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erzeugten Vektorr¨umen ist gering, im Kapitel uber Euklidische Vektorr¨ume wird uns
a a
¨
2
ein “wertvolleres“ Konzept begegnen.

Wegen Satz 3.57, insbesondere Bedingung (b) davon, ist die folgende De¬nition sinnvoll:


De¬nition 3.59
Sei V ein IK “Vektorraum.
Ist V endlich erzeugt und ist n die Anzahl der Elemente einer Basis von V , so heißt
n die Dimension von V (¨ber IK ) und wir schreiben n = dimIK V .
u
Ist V nicht endlich erzeugt, dann schreiben wir dimIK V = ∞ und nennen V unend-
2
lichdimensional.



Beispiel 3.60
dimIK IK n = n , dimIR C = 2 , dimIK IK m,n = mn , dimQ IR = ∞ .
Die letzte Behauptung wollen wir nicht vollst¨ndig beweisen. Daß dimQ IR nicht endlich
a
ist, sieht man damit, daß IR nicht abz¨hlbar ist. W¨re n¨mlich IR uber Q endlich erzeugt,
a a a ¨
wurde aus der Abz¨hlbarkeit von Q die Abz¨hlbarkeit von IR folgen.
a a
¨
Fur eine unendliche linear unabh¨ngige Teilmenge steht als Kandidat die Menge
a
¨

W := { p|p Primzahl}
√√
bereit. Wir haben bereits in Beispiel 3.49 die Teilmenge { 2, 3} davon verwendet. Es
laßt sich in der Tat beweisen, daß W eine uber Q linear unabhangige Teilmenge von IR
¨ ¨ ¨
ist. Der Nachweis ist nicht einfach, einfacher ist er zu

L := {log p|p Primzahl} .

Hier gelingt dies mit der Primfaktorzerlegung und etwas Analysis (Logarithmus, Expo-
nentialfunktion).
2
Weder W noch L ist zusammen mit 1 eine Basis von IR uber Q !
¨

Die Existenz einer Basis fur den Vektorraum IR uber Q wurde erstmals 1905 von G. Hamel mit
¨ ¨
Hilfe des Wohlordnungssatzes, der zu den Fundamenten einer axiomatischen Mengenlehre geh¨rt,
o
bewiesen. Aber es hat noch niemand eine Basis explizit angegeben.
Wir haben oben festgestellt, daß C ein zweidimensionaler Vektorraum uber IR ist. Zu
¨
diesem Vektorraum sind wir gekommen, weil wir die algebraische Gleichung x2 + 1 = 0
l¨sen wollten. Den Versuch, nun C in ¨hnlicher Weise in einen K¨rper IK einzubetten,
o a o
der dann ein endlichdimensionaler Vektorraum uber C ist, kann man in zwei verschiedene
¨
Richtungen starten: Erstens, man gibt die Idee, daß die Elemente des K¨rpers IK L¨sun-
o o
gen von polynomialen Gleichungen mit Koe¬zienten in C sind, auf, und man muß sie
aufgrund des Fundamentalsatzes aufgeben, dann kommt man zu transzedenten K¨rperer-
o
weiterungen. Zweitens, man bettet C in eine Menge mit den Verknupfungen Addition
¨
und skalarer Multiplikation ein, in der nicht mehr alle K¨rperaxiome erfullt sind. Diesen
o ¨
Weg hat erfolgreich R. Hamilton (1805 “ 1865) beschritten: Wenn man in IK auf das
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Kommutativgesetz bzgl. der Multiplikation “ man nennt dann die resultierende Struktur
einen Schiefk¨rper “ verzichtet, kann man einen Schiefk¨rper IH so konstruieren, daß
o o
IH ein zweidimensionaler Vektorraum uber C wird. Dieser Schiefk¨rper heißt der Qua-
o
¨
ternionenk¨rper. Diese zweite Idee tr¨gt noch eine Stufe weiter: Verzichtet man im
o a
Schiefk¨rper auch noch auf das Assoziativgesetz bzgl. der Multiplikation, dann kann man
o
einen solchen “schw¨cheren“ Schiefk¨rper O konstruieren, der ein zweidimensionaler Vek-
a o
toraum uber IH , also ein achtdimensionaler Vektorraum uber IR ist. Dieses “Zahlsystem“
¨ ¨
O wird die Algebra der Cayley“Zahlen genannt.


3.6 Unterr¨ume und Dimensionsformel
a
Sei V ein IK “Vektorraum und seien U, W lineare Teilr¨ume von V . Der Durchschnitt
a
U © W von U, W ist sicherlich ein linearer Teilraum von V (Beweis!), nicht jedoch im
allgemeinen die Vereinigung U ∪ W .
Dazu


De¬nition 3.61
Sei V ein IK “Vektorraum und seien U, W lineare Teilr¨ume von V . Dann heißt
a

U + W := {u + w|u ∈ U, w ∈ W }

die Summe der Raume U, W .
2
¨



Folgerung 3.62
Sei V ein IK “Vektorraum und seien U, W lineare Teilr¨ume von V . U + W ist der
a
kleinste lineare Teilraum von V, der U ∪ W enth¨lt, d.h. U + W = L(U ∪ W .)
a
Beweis:
O¬enbar ist U + W ‚ L(U ∪ W ) . Da aber U + W selbst ein linearer Teilraum ist, der
U ∪ W enth¨lt, gilt auch L(U ∪ W ) ‚ U + W .
a


Satz 3.63
Sei V ein IK “Vektorraum und seien U, W lineare Teilr¨ume von V endlicher Di-
a
mension. Dann gilt:

dimIK U + dimIK W = dimIK (U + W ) + dimIK (U © W ) .
Beweis:
Ist V = {θ}, dann ist nichts zu beweisen. Sei also nun V = {θ}.
Sei Bd := {v 1, . . . , v r } eine Basis von U © W . Nun kann Bd etwa durch {u1 , . . . , um } zu
einer Basis von U und durch {w1 , . . . , wn } zu einer Basis von W erg¨nzt werden. Nun a
behaupten wir, daß
B := {v 1, . . . , v r , u1 , . . . , um , w1 , . . . , wn }
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eine Basis von U + W ist.
Wir zeigen U + W ‚ L(B), woraus U + W = L(B) folgt.
Sei v ∈ U + W. Dann gibt es u ∈ U, w ∈ W mit v = u + w. Nach Konstruktion gibt es

a1, . . . , ar , b1 , . . . , bm , c1, . . . , cr , d1, . . . , dn ∈ IK ,

sodaß r m r n
i i i
di wi ,
u= ai v + bi u , w = ci v +
i=1 i=1 i=1 i=1

also r m n
i i
di wi .
v= (ai + ci )v + bi u +
i=1 i=1 i=1

Also ist v ∈ L(B).
Wir zeigen, daß B linear unabh¨ngig ist.
a
Sei r m n
i i
ci wi = θ .
ai v + bi u +
i=1 i=1 i=1

Dann ist r m
b i ui ∈ U
i
v := ai v +
i=1 i=1
n
und ’v ∈ W , da ci wi in W ist, d.h. v ∈ W . Also ist v ∈ U © W . Daher gibt es
i=1
e1, . . . , er ∈ IK mit
r
ei v i .
v=
i=1

Aus der Eindeutigkeit der Darstellung von v durch die gewahlte Basis von U folgt
¨

a 1 = e 1 , . . . , a r = e r , b1 = . . . = bm = 0 ,

also r n
i
ci wi = θ .
ai v +
i=1 i=1

Da {v 1, . . . , v r , w1, . . . , wn } linear unabhangig ist, folgt
¨

a1 = . . . = ar = 0 , c1 = . . . = cn = 0 .


Die Begri¬e “Linearkombination von Gr¨ßen, die linear abh¨ngig sind, Basis eines Vektorraums
o a
und Dimension“ werden bei H. Grassmann (1809 “ 1877) sehr klar beschrieben. Bei ihm ¬ndet sich
auch erstmals klar die Dimensionsformel.

Wichtig ist der Spezialfall U © W = {θ} . Dazu
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De¬nition 3.64
Sei V ein IK “Vektorraum und seien V , U, W lineare Teilraume von V .
¨
V heißt direkte Summe der linearen Teilraume U, W , falls
¨

V = U + W , U © W = {θ}

gilt. Wir schreiben dann V = U • W und nennen U ein Komplement von W und
W ein Komplement von U (bezuglich V ).
¨
2

Hilfreich ist folgende Charakterisierung.

Lemma 3.65
Sei V ein endlichdimensionaler IK “Vektorraum und seien V , U, W lineare
Teilr¨ume von V . Es sind ¨quivalent:
a a

(a) V = U • W .

(b) Zu jedem v ∈ V gibt es eindeutig bestimmte Elemente u ∈ U, w ∈ W , sodaß
v = u+w.
Beweis:
Zu (a) =’ (b) :
Es ist nur die Eindeutigkeit zu zeigen. Sei also

u, u ∈ U, w, w ∈ W .
v =u+w =u +w mit

Dann ist u ’ u = w ’ w ∈ U © W = {θ} und daher u = u , w = w .
Zu (b) =’ (a) :
Es ist nur U © W = {θ} zu zeigen.
Sei v ∈ U © W . Dann ist θ = θ + θ = v + (’v) . Daraus folgt mit der dank (b) gegebenen
Eindeutigkeit der Darstellung von θ ∈ V schließlich v = θ .

Lemma 3.66
Sei V ein endlichdimensionaler IK “Vektorraum und seien U, W lineare Teilr¨ume
a
von V . Es sind ¨quivalent:
a

(a) V = U • W .

(b) V = U + W und dimIK V = dimIK U + dimIK W .

(c) U © W = {θ} und dimIK V = dimIK U + dimIK W .
Beweis:
Zu (a) =’ (b) :
Dimensionsformel aus Satz 3.63.
Zu (b) =’ (c) :
Aus der Dimensionsformel folgt dimIK U © V = 0 , also U © W = {θ} .
Zu (c) =’ (a) :
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Wegen der Dimensionsformel muß dimIK V = dimIK (U + W ) sein. Sei B eine Basis von
U + W . Dann ist B eine linear unabh¨ngige Teilmenge von V . Da
a

dimIK V = dimIK (U + W ) = #B

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