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. 14
( 63 .)



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0! := 1 , (n + 1)! := (n + 1)n!


Sei nun stets Sm fur m ≥ 2 betrachtet, S1 ist ja trivial!
¨
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 52


De¬nition 3.13
Sei σ ∈ Sm . Wir setzen

a(σ) := #{(i, j) ∈ IN m — IN m |i < j, σ(i) > σ(j)} , (σ) := (’1)a(σ)

und nennen σ gerade, falls (σ) = 1 gilt, anderenfalls ungerade. (σ) heißt das
Signum von σ und a(σ) die Fehlstandszahl von σ .
2

Beispiel 3.14
Sei
12345
σ= oder kurz σ = (35142) .
35142
2
Dann gilt a(σ) = 6 und σ ist eine gerade Permutation.

Lemma 3.15
F¨r jedes σ ∈ Sm gilt
u
σ(j) ’ σ(i)
(σ) =
j’i
1¤i<j¤m

Beweis:
Sei n := a(σ) . Nun gilt:

(σ(j) ’ σ(i)) = (σ(j) ’ σ(i)) · (σ(j) ’ σ(i))
1¤i<j¤m 1¤i<j¤m,σ(i)<σ(j) 1¤i<j¤m,σ(i)>σ(j)

(σ(j) ’ σ(i)) · (’1)n |σ(j) ’ σ(i)|
=
1¤i<j¤m,σ(i)<σ(j) 1¤i<j¤m,σ(i)>σ(j)

|σ(j) ’ σ(i)|
= (’1)n
1¤i<j¤m

(j ’ i)
= (’1)n
1¤i<j¤m

Bei der letzten Gleichung haben wir die Beobachtung verwendet, daß die beiden Produkte
bis auf die Reihenfolge die gleichen Faktoren enthalten, was aus der Bijektivitat von σ
¨
folgt.

Ein „ ∈ Sm heißt Nachbarnvertauschung, wenn

∃1i ∈ {1, . . . , m} mit „ (i) = i + 1 , „ (i + 1) = i ; „ (j) = j , j = i, i + 1,

gilt. Ein „ = „kl ∈ Sm , k = l , heißt Transposition, wenn gilt:

„ (k) = l , „ (l) = k ; „ (j) = j , j = k, l ,

gilt. Nachbarnvertauschungen sind also spezielle Transpositionen. Man uberzeugt sich
¨
’1
leicht, daß fur eine Transposition „ ∈ Sm gilt: „ = „ .
¨
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Lemma 3.16
Sei σ ∈ Sm und sei „ ∈ Sm eine Nachbarnvertauschung. Dann gilt („ —¦ σ) = ’ (σ) .
Beweis:
„ (σ(j)) ’ „ (σ(i))
(„ —¦ σ) =
j’i
1¤i<j¤m
„ (σ(j)) ’ „ (σ(i)) σ(j) ’ σ(i)
·
=
σ(j) ’ σ(i) j ’i
1¤i<j¤m 1¤i<j¤m
„ (σ(j)) ’ „ (σ(i))
= (σ)
σ(j) ’ σ(i)
1¤i<j¤m
= ’ (σ)

Bei der letzten Gleichheit haben wir verwendet, daß im Produkt auf Grund der Tatsache,
daß „ eine Transposition ist,
„ (σ(j)) ’ „ (σ(i))
σ(j) ’ σ(i)
1¤i<j¤m

alle Faktoren den Wert 1 haben mit einer Ausnahme, dieser Faktor hat den Wert ’1.

Folgerung 3.17
Sei σ ∈ Sm und sei „ ∈ Sm eine Transposition. Dann gilt („ —¦ σ) = ’ (σ) .
Beweis:
Sei etwa „ = „kl . Setze σ := „ —¦ σ . Betrachte nun
Σ : σ(1), . . . , σ(m) Σ : σ (1), . . . , σ (m)

Hier unterscheiden sich die beiden Anordnungen nur dadurch, daß k und l die Platze
¨
getauscht haben. Sei s die Anzahl der Zahlen, die in Σ zwischen k und l vorkommen.
Dann erhalt man Σ aus Σ durch 2s + 1 sukzessive Vertauschung benachbarter Elemente.
¨
Nach Lemma 3.16 gilt dann (σ ) = (’1)2s+1 (σ) = ’ (σ) .

Satz 3.18
Jedes σ ∈ Sm l¨ßt sich als Produkt von endlich vielen Transpositionen schreiben,
a
d.h. zu jedem σ ∈ Sm gibt es Transpositionen „1 , . . . , „s mit σ = „1 —¦ . . . —¦ „s .
Beweis:
Sei σ ∈ Sm . Induktion uber n := a(σ) ∈ IN 0 .
¨
Induktionsbeginn: a(σ) = 0 .
Nun gilt σ(i) < σ(j), falls i < j. Dies kann aber nur fur die Identitat zutre¬en. Fur die
¨ ¨ ¨
Identitat id gilt jedoch id = „ —¦ „ fur jede Nachbarvertauschung „ .
¨ ¨
Induktionsschluß: a(σ) = n + 1 .
Annahme: σ(i) < σ(i + 1), fur alle i ∈ {1, . . . , m ’ 1}. Dann gilt also
¨
σ(1) < σ(2) < . . . < σ(m) .
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 54


Dies bedeutet aber σ(i) = i fur alle i ∈ {1, . . . , m} , d.h. σ = id im Widerspruch zu
¨
a(σ) ≥ 1 .
Also gibt es nun ein Paar (i, i+1) , 1 ¤ i < m, mit σ(i) > σ(i+1) . Sei „ die Transposition,
die σ(i) mit σ(i +1) vertauscht. Dann gilt a(„ —¦ σ) = a(σ)’ 1 , wovon man sich mittels ein-
facher Fallunterscheidung uberzeugt. Nach Induktionsvoraussetzung ist nun „ —¦σ Produkt
¨
von Transpositionen, also auch σ = „ —¦ („ —¦ σ) .


Folgerung 3.19

Ist σ ∈ Sm Produkt von r Transpositionen, dann gilt (σ) = (’1)r .
Beweis:
Folgt aus Satz 3.18 durch mehrmaliges Anwenden von

(„ —¦ σ) = ’ (σ)

fur jede Transposition „.
¨

Wir haben gesehen, daß unabh¨ngig von der Art der Darstellung einer Permutation als
a
Produkt von Transpositionen die Anzahl der dabei benotigten Transpositionen bei gera-
¨
den Permutationen stets gerade und bei ungeraden Permutationen stets ungerade ist.


Folgerung 3.20
(a) (σ —¦ σ ) = (σ) (σ ) , σ, σ ∈ Sm .

(b) (σ ’1) = (σ) , σ ∈ Sm .

(c) #Sm = m! , #{σ ∈ Sm | (σ) = 1} = m!/2, falls m ≥ 2 .
Beweis:
(a) folgt aus Satz 3.18, ebenso (b), da fur jede Transposition „ gilt: „ ’1 = „ . Die Aussage
¨
#Sm = m! ist klar (siehe oben), die Ausage #{σ ∈ Sm | (σ) = 1} = m!/2 folgt aus der
Tatsache, daß fur jede Nachbarnvertauschung „ durch
¨

Sm σ ’’ „ —¦ σ ∈ Sm

eine bijektive Abbildung de¬niert ist, bei der die geraden Permutationen auf ungerade
und die ungeraden Permutationen auf gerade Permutationen abgebildet werden.

Die Menge Am := {σ ∈ Sm | (σ) = 1} heißt alternierende Gruppe. Sie ist in der Tat
mit der Einschrankung der Verknupfung —¦ eine Gruppe, wie eine einfache Uberlegung,
¨
¨ ¨
basierend auf Folgerung 3.20, zeigt.
Erste allgemeine S¨tze uber Permutationsgruppen wurden von P. Ru¬ni (1765 “ 1822) uber S5 im
a ¨ ¨
Zusammenhang mit dem Versuch, eine Gleichung 5. Grades durch Radikale (“Wurzelausdrucke“) zu
¨
l¨sen. Er gibt die 120 Elemente explizit an und betrachtet Teilmengen von S5 , die Untergruppen
o
sind, d.h. selbst wieder Gruppen in der durch S5 induzierten Verknupfung sind. Insbesondere
¨
studiert er die alternierende Gruppe A5 .
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 55


3.3 Korper
¨
Wir wollen nun K¨rper einfuhren. Die Bezeichnung dafur haben wir in den konkreten
o ¨ ¨
F¨llen IK = IR und IK = Q bereits vorweggenommen.
a

De¬nition 3.21
Eine Menge IK mit zwei Verknupfungen
¨

+ : IK — IK (a, b) ’’ a + b ∈ IK , (Addition)
· : IK — IK (a, b) ’’ a · b ∈ IK (Multiplikation)
heißt ein Korper, wenn gilt:
¨

(A) (IK , +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0.

(M) (IK — := IK \{0}, ·) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 .

(D) F¨r alle a, b, c ∈ IK gilt: a · (b + c) = a · b + a · c .
u
2

Die Bedingungen (A), (M) sind uns wohlvertraut. Mit der Tatsache 1 = 0 ist schon
klar, daß ein K¨rper mindestens zwei Elemente besitzt, n¨mlich das Nullelement 0
o a
(neutrales Element bzgl. der Addition) und das Einselement 1 (neutrales Element bzgl.
der Multiplikation). Die Bedingung (D) heißt Distributivgesetz. Es erkl¨rt, wie sich die
a
beiden Verknupfungen miteinander “vertragen“.
¨
Wir wissen schon, daß 0, 1 durch ihre Eigenschaft, neutrales Element zu sein, eindeutig
bestimmt sind. Das Inverse von a bzgl. der Addition schreiben wir mit ’a, das Inverse
von a ∈ IK — bzgl. der Multiplikation schreiben wir mit a’1 . Dies geschieht in Anlehnung
an das Rechnen in Q bzw. IR.

Folgerung 3.22
Sei IK ein Korper und seien a, b ∈ IK . Es gilt:
¨

(1) Die Gleichung a + x = b hat die eindeutige Losung x = b + (’a) .
¨
(2) ’(’a) = a , ’(a + b) = (’a) + (’b) .

(3) Die Gleichung a · x = b hat die eindeutige Losung x = a’1 b falls a = 0 .
¨
(4) (a’1 )’1 = a , falls a = 0 .

(5) (a · b)’1 = b’1 · a’1 , falls a = 0, b = 0 .

(6) a · 0 = 0 .

(7) a · b = 0 ⇐’ a = 0 oder b = 0 .

(8) (’a) · b = ’(a · b) , (’a) · (’b) = a · b .
Beweis:
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(1) und (3) folgen aus Satz 3.3.
Zu (2).
Aus (’a) + (’(’a)) = 0, (’a) + a = 0 folgt mit (1) die Aussage ’(’a) = a .
Aus (a + b) + (’(a + b)) = 0 folgt durch Addition von (’a) auf jeder Seite
b + (’(a + b)) = ’a , d.h. ’(a + b) = ’a + (’b) .
(4), (5) folgen analog (2) .
Zu (6).
a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, also mit (1) a · 0 = 0 .
Zu (7).
O¬ensichtlich folgt mit (6) aus a = 0 oder b = 0 sofort a · b = 0 .
Die Umkehrung folgt mit (3) , falls etwa a = 0 .
Zu (8).
0 = 0 · b = (a + (’a)) · b = a · b + (’a) · b , woraus die erste Aussage folgt. Die zweite
Aussage folgt mit ’b aus der eben bewiesenen Aussage.

Die Aussage (3) in Folgerung 3.22 kann etwas umfassender formuliert werden:

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