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. 16
( 63 .)



>>

“Spiel“ ist nun wohl durchschaut.

Von C.F. Gauß wurde intensiv die komplexe Zahlenebene Q[i] untersucht, die hier als K¨rperer-
o
2
weiterung von Q mit dem Ziel der L¨sbarkeit von x + 1 = 0 in Q sicherzustellen, daherkommt.
o
Der K¨rper Q[i] hat viele interessante Eigenschaften, die ein intensives Studium von allgemei-
o
ner Arithmetik angestoßen haben, etwa: Wie ist die Darstellung der Primzahl 5 ∈ IN durch
5 = (1 + 2i)(1 ’ 2i) ∈ Q[i] einzuordnen? In der Algebra werden Antworten gegeben.


Bezeichnung: In einem K¨rper schreiben wir nun statt a + (’b) kurz a ’ b , d.h. wir
o
haben damit eine “Subtraktion“ zur Verfugung.
¨


Bemerkung 3.29
Es sollte nun klar sein, daß man lineare Gleichungssysteme mit Koe¬zienten aus einem
beliebigem K¨rper betrachten kann, insbesondere aus dem K¨rper der komplexen Zahlen.
o o
Etwa kann man dann betrachten:
Finde die allgemeine L¨sung des Gleichungssystems
o

x+y = a
2x + 4y + z = 0
3x + z = 1

im K¨rper IK := Z 5 . (Schreibweise: 0 = [0], 2 = [2], ’2 = [’2], a = [a], . . .)
o Z
Das Gaußsche Eliminationsverfahren bleibt anwendbar, da wir Addition und Multiplika-
tion von IK ∈ {Q, IR} in einer Weise verwendet haben, wie sie auch in jedem beliebigem
2
K¨rper zur Verfugung steht; Satz 2.12 ist anwendbar.
o ¨
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 61


3.4 Vektorr¨ume
a

De¬nition 3.30
Sei IK ein Korper mit Einselement 1, sei V eine Menge und seien Verknupfungen
¨ ¨

• : V —V (u, v) ’’ u • v ∈ V , (Addition)

: IK —V (a, v) ’’ a v∈V , (Skalare Multiplikation)

gegeben. V heißt zusammen mit •, ein IK “ Vektorraum (oder IK “ linearer
Raum), falls gilt:

(V1) (V, •) ist abelsche Gruppe.

(V2) F¨r alle u, v ∈ V, a, b ∈ IK gilt:
u

v •b
(1) (a + b) v=a v,
(u • v) = a v•a
(2) a v,
(3) (a · b) v=a (b v) ,
(4) 1 v=v

Die Elemente von V heißen Vektoren, die Elemente von IK Skalare und IK heißt
Skalark¨rper.
o
2

Wir haben in der De¬nition 3.30 sehr streng die verschiedenen Verknupfungen unterschie-
¨
den:

“ +“ fur die Addition in IK ,
¨
“ · “ fur die Multiplikation in IK ,
¨
“ “ fur die skalare Multiplikation in V,
¨
“ • “ fur die Addition in V.
¨
Wir werden nun diese strenge Unterscheidung der Verknupfungen sofort wieder aufgeben,
¨
zumal wir “ • “sp¨ter fur einen anderen Zweck ben¨tigen, und
a o
¨

• durch + , durch ·

ersetzen, und selbst “ · “ meist weglassen. Aus dem Zusammenhang wird stets ablesbar
sein, welche Verknupfung in welcher Struktur gerade gemeint ist. Eine Unterscheidung
¨
wollen wir aufrechterhalten: Das Nullelement in IK bezeichnen wir mit 0, das Nullelement
bzgl. der Vektoraddition bezeichnen wir mit θ .
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 62


Folgerung 3.31
Sei V ein IK “ Vektorraum. Seien a, b ∈ IK , u, v ∈ V . Es gilt:

(1) 0 · v = θ , a · θ = θ .

(2) a · v = θ ⇐’ a = 0 oder v = θ .

(3) (’a) · v = ’(a · v) = a(’v), (’1)v = ’v .

(4) a · (u ’ v) = a · u ’ a · v .
Beweis:
Der Beweis sei dem Leser uberlassen. Man orientiere sich an Folgerung 3.22.
¨

Der Begri¬ eines (endlich erzeugten) Vektorraums ¬ndet sich pr¨zise formuliert bei H. Grassmann
a
(1809 “ 1877), seine Ideen wurden aber erst nach seinem Tod aufgegri¬en, insbesondere von G.
Peano (1858 “ 1932). Ihm standen nun die mengentheoretischen Sprechweisen zur Verfugung, er
¨
beschr¨nkte sich auch nicht auf endlich erzeugte Vektorr¨ume. In Lehrbuchern ¬ndet sich der Be-
a a ¨
gri¬ des abstrakten Vektorraums zu Beginn des 20. Jahrhunderts.



Beispiel 3.32
Sei IK ein K¨rper und seien m, n ∈ IN . Die Menge IK m,n haben wir in Abschnitt 2.2
o
fur IK ∈ {Q, IR} eingefuhrt. Die dortige De¬nition ist sofort fur jeden K¨rper sinnvoll,
o
¨ ¨ ¨
ebenso die dort eingefuhrten Verknupfungen. Wir wiederholen die De¬nitionen:
¨ ¨

IK m,n := A | A = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n

wobei die Eintr¨ge aij einer Matrix A = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n aus IK genommen werden.
a

Addition:

+ : IK m,n — IK m,n ’’ A + B := (aij + bij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n ∈ IK m,n
(A, B)

wobei A = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n , B = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n .

Skalare Multiplikation:

· : IK — IK m,n ’’ r · A := (r · aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n ∈ IK m,n
(r, A)

wobei A = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n .

Die in Abschnitt 2.2 angegebene Multiplikation spielt hier zunachst keine Rolle.
¨
m,n
Es ist nun o¬ensichtlich, daß damit IK ein IK “ Vektorraum wird. Von besonderem
Interesse ist der Fall IK m,1 (Spaltenvektoren) und der Fall IK 1,n (Zeilenvektoren). Diese
2
stehen nur in unterschiedlicher Notation fur den IK “ Vektorraum IK m bzw. IK n .
¨
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 63


Beispiel 3.33
Sei X eine nichtleere Menge und sei IK ein K¨rper. Wir setzen
o
Abb (X, IK ) := {f : X ’’ IK }
und de¬nieren Verknupfungen durch
¨

+ : Abb (X, IK ) — Abb (X, IK ) (f, g) ’’ f + g ∈ Abb (X, IK ) ,
(f + g)(x) := f(x) + g(x) , x ∈ X ,
· : IK —Abb (X, IK ) (a, g) ’’ a · f ∈ Abb (X, IK ) ,
(a · f)(x) := a · f(x) , x ∈ X ,
• : Abb (X, IK ) — Abb (X, IK ) (f, g) ’’ f • g ∈ Abb (X, IK ) ,
(f • g)(x) := f(x) · g(x) , x ∈ X .
Es ist klar, daß mit “+“ und “·“ Abb (X, IK ) zu einem IK “ Vektorraum wird. Die Abbil-
dung • haben wir hinzugefugt, um zu zeigen, daß Abb (X, IK ) noch eine weitere Struktur
¨
tr¨gt. Wichtige Spezialf¨lle sind:
a a
X = IN , IK = IR : Abb (X, IK ) steht hier fur die Menge der reellen Zahlenfolgen.
¨
X = IR, IK = IR : Abb (X, IK ) steht hier fur die Menge der reellen Funktionen auf IR . 2
¨

De¬nition 3.34
Sei V ein IK “ Vektorraum. Eine Teilmenge U heißt linearer Teilraum von V,
falls U zusammen mit der Einschrankung der Addition auf U — U und skalaren
¨
Multiplikation auf IK — U selbst ein IK “ Vektorraum ist.
2

Lemma 3.35
Sei V ein IK “ Vektorraum, U eine Teilmenge von V . Es sind ¨quivalent:
a

(a) U ist linearer Teilraum.

(b) U = …; (u, v ∈ U, a ∈ IK =’ u + v ∈ U, au ∈ U) .
Beweis:
(b) =’ (a) :
Da die Addition und die skalare Multiplikation nicht aus U herausfuhrt “ man sagt, U ist
¨
abgeschlossen bzgl. Addition und skalarer Multiplikation “ leiten sich die Vektorraumaxio-
me fur U aus der Gultigkeit der Axiome fur V ab, lediglich die Existenz eines neutralen
¨ ¨ ¨
Elements und eines Inversen bzgl. der Verknupfung “+“ ist nachzurechnen.
¨
W¨hle u ∈ U. Dann ist 0 · u = θ ∈ U und θ ist auch ein neutrales Element in U.
a
Ist x ∈ U, so ist (’1)x ∈ U und (’1)x + x = θ. Also ist (’1)x inverses Element von x.
(a) =’ (b) :
Sicherlich ist U = …, da U ein neutrales Element bzgl. der Addition enth¨lt. Die Abge-
a
schlossenheit von U bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation ergibt sich aus der
Tatsache, daß auf U Addition und skalare Multiplikation wohlde¬niert sind.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 64


Beispiel 3.36
IR ist ein linearer Teilraum des IR “ Vektorraums C .
Ist X eine Menge, so ist Abb (X, IR) ein linearer Teilraum des IR “ Vektorraums Abb (X, C ) .
Lineare Teilr¨ume von IK n sind z.B. U = {θ} und der L¨sungsraum eines homogenen li-
a o
nearen Gleichungssystems mit n Unbekannten (siehe Abschnitt 2.3 und Bemerkung 3.29).
2

Beispiel 3.37
Sei IK ein K¨rper. Eine Polynomfunktion uber IK ist eine Abbildung p ∈ Abb (IK , IK )
o ¨
der Form n
ai xi , x ∈ IK ,
p(x) =
i=0

mit Koe¬zienten ai ∈ IK . Ist an = 0, so heißt n der Grad des Polynoms und wir
schreiben dafur deg(p) , also n = deg(p) . Wir haben Polynome fur IK ∈ {Q, IR} schon in
¨ ¨
Abschnitt 1.5 betrachtet.
Wir setzen
PIK := {p|p Polynomfunktion mit Koe¬zienten aus IK }.
2
O¬enbar ist nun PIK ein linerarer Teilraum von Abb(IK , IK ) .


Beispiel 3.38
Sei IK ein Korper. O¬enbar ist
¨

Abb0(IN 0 , IK ) := {f : IN 0 ’’ IK |f(n) = 0 nur fur endlich viele n ∈ IN 0}
¨

ein linearer Teilraum von Abb(IN 0 , IK ) , insbesondere selbst ein IK “ Vektorraum. Wir
bezeichnen diesen Vektorraum als den Raum der Polynome in einer Unbekannten mit
Koe¬zienten aus IK . Diese Bezeichnungsweise ergibt sich aus der Tatsache, daß jedem
f ∈ Abb0(IN 0 , IK ) mit f(n) = 0 fur n > N durch
¨
N
u ’’ f(n)un ∈ IK
pf : IK
n=0

eine Polynomfunktion zugeordnet werden kann. Wir setzen

IK [x] := Abb0(IN 0, IK ) .

Ein f ∈ IK [x] mit f(n) = 0 fur n > N schreiben wir mit an := f(n) , n ∈ IN , meist so
¨

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