := T± —¦ Tβ = T±+β , ±, β ∈ IRn .

Das neutrale Element ist idT n = Tθ und das Inverse von T± ist T’± .
I
Von besonderem Interesse ist der Fall n = 1 , q = 2π . Hier k¨nnen wir T 1 durch die
o I
injektive Abbildung
T 1 [φ] ’’ (cos φ, sin φ) ∈ IR 2
I
in IR 2 “einbetten“. Also haben wir mit K2 := {(x, y) ∈ IR2 |x2 + y 2 = 1} die bijektive
Abbildung
j : T 1 [φ] ’’ (cos φ, sin φ) ∈ K2 ,
I
d.h. T 1 k¨nnen wir als eine “Kopie“ des Einheitskreises K2 in IR 2 ansehen (Daraus leitet
I o
sich ab, T n als Einheitssph¨re in IR n+1 zu bezeichnen.) Die Abbildungen
I a

[x] ’’ [x + ±] ∈ T 1
T± : T 1
I I

k¨nnen wir dann zu Abbildungen
o

(cos φ, sin φ) ’’ (cos(φ + ±), sin(φ + ±)) ∈ K2
D± : K 2

“hochheben“:
D
K2 ’’ K2
±

¦ ¦
¦j ¦j
¦ ¦
T
T 1 ’’ T 1
±
I I
¨
Mit diesen Uberlegungen ist bereits ein Ansatz dafur gescha¬en, geometrische Objekte als
¨
invariante Objekte von Abbildungen zu studieren; “Drehungen“ D± spielen eine wichtige
2
Rolle dabei.

Nach F. Klein (1849 “ 1925) erh¨lt man eine Geometrie, indem man aus der Gruppe B der Bijek-
a
2
tionen von IR auf sich selbst eine Untergruppe G, also eine Teilmenge G, aus der die Verknupfung
¨
der Gruppe B nicht herausfuhrt, ausw¨hlt. Ist dann F eine geometrische Figur in der “Ebene“ IR 2 ,
a
¨
so ist eine Eigenschaft von F in der durch G ausgesonderten Geometrie eine Invariante, falls jedes
Bild g(F ), g ∈ G, diese Eigenschaft hat. Wenn man fur G etwa die die von den Translationen, Dre-
¨
hungen, Spiegelungen erzeugte Gruppe der euklidischen Bewegungen nimmt, so ist die entstehende
Geometrie die euklidische Geometrie der Ebene. (Dazu sp¨ter mehr.)
a
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 50


3.2 Permutationsgruppen
Sei M eine nichtleere Menge. Wir setzen

Abb (M) := {f : M ’’ M} .

In dieser Menge der Selbstabbildungen von M ist eine “Multiplikation“ erkl¨rt durch die
a
Komposition von Abbildungen:

f • g := f —¦ g , f, g ∈ Abb (M) .

Nun ist klar, daß
(G := {f ∈ Abb (M)|f bijektiv } , • := —¦)
eine (im allgemeinen nicht kommutative) Gruppe darstellt: das Assoziativgesetz ist klar,
das neutrale Element ist die Identitat idM , das inverse Element eines Elements f ∈ G
¨
ist f . Man hat noch nachzuprufen, daß mit f, g ∈ G auch f —¦ g ∈ G , f ’1 ∈ G gilt.
’1
¨
Dazu hat man nur einzusehen, daß f —¦ g , f ’1 bijektiv sind, falls f, g bijektiv sind. Wir
uberlassen dies dem Leser.
¨
Fur diese Gruppe G schreiben wir nun S(M) .
¨


De¬nition 3.9
Ist M eine nichtleere Menge, so nennen wir die Gruppe S(M) die symmetrische
Gruppe von M.
Ist M = {1, . . . , m}, dann nennen wir S(M) Permutationsgruppe und jedes Element
in S(M) eine Permutation. In diesem Spezialfall schreiben wir kurz Sm .
2

Die Wortwahl Permutationsgruppe wird verst¨ndlich, wenn wir beobachten, daß bei
a
der Menge M = {1, . . . , m} einer Abbildung f in Sm die Umstellung der Elemente in M
gem¨ß
a
1 2 ... m
f(1) f(2) . . . f(m)
entspricht. Die Wortwahl symmetrische Gruppe ruhrt daher, daß die Funktionen der
¨
Variablen x1, . . . , xm , die bei allen Permutationen der Variablen invariant bleiben, die
symmetrischen Funktionen sind.


Beispiel 3.10
Wir betrachten S3 . Dazu bezeichnen wir jedes Element von S3 durch seine Wirkung auf
das Tripel (123) (geschrieben ohne Kommata). Die sechs Elemente der Gruppe sind dann

„0 = (123) „1 = (132) „2 = (213) „3 = (231) „4 = (312) „5 = (321) .

Beispielsweise besagt „ := „1 = (132) : „ (1) = 1 , „ (2) = 3 , „ (3) = 2 .
Klar, „0 = (123) ist die Identit¨t. Die Gruppentafel stellt sich folgendermaßen dar:
a
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 51


—¦ id „1 „2 „3 „4 „5
Beispielsweise bedeutet „4 in
id id „1 „2 „3 „4 „5 Spalte 3, Zeile 4
„1 „1 id „3 „2 „5 „4
„1 —¦ „2 = „4
„2 „2 „4 id „5 „1 „3
und „2 in Spalte 7, Zeile 5
„3 „3 „5 „1 „4 id „2
„4 „4 „2 „5 id „3 „1
„5 —¦ „3 = „2 .
„5 „5 „3 „4 „1 „2 id
2

Bemerkung 3.11
Einer endlichen Gruppe, d.h. einer Gruppe mit endlich vielen Elementen, kann man durch
Blick auf ihre Gruppentafel sofort ansehen, ob sie kommutativ ist. Sie ist n¨mlich kom-
a
mutativ genau dann, wenn ihre Gruppentafel symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist. S3
ist also nicht kommutativ. Daraus folgt, daß Sm , m ≥ 3, nicht kommutativ ist (Beweis!).
2
Eine nahezu triviale Beschreibung der Menge S(M) fur eine endliche Menge M, d.h. einer
¨
Menge, die bijektiv auf {1, . . . , m} abbildbar ist, ist enthalten in


Lemma 3.12
Sei M eine endliche Menge. Dann sind ¨quivalent:
a

(a) f ist bijektiv, d.h. f ∈ S(M).

(b) f ist surjektiv.

(c) f ist injektiv.
Beweis:
Zu (a) =’ (b). Klar.
Zu (b) =’ (c). Ist f surjektiv, dann ist #f(M) = #M, also f injektiv.
Zu (c) =’ (a). Ist f injektiv, dann ist #f(M) = #M, also f auch surjektiv.

Eine einfache Uberlegung zeigt, daß Sm m! Elemente besitzt (Es sind zur Realisierung
¨
einer Permutation m verschiedene Objekte auf m Platze zu verteilen).
¨

Dabei ist n! (n-Fakultat) in IN 0 induktiv so de¬niert:
¨

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