<<

. 15
( 63 .)



>>

Die Gleichung a · x = b hat die eindeutige Losung x = a’1 b falls a = 0 , sie hat keine
¨
Losung, falls a = 0 und b = 0, und sie hat jedes x ∈ IK als Losung, falls a = b = 0 . Man
¨ ¨
hat dazu nur (6) aus Folgerung 3.22 heranzuziehen.

Die Theorie der Korper beginnt im wesentlichen mit E. Galois (1811 “ 1832) und N.H. Abel (1802
¨
“ 1829) mit der Erweiterung der K¨rper Q, IR um L¨sungen algebraischer Gleichungen (K¨rperer-
o o o
weiterung), allerdings noch in einer Formulierung, der mengentheoretische Sprechweisen nicht zur
Verfugung stehen. R. Dedekind (1831 “ 1916) fuhrte dann die Begri¬e “K¨rper“, “Moduln“ 1811
o
¨ ¨
ein, 1893 gab dann H. Weber (1842 “ 1913) dem Wort “K¨rper“ den gleichen allgemeinen Sinn,
o
den es heute hat. Auf abstrakter Ebene ¬nden wir K¨rper dann auch bei E. Steinitz (1871 “ 1928).
o


Beispiel 3.23
Q, IR sind mit der ublichen Addition und Multiplikation K¨rper. Kein K¨rper ist Z , wenn
o o Z
¨
man mit der ublichen Addition und Multiplikation rechnen will. Die Menge IF 2 := {n, e}
¨
ist ein Korper, wenn wir die Verknupfungen durch die folgenden Gruppentafeln erklaren:
¨ ¨ ¨

·
+ne ne
n ne nnn
e en e ne

Damit haben wir auch einen “kleinsten“ K¨rper angegeben. Klar, n steht fur 0, e steht
o ¨
2
fur 1.
¨

Von Nutzen ist die folgende Schreibweise nx , n ∈ IN 0 , x ∈ IK :
Induktiv fur x ∈ IK : 0x := 0 ; (n + 1)x := x + nx , n ∈ IN 0 .
¨
Nutzlich ist auch die Potenzschreibweise, die in einem beliebigem K¨rper IK Anwendung
o
¨
¬nden kann:
Induktiv fur x ∈ IK \{0} : x0 := 1 ; xn+1 := x · xn , n ∈ IN 0 .
¨
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 57


Beispiel 3.24
In Z m , m ∈ IN \{1} , haben wir schon eine Addition und eine Multiplikation kennen-
Z
gelernt. Es ist nun sofort einzusehen, daß Z m ein K¨rper genau dann ist, wenn m eine
Z o
Primzahl ist. IF 2 ist bis auf die Wahl der Bezeichnung der K¨rper Z 2 .
o Z
Ist nun m = p eine Primzahl, dann beobachten wir in dem zugeh¨rigen K¨rper Z p , daß
o o Z
n · 1 = 0 fur n = p
¨
ist und keine naturliche Zahl n < p diese Eigenschaft hat. Man sagt, der K¨rper Z p hat
o Z
¨
die Charakteristik p. (Einem K¨rper, in dem n · 1 = 0 fur keine naturliche Zahl gilt,
o ¨ ¨
2
wird die Charakteristik 0 zugeordnet. Also haben Q, IR die Charakteristik 0.)

Bemerkung 3.25
Eine Abschw¨chung der Struktur “K¨rper“ stellt die Struktur “Ring“ dar.
a o
Ein Ring ist eine Menge R mit Verknupfungen
¨
+ : R — R (a, b) ’’ a + b ∈ R , (Addition)
· : R—R (a, b) ’’ a · b ∈ R , (Multiplikation)
sodaß gilt:
(R1) (IK , +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0.
(R2) ∀a, b, c ∈ R (a · (b · c) = (a · b) · c) (Assoziativgesetz)
(R3) ∀a, b, c ∈ R (a · (b + c) = (a · b) + (a · c) , (a + b) · c = a · c + b · c)(Distributivgesetz)
Gilt zusatzlich
¨
(R4) ∀a, b ∈ R (a · b = b · a) , (Kommutativgesetz)
so heißt der Ring kommutativ.
Als Beispiel sollte man sich Mm := IK m,m , IK K¨rper, und Z m , m ∈ IN , mit der ublichen
o Z ¨
Addition und Multiplikation ansehen. Dies sind sogar Ringe mit Einselement, Mm ist
2
nicht kommutativ, falls m ≥ 2 ist, Z m ist stets kommutativ.
Z

Im K¨rper der reellen und damit auch der rationalen Zahlen haben wir eine Anordnung,
o
indem wir Zahlenpaare auf kleiner (<) oder gr¨ßer (>) uberprufen. Allgemein erfaßt dies
o ¨ ¨
die folgende

De¬nition 3.26
Ein K¨rper IK heißt angeordnet genau dann, wenn es eine Menge P ‚ IK derart
o
gibt, daß gilt:

(a) F¨r alle x ∈ IK gilt genau eine der folgenden Aussagen:
u

x ∈ P , x = 0 , ’x ∈ P .

(b) x ∈ P, y ∈ P =’ x + y ∈ P, x · y ∈ P .

P heißt die Menge der positiven Elemente.
2
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 58


In IR k¨nnen wir, wenn wir die reellen Zahlen axiomatisch einfuhren, eine Menge positiver
o ¨
Elemente gem¨ß De¬nition 3.26 auszeichnen. Sie “stimmt“ mit den Zahlen des rechten
a
Halbstrahls uberein. Wichtig dabei ist, daß das Einselement 1 wegen (b) in De¬nition 3.26
¨
positiv sein muß (1 = 1 · 1 = (’1) · (’1)!). Wir schreiben nun in IR fur x ∈ P wieder
¨
x > 0 und statt ’x ∈ P wieder x < 0 . Den Betrag einer reeellen Zahl x de¬niert man
damit so: ±
 x , falls x > 0

|x| := 0 , falls x = 0


’x , falls x < 0

Damit kommen wir nun zu den komplexen Zahlen, denn die eben skizzierte Darlegung
zur Anordnung zeigt, daß in IR die Gleichung

x2 + 1 = 0 (3.1)

keine L¨sung hat, da x2 und 1 = 12 positiv sind. Im folgenden Beispiel erweitern wir nun
o
die reellen Zahlen zu einem K¨rper der komplexen Zahlen. In diesem K¨rper hat dann
o o
die Gleichung (3.1) eine L¨sung.
o


Beispiel 3.27
De¬niere in IR 2 die folgenden Verknupfungen:
¨

+ : IR 2 — IR2 ((a, b), (c, d)) ’’ (a + c, b + d) ∈ IR 2 , (Addition)

· : IR 2 — IR2 ((a, b), (c, d)) ’’ (ac ’ bd, ad + bc) ∈ IR 2 . (Multiplikation)

Dann sind
(IR 2, +) , (IR2 \{(0, 0)}, ·) abelsche Gruppen .
Das neutrale Element bzgl. der Addition ist (0, 0), das neutrale Element bzgl. der Mul-
tiplikation ist (1, 0) . Das Inverse von (a, b) ∈ IR2 bzgl. der Addition ist (’a, ’b), das
Inverse von (a, b) = (0, 0) bzgl. der Multiplikation ist (a(a2 + b2 )’1 , ’b(a2 + b2)’1 ) .
Diesen K¨rper wollen wir nun den
o

Korper der komplexen Zahlen
¨
nennen.
Eine vielleicht eher bekannte Notation der Elemente von C ergibt sich aus der Darstellung

(a, b) = (1, 0)a + (0, 1)b , (a, b) ∈ IR2 . (3.2)

Wir haben

(1, 0) · (1, 0) = (1, 0) und (0, 1) · (0, 1) = (’1, 0) = ’(1, 0) .

Nun schreiben wir fur das Einselement (1, 0) kurz 1 und fur (0, 1) fuhren wir die ima-
¨ ¨ ¨
gin¨re Einheit i ein. Dies bedeutet nun, daß wir wegen (3.2) jedes Element (a, b) ∈ C
a
so schreiben k¨nnen
o
(a, b) = a + ib ,
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 59


wobei wir nochmal abgekurzt haben: Statt 1a haben wir einfach a geschrieben.
¨
Damit schreiben wir nun
C := {a + bi|a, b ∈ IR}
und passen die Verknupfungen an:
¨

+ : C —C (a + ib, c + id) ’’ (a + c) + i(b + d) ∈ C , (Addition)

· : C —C (a + ib, c + id) ’’ (ac ’ bd) + i(ad + bc) ∈ C . (Multiplikation)

Der Korper ist nun als Erweiterung des Korpers der reellen Zahlen aufzufassen, da wir in
¨ ¨
a ’’ a + i0 = a ∈ C
j : IR

eine injektive “Einbettung“ haben.
Die trigonometrische Schreibweise fur eine komplexe Zahl z = a + ib ist
¨

z = r(cos φ + i sin φ)

wobei r = |z| := a2 + b2 der Modul und φ := arg z := arctan(b/a) das Argument der
Zahl z ist. Fur z = r(cos φ+i sin φ) verwendet man auch die exponentielle Schreibweise
¨
z = reiφ , d.h. eiφ = cos φ + i sin φ .

2
Die Bezeichnung “komplexe Zahl“ hat C.F. Gauß (1777 “ 1855) eingefuhrt. Er hat mit seinen
¨
Untersuchungen das Geheimnis, das die komplexen Zahlen immer noch umgeben hatte, beseitigt.
Das Symbol “ i“ stammt von L. Euler (1707 “ 1783), er hat in der Formel eiπ + 1 = 0 die
fundamentalen Konstanten der Arithmetik (0,1), der Geometrie (π), der Analysis (e) und der
komplexen Zahlen (i) auf einfache Weise zusammmengefaßt.
Merkwurdig ist, daß die erste Einfuhrung der komplexen Zahlen in der Theorie der kubischen
¨ ¨
Gleichungen bei H. Cardano (1501 “ 1576) geschah “ er nannte sie “¬ktiv“ “ und nicht bei der
Betrachtung einer quadratischen Gleichung, wie wir sie ins Spiel gebracht haben.
Die trigonometrische Schreibweise geht auf J. Argand (1768 “ 1822) zuruck.
¨

¨
Der Ausgangspunkt unserer Uberlegung war die L¨sbarkeit der Gleichung (3.1). Diese
o
hat nun in der Tat in C eine L¨sung, n¨mlich das Element i und das Element ’i . Die
o a
L¨sbarkeit dieser Gleichung haben wir durch “K¨rpererweiterung“ erreicht. Damit haben
o o
wir das Problem der K¨rpererweiterung gestreift, das in der Theorie von Galois seine auch
o
a
¨sthetisch befriedigende Aufkl¨rung ¬ndet.
a

Beispiel 3.28
Das Prinzip der Korpererweiterung wird auch deutlich, wenn wir etwa die Gleichung
¨
x2 = 2

im K¨rper IK := Q l¨sen wollen. Wir wissen, daß keine rationale Zahl diese Gleichung
o o √
l¨st. Also gehen wir wie oben vor: Wir adjungieren zu Q ein Symbol 2 gem¨ß
o a
√ √
Q[ 2] := {a + b 2|a, b ∈ Q}
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 60


und de¬nieren Addition und Multiplikation durch
√ √ √ √
+ : Q — Q (a + b 2, c + 2d) ’’ (a + c) + (b + d) 2 ∈ Q[ 2] ,
√ √ √ √
· : Q — Q (a + b 2, c + d 2) ’’ (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 ∈ Q[ 2] .

Dann ist Q[ 2] ein K¨rper, in den Q verm¨ge
o o
√ √
Q a ’’ a + 0 2 ∈ Q[ 2]

eingebettet ist. Die obige Gleichung ist l¨sbar mit x = 0 + 1 2 .
o
Nun ist die Gleichung
x2 = 3
√ √ √√
in Q[ 2] nicht l¨sbar. Wir adjungieren ein Symbol 3 und erhalten (Q[ 2])[ 3]. Das
o
2

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. 15
( 63 .)



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